专题05 椭圆（竞赛培优专项训练）高二数学人教A版2019全国通用

专题05 椭圆 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 椭圆的定义及应用 4 考点二：椭圆的标准方程 6 考点三：焦点三角形 7 考点四：轨迹方程 12 考点五 椭圆的简单几何性质 14 考点六 求椭圆的离心率 15 考点七 求椭圆离心率的取值范围 18 考点八：由椭圆离心率求参数的取值范围 22 考点九 椭圆中与距离相关的最值问题 24 考点十 椭圆的实际应用 27 考点十一 与椭圆有关的数学文化题 29 考点十二 中点弦及对称问题 31 考点十二 定点问题 34 考点十四 最值问题 41 考点十五 参数取值范围问题 45 考点十六 新定义题 48 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题19道） 【归纳重点知识】 知识点01 椭圆的定义 平面内到两定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．两定点叫做椭圆的焦点． 集合，其中，且为常数． （1）当时，点的轨迹是椭圆； （2）当时，点的轨迹是线段； （3）当时，点不存在． 知识点02 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 离心率 ，且 的关系 离心率表示椭圆的扁平程度．当越接近于1时，越接近于，从而越小，因此椭圆越扁；当越接近于0时，越接近于0，从而越大，因此椭圆越接近圆；当时，，两焦点重合，图形就是圆． 知识点03 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点与椭圆的位置关系： 点在椭圆上； 点在椭圆内部； 点在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去得一个关于的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 相切 一解 相离 无解 【熟记重要结论】 1．焦半径：椭圆上的点与左（下）焦点与右（上）焦点之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作． （1）； （2）； （3）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）． 2．焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大． （2）， 当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为． （3）焦点三角形的周长为． 3．焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长． 4．为椭圆的弦，，弦中点，则 （1）弦长； （2）直线的斜率． 5.椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 6.第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 7.焦点弦被焦点分成定比：若，则. 考点一 椭圆的定义及应用 1.已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C. 2.已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【解析】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 3.已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 4.在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ． 【答案】12 【详解】设 ，则 .由 ，知点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，长轴长为 10 ，焦距为 6 .椭圆半长轴 ，半焦距 ， 半短轴 . 设，则的轨迹是椭圆， 面积 ， 当 取最大值(即半短轴 )时，面积最大. 最大面积为 . 故答案为：12. 考点二：椭圆的标准方程 5.“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，取，此时，故方程表示圆； 当方程表示椭圆时，则， 解得或， 此时或是的真子集， 所以或可推出； 综上可知，“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件， 故选：B. 6.已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得，且焦点在x轴上，则， 则椭圆的标准方程为故选：D. 7.与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆的焦点坐标为，，所以所求椭圆的焦点在轴上，且．因为所求椭圆的长轴长为，即，所以，所以，所以所求椭圆的方程是．故选：C． 8.过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【答案】 【解析】由题意设椭圆的方程为，， 将点代入，， 整理可得：， 解得或（舍， 所以椭圆的方程为：， 考点三：焦点三角形 9.（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】ABD 【解析】由椭圆方程可知，，则， 由椭圆定义得的周长是，故A正确； 设，面积的为， 则面积的最大值为，故B正确； 可知，当位于椭圆短轴一个端点时，最大，此时， 又，则为正三角形，， 即不存在点P，使，故C错误； 可知，当位于椭圆右顶点时，最大值为， 当位于椭圆左顶点时，最小值为， 即的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 10.(多选)已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【解析】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 11.（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【解析】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 12.（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【解析】由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 对于A，在中，设，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； 对于B，的面积为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ABD． 13.（多选）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为7 C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】ABD 【解析】依题意，，所以， 的最小值，即是的长，当点在位置时取到， 所以的最小值为，故A正确； 设椭圆的右焦点为，所以， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故B正确； 的最小值当在位置时取到， 即的最小值为，故C错误； 由， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故D正确. 故选:ABD 14.（多选）（2025·高二·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【解析】由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即 ，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 考点四：轨迹方程 15.已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 16.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：B 17.线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点、，设线段上靠近点的三等分点为， 由题意可得，则， 所以，，所以，， 则，化简得， 故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为. 故选：C. 18.已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【解析】设点，则，， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：C. 考点五 椭圆的简单几何性质 19.（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 【答案】ABD 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，A正确； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，的最小值为，C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，D正确. 故选：ABD 20.（多选）已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且，则（ ） A．椭圆离心率为 B．周长为6 C．周长为6 D．椭圆方程为 【答案】CD 【解析】由题意可设椭圆方程为，则， 当时，则，则， 结合故可得，故椭圆方程为， 离心率为，的周长为，的周长为， 故CD正确，AB错误， 故选：CD 21.（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【解析】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 考点六 求椭圆的离心率 22.已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图．由题意可得， 易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点， 所以，故为直角三角形，由题意，，设， 则，解得或（舍）， 所以，． 故选：B 23.已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的半焦距为， 椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为. 设，因为，所以， 所以，则，将点代入椭圆方程得，所以， 即，则，由得， 又，所以， 化简得， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B 24.已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 25.已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】以为直径的圆，和椭圆关于轴对称，则交点在中垂线上，不妨设点在第一象限，则，代入椭圆：，得， 即，解得. 考点七 求椭圆离心率的取值范围 26.已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】如下图所示：易知， 又焦半径的最小值为，且恒成立， 则，又，所以， 整理可得，即，可得，即， 又，解得，又半径，则，解得， 所以. 27.已知椭圆，设，若上存在3个不同的点使得，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，由，得， 整理得， 即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 因为椭圆与圆有3个不同的交点， 由椭圆，则. 结合图形可知，点是椭圆与圆的一个公共点. 由，消去，整理得， 易知，且为该方程的一个根， 由椭圆与圆有3个不同的交点， 则方程必有另一根，且在内. 设另一个根为（），且此根对应椭圆与圆的个公共点， 由韦达定理得，即，所以， 解得， 所以， 又，所以. 28.已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是 【答案】 【解析】由，得，又是圆的切线， 由圆的性质，得四边形是正方形，则， 因此，椭圆离心率， 所以椭圆C的离心率e的取值范围是. 故答案为： 29.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上任意一点，直线垂直于OP且交线段于点M，若，则该椭圆的离心率的取值范围 ． 【答案】 【解析】设， 若点为右顶点，则，此时点重合， ，由得，故， 若点为左顶点，则，此时点重合， ，由得，无解， 若点是椭圆上下顶点，此时重合，，，不合要求，舍去， 若点不是椭圆顶点时， 由得，其中， 故，解得， 所以， 又⊥，， 故， 即， 整理得①， 因为②，两式联立得， 解得或， 因为，所以（舍去）， 又，解得， 综上， 所以椭圆离心率取值范围是. 故答案为： 30.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为余弦函数在上单调递减， 故当时，即当为椭圆短轴顶点时，最大， 因为椭圆上存在点满足：，则，可得， 所以，，故椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 考点八：由椭圆离心率求参数的取值范围 31.若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 32.设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意可得，则，， 由椭圆离心率为，可得，则， 所以. 故答案为：. 33.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是 . 【答案】 【解析】将P的纵坐标代入椭圆的方程，则， 所以，， 即 ， 所以， 因为， 令，则 所以， 即，所以，故 故答案为： 34.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 【答案】 【解析】设， 因为垂直于轴，所以代入椭圆方程， 得，所以， 设， 联立，消去整理得，， 所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 考点九 椭圆中与距离相关的最值问题 35.已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B 36.已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 37.已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】 如图所示， 由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则， 再由椭圆定义可知， 即， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 又， 即的最小值为， 故答案为：. 38.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意知，，所以， 设，则，即， 由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为. 故答案为：. 考点十 椭圆的实际应用 39．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为（其中，分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，取3.14），已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为（    ） A．0.41平方米 B．0.32平方米 C．0.22平方米 D．0.12平方米 【答案】C 【分析】根据已知条件求得观众区的面积，由此可得观众区每个座位所占面积. 【详解】由条件可得，竞技场的总面积为平方米，表演区的面积为， 故观众区的面积为平方米，故观众区每个座位所占面积为平方米. 故选：C. 40．如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子： ①；②；③；④.其中正确的式子是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BC 【分析】根据图象可知、，从而；根据，可知；进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可． 【详解】对于①：由图可知，，，故①不正确， 对于②：因为，，，故②正确． 对于③：由可得， 两边平方整理可得，即， 因为，，故③正确； 对于④：由可得，故④不正确． 综上所述：AD错误；BC正确. 故选：BC． 41．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可 【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 由图可知，椭圆的短半轴长， 在中，， 由正弦定理得： ， 所以，    故选：D. 考点十一 与椭圆有关的数学文化题 42．加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，可判定A、B正确，结合椭圆的性质和蒙日圆的方程，可判定C错误，结合基本不等式和圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 由椭圆，可得，则， 故椭圆的焦点与椭圆相同，所以B正确； 因为矩形的四边均与椭圆相切，所以点，即在蒙日圆上， 可得半径，可得椭圆的蒙日圆方程为，所以错误； 设矩形的边长分别为和，则有， 所以矩形的面积等于，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 43．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则下列结论中正确的有（    ） 附：椭圆（）上一点处的切线方程为. A．圆法中圆的半径为 B． C． D． 【答案】AD 【分析】运用圆和椭圆的切线方程分别求得、，结合可判断两者大小及求出半径. 【详解】由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R，如图所示， 则，解得，A正确； 所以，若将水滴轴截面看成椭圆的一部分， 设椭圆方程为（），如图所示， 则切点坐标为， 则椭圆上一点的切线方程为， 所以椭圆的切线方程的斜率为， 将切点坐标代入切线方程可得，解得， 所以，又因为， 所以，即，所以，D正确. 故选：AD. 考点十二 中点弦及对称问题 44．已知椭圆的离心率是． （1）若点在椭圆上，求椭圆的方程； （2）若存在过点的直线，使点关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围． 【答案】⑴；⑵椭圆的焦距的取值范围是. 【详解】试题分析：⑴，，再将点的坐标代入椭圆的方程，这样便有三个方程，三者联立，即可求出，从而得椭圆的方程.⑵显然斜率不存在或斜率等于0时，不可能满足题意.故可设直线l的方程为：，这样可将点C(2,0)关于直线l的对称点的坐标用表示出来，然后代入椭圆的方程，从而得一关于的方程：.设，因此原问题转化为关于t的方程有正根.根据二次方程根的分布可得.进而求得椭圆的焦距的取值范围. 试题解析：⑴, ∵点P(2,1)在椭圆上,∴ 5分 ⑵依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：. 设点C(2,0)关于直线l的对称点为，则 若点在椭圆上，则 设，因此原问题转化为关于t的方程有正根. ①当时，方程一定有正根； ②当时，则有 ∴综上得. 又椭圆的焦距为. 故椭圆的焦距的取值范围是(0,4] .      45．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由离心率及椭圆的定义，基本不等式求椭圆参数，即可得方程； （2）①设，，联立直线与椭圆，应用中点公式及中点在直线上得到关于的方程，求参数值； ②设直线的方程为，分别求出的纵坐标，结合韦达公式得，确定的中点坐标，再由平行四边形的性质求坐标，即可得结论. 【详解】（1）因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 故，所以，所以，故椭圆C的方程为. （2）①设，， 由，得， 由，得，，， 设中点坐标为，则， 因为在直线上，所以，即 所以，解得； ②存在点使得四边形为平行四边形， 因为在椭圆上，所以易知，， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知， 所以 所以线段的中点坐标为， 连接，则线段的中点坐标也为， 由于，可得，所以点H的坐标为. 考点十三 定点问题 46．已知椭圆的离心率为，依次连接两个短轴端点和两个焦点，组成的四边形周长为8. (1)求椭圆的方程． (2)已知点，过点作直线交椭圆于两点，轴上是否存在一点（与点不重合），使得?若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据椭圆的定义得到四边形周长，结合离心率公式和的关系得到椭圆方程； （2）对于直线的斜率存在不存在进行分类讨论，根据条件计算得到结果； 【详解】（1）由题意得，则，因为，所以， 因为，所以椭圆的方程为． （2）存在； 当直线的斜率不存在时，，，设． 因为，所以，从而或， 解得（舍去）或，所以． 当直线的斜率存在时，根据题意时，直线与椭圆无交点，不符合题意. 设，，取点关于轴的对称点， 要使，此时三点共线．设 设，代入椭圆方程得， 则，． ， 因为，所以，即点符合题意． 综上所述存在，使得.    47．已知，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)曲线的右顶点为，直线与相交于点，，设直线，的斜率分别为，，且．作，垂足为，是否存在某个定点，使得以为直径的圆经过点?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据几何意义，再由椭圆的定义写出方程即可； （2）设，，联立得到，利用得到，即可得直线过定点. 【详解】（1）因为点在线段的垂直平分线上，所以， 又是圆的半径，所以， 所以点的轨迹是椭圆，方程为． （2）设，．联立 得，则，， 由得． ， 化简得， 即，解得或． 当时，直线过点，舍去． 当时，满足，此时直线，且过定点， 又因为点在以为直径的圆上，所以点在直线上， 所以存在定点满足条件． 考点十三 定值问题 48．如图，已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，，且左焦点为．    (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，设，，求证：为定值． 【分析】（1）方法1，由题可得，代入可得椭圆方程；方法2，由题可得，结合可得椭圆方程； （2）方法1，设，，．由，，可得，，结合条件即证； 方法2，设直线的方程是，直线的方程是，，，.将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理法结合条件即证. 【详解】（1）解法1：由， 得， 故椭圆的方程为； 解法2：由，得， 故椭圆的方程为； （2）解法1：设，，． 由，得，又， 故. 同理，， 又，则. 因为,，则， 从而， 因，则，又， 得，从而； 同理可得，结合， 可得，从而， 故． 综上所述，为定值6; 解法2：设直线的方程是，直线的方程是， ，，． 由，消去x得， 判别式为：，由韦达定理得， 所以， 同理得．则. 由. 由，得，即， 同理得. 故． 综上所述，为定值6． 49．已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点. （i）若的中点为，求的方程； （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）（i）设、，则，，利用点差法可求得直线的方程； （ii）设，由题可知直线的斜率不为，可设直线，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，可求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可化简得出的表达式，根据为定值可求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）由题可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设、，， 若的中点为，则，. 又，两式相减可得， 即， 所以，所以，故的斜率为. 因为点在上，所以的方程为，即； （ii）设，由题可知直线的斜率不为，可设直线， 由得， 即， 则，得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，, 令可得，即点， 同理可得点，， 则，， 所以 ， 当，即时，， 当，即（舍去）时，， 故当或时，为定值. 考点十四 最值问题 50．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 【分析】（1）根据两点间距离公式列方程，化简可得结论． （2）①根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算｜EF｜，｜GH｜，即可根据面积公式得表达式，结合基本不等式即可求解最值．②联立直线与圆的方程得根与系数的关系，由圆的方程得P，Q的坐标，即可根据点斜式求解直线PE，QF的方程，联立两直线方程即可求解定直线，从而得证． 【详解】（1）设动点的坐标为，因为，且， 所以， 整理得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）①如图，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为， 即，则直线GH的方程为． 由（1）知轨迹为圆，圆的半径为， 设圆的圆心到直线和直线GH的距离分别为， 则， 所以， 所以． 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立． 综上所述，四边形EGFH面积的最大值为7． ②设，联立得， 则． 因为曲线与轴交于P，Q两点，所以不妨取（如图）， 则直线PE的方程为， 直线QF的方程为． 联立两直线方程得， 所以在定直线上，得证． 51．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)已知直线与交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，，求四边形面积的最大值． 【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨迹的方程． （2）①设直线，，，代入椭圆方程，求解即可；②先得到，再令，得到，再求出直线与椭圆的一个交点，利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，求出四边形的面积表达式，结合基本不等式求出最值即可得的最值． 【详解】（1）设动圆的半径为，由题意可知：圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为． 因为动圆与圆内切，且与圆外切， 所以， 所以曲线是以为焦点的椭圆． 设其方程为，其中，， 所以，，，从而曲线的方程为． （2）①如图1，由于直线平分直线与圆的交线段， 所以直线与垂直，设直线，则． 设，，则，于是， 由于，，则，又，则，得证． ②由题可知，如图2，连接，则， 易知． 令，得， 则直线与椭圆的交线段长为， 同理可得直线与椭圆的一个交点坐标为，不妨记为点， 则到直线的距离， 所以， 由题意可知，则， 所以四边形面积的最大值，在时取到． 考点十五 参数取值范围问题 52．已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【分析】（1）根据椭圆定义得到，，故C的方程为； （2）（ⅰ）设直线l方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，直线PM的方程为，代入两根之和，两根之积求出，故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）计算出，得到的取值范围为. 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 53．已知椭圆和圆的方程分别是，椭圆的离心率，点M，N分别在，上，的最大值为． (1)求，的方程； (2)点是圆上的动点，过点P作与椭圆有且只有一个交点的两直线，设直线的斜率分别为，且与x轴分别交于点A，B． （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围． 【分析】（1）根据圆和椭圆的性质可得，结合题意列式求解即可； （2）（i）设直线方程为，联立方程结合圆的方程是方程的根，利用韦达定理分析证明；（ii）求点，结合韦达定理可得，换元结合二次函数求取值范围. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 则， 由题意可得：，解得， 所以椭圆和圆的方程分别是. （2）（i）设直线方程为， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得，    又因为直线过点， 可得，即， 则，整理可得， 可知是方程的根， 则，， 且在圆：上，则，即， 所以； （ii）由（1）可得：， 由直线可得， 则， 因为，令，则， 可得， 所以的取值范围为. 考点十六 新定义题 54．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据蒙日圆的定义写出椭圆方程对应的蒙日圆，再由直线与圆的位置关系及点线距离公式列不等式求参数范围，进而求椭圆离心率范围. 【详解】根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为， 其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直， 因此当直线与圆相离时，， 由，解得. 所以离心率. 故选：A 55．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 【分析】（1）根据相似三角形对应角相等，结合三角函数定义即可得证； （2）先求和的面积之比，然后结合相似比即可得解； （3）设直线MN的方程为，联立椭圆方程消元，利用韦达定理表示出MN的中点坐标，代入已知方程求出参数，然后结合判别式可求得的范围，即可求得“焦顶三角形”的周长范围. 【详解】（1）若两个椭圆是“相似椭圆”，则“焦顶三角形”的三个对应角相等. 如图，以焦点为顶点的三角形内角必为钝角，故相等，则相等，    所以相等，而，所以相等，即离心率相等； 若离心率相等，则相等，则相等，则相等； 同理，相等，则相等，所以相等； 所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等. （2）设椭圆的半焦距为. 因为椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似，所以椭圆的离心率也为， 若的面积为，又的面积与的面积之比为， 所以的面积为． 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为． （3）由离心率相等可知椭圆的方程为， 如图，设直线MN的方程为的中点为．      由消去并整理得， 则，即， 由MN的中点在直线上，得，解得， 因此，而，解得， 椭圆中，短半轴长，半焦距， 所以椭圆的“焦顶三角形”的周长为 故椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围是． 56．某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 【分析】（1）①由极点极线的定义可得极线方程；②利用齐次化可证； （2）利用（1）②的结论可证三点共线，从而可证为线段的中点. 【详解】（1）①因为，故在椭圆外，故极线为即直线的方程为. ②设，设直线的方程为：， 又椭圆方程可化为， 故， 由得： ， 设， 则（★） 故为（★）的两个解， 所以 因为过，故，故， 故 . （2） 由（1）可得椭圆的以点为极点的极线方程为， 故点在极线上，同样记，连接， 由（1）中的结论可知，，且， 故即三点共线， 如图所示，设， 则， 由（1）中②知，故， 故，故为线段的中点. 1．（2024·全国英才杯竞赛）已知（其中），在平面直角坐标系中，有一个动点，且.给定：，作，垂足为点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的参数方程得到，结合点到直线的距离公式和辅助角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即在的椭圆上， 而由椭圆的参数方程得(是参数)， 所以，因为，所以为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式得， 由三角函数性质得当时，最大， 此时，故A正确. 故选：A 2．（第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）已知过椭圆的焦点，的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部（不含边界），则此椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可知以为直径的圆在椭圆的内部，可得，再根据，即可求得离心率的取值范围. 【详解】设过椭圆焦点，的两条互相垂直的直线的交点为P，即， ∴， ，即. 故选：B 3．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）设椭圆的左､右焦点为，椭圆上一点和平面一点满足，则的最大值与最小值之和是（    ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】B 【分析】设,根据，求得，利用两点间的距离即可求出答案. 【详解】可以设，因为，，得到，所以， 那么， 所以，最小值和最大值之和为. 故选：B 4．（多选）（2024·山东泰安高二冬季竞赛）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程可求得的值，利用△的面积即可求出P点到轴的距离；利用平面向量的夹角公式判断的大小；根据椭圆的定义可以求出△的周长；利用内切圆的几何性质可以求出内切圆半径. 【详解】由已知条件得，，， 设，则，解得，则P点到轴的距离为，故 正确； 将代入得， 则， 则，且两向量所成角的范围为，则为锐角，故错误； 由椭圆的定义可知，， △的周长为，故正确； 设△的内切圆半径为，圆心为, 则 ，解得 ，故正确； 故选：.    5．（2024·全国“极光杯”竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】由题意得，，由此可得点坐标（用表示），结合斜率公式即可得解. 【详解】不妨设，又，由题意，， 解得，所以. 6．（2024·广东肇庆竞赛）设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案. 【详解】设，，则，， 即， ，即，当且仅当时等号成立， 故，即，. 7．（2024·广东肇庆竞赛）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得离心率. 【详解】因为，所以， 设，则，， 由椭圆定义得：，． 因为，所以， 即 得：，所以，， 在中，， 得：，即，故．    8．（2024·四川宜宾竞赛）已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最短距离为 ． 【答案】1 【分析】根据等腰三角形三线合一性质可确定为中点，结合椭圆定义和三角形中位线性质可确定点轨迹为以为圆心，为半径的圆，进而确定当位于轴时取得最近距离. 【详解】由题意知： ， 设 的延长线交 的延长线于点 ， ， 为线段 中点， 由椭圆定义知： ， 分别为 和 中点， ， 点轨迹是以 为圆心，为半径的圆， 由椭圆方程知： 短轴端点为 ， 当点 在轴上时，其到临近的短轴端点的距离最近，最近距离为. 故答案为： 1 .    9．（2024·广西高二下竞赛）已知椭圆的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由椭圆的定义及余弦定理得，，求解． 【详解】如图： 令，，， 则，． 在和中， 由余弦定理可得，． 故．（1） 在，中，由余弦定理可得 （2） 由可得．（3） 由（2）（3）可得，从而． 代入（1）可得，． 因此． 10．（2023·全国奥赛一试）平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且与有唯一的公共点.则的焦距为 . 【答案】10 【分析】先求出的方程，从而求出公切线，再联立公切线方程和椭圆方程后利用判别式为零可得，结合在椭圆上可求基本量，故可求焦距. 【详解】因为与有唯一的公共点且与轴、轴均相切， 故圆心在第一象限，故设圆心为， 故的方程为：， 所以，解得或. 因为在内，故，故原的方程为， 因为与有唯一的公共点，且圆心在椭圆内， 故与在处有公切线， 故，故，故的方程为：， 由可得， 整理得到：， 故， 整理得到：，而， 解得，，从而的焦距为. 11．（2024·北京大学强基计划）在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求. 【答案】 【分析】根据离心率确定，根据椭圆定义及求出，在中，由余弦定理求得，再计算面积即可. 【详解】由题意得，即， 由椭圆定义知，，又，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 所以.    12．（2025·重庆竞赛）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 【分析】需要排除x轴的情况，假设，坐标并根据，坐标表示出，坐标，写出直线和直线方程，由、在椭圆上可得，设出中点，结合相交弦定理和平行四边形性质或者过、、、四点的圆的方程得到，联立直线的方程和椭圆方程并根据韦达定理得到，在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程即可解得实数的值. 【详解】若轴，则由四边形为平行四边形及椭圆的对称性知，、为椭圆长轴两端点， 故若、、、四点共圆，则圆心必为，即圆以为直径， 而、又在椭圆上，显然矛盾，故轴的情况不存在，即直线的斜率存在. 设，，则，. 设（其中），并设，. 由、在椭圆上可得，从而. 法一： 设中点为，由相交弦定理和平行四边形性质有和，，故,即， 于是可得① 及②， 由、、在椭圆上可得，，③， 于是有④， 结合①③④可得， 代入②可得，结合可得， 联立得，由韦达定理知， 进而， 注意在椭圆上，于是有，即， 即，解得. 法二： 由于、、、四点均满足和， 故过、、、四点的圆的方程为， 考察项的系数可知，结合可得. （下同法一） 13．（2024·海南海口竞赛）已知椭圆 的上顶点与左顶点的距离为，离心率为，为轴上一点. (1)求椭圆方程; (2)连接交椭圆于点，过点作轴的垂线，交椭圆另一个点，求的取值范围. 【分析】（1）根据离心率与间距离列式求解即可； （2）连接交轴于点E，表示出、、的坐标，利用，列式求范围. 【详解】（1）由已知，，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）连接交轴于点E， ，的直线方程为，联立椭圆方程，有， 则，或，则点的横坐标为， 把带入中，求得点的纵坐标为， 所以点坐标为， 由于、关于轴对称，所以点坐标为， 因为、、共线，设，， 则，解得，所以点坐标为， ， ， ，，由对勾函数可知， 所以，， ，故. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的方程以及椭圆与直线的几何关系，关键在于点坐标的假设与求解，需要用的椭圆的对称性，进而表示出的面积再求解范围. 14．（2024·上海竞赛）求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆. 【分析】当较为容易，需要证明时没有满足条件得正多边形. 【详解】当时,正三角形、正方形均能内接于椭圆(如图所示). 下面证明:当时,不存在椭圆的内接正边形. 设椭圆的方程为,正边形的外接圆方程为 （1）若,联立 ,这是一个关于的二次方程,它至多有两个实数根, 再由得方程组至多有4组实数解. （2）若,则 于是 因此, 这是一个关于的4次方程,它至多有4个实数根, 再由得方程组(**)至多有4组实数解. 综上,椭圆与正边形的外接圆至多有4个公共点,即当时,不存在椭圆的内接正边形. 所以满足题意的正整数. 【点睛】关键点点睛：关键是选取正多边形的外接圆与椭圆方程联立，通过方程解的个数来研究交点的个数，由此即可顺利得解. 15．（2024·上海竞赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 【答案】 【分析】先考虑的中点到原点的距离以及线段的长度，进而可将命题转化为求的最大值，最后可求出的最大值. 【详解】如图,记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上,则 又,,即当点位于椭圆上时,取得最大值. 令,则点在椭圆上. 易知,等号成立时当且仅当. 于是椭圆上的点,除点外均在椭圆的内部. 综上所述,的最大值为. 16．（2024·北京竞赛）在平面直角坐标系xOy中，方程表示椭圆，求m的取值范围. 【答案】 【分析】通过换元法，分离参数后根据椭圆的第二定义求解. 【详解】令，将原式整理为， 因此， 易知：其中分式为任意点到定直线距离与定点距离之比为定值， 由椭圆的第二定义知，， 所以，从而. 17．（2023·湖南岳阳竞赛）已知椭圆的标准方程为，如图直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，角，焦点F满足，求离心率e. 【答案】 【分析】由，得到，根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，求得且，代入化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得， 因为直线过右焦点且倾斜角为，所以直线的斜率为， 可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，由，可得， 且且， 代入可得，整理得， 即，可得，所以，所以椭圆的离心率为. 18．（2022·江苏苏州竞赛）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)设点M在直线上，过M的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【分析】（1）表示出与的斜率，由斜率之积为，即可求得C的方程； （2）设出点坐标及直线，参数方程，联立C的方程求得，求得两条直线倾斜角之和，即可求出斜率之和. 【详解】（1）易得，直线的斜率为，直线的斜率为，则， 整理得，则曲线C方程为； （2）设点，设直线参数方程为（t为参数），代入， 整理得，设对应的参数为，则， 设直线参数方程为（为参数），对应的参数为，同理， 由于，则，解得，又，所以， 此时直线的斜率与直线的斜率之和为0. 19．（2024·全国“章鱼杯”竞赛）17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律： (a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内； (b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等. (c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比. 开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于，地球的公转轨道可近似看成圆，火星的公转轨道可近似看成圆，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.    (1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：，计算结果保留两位小数) (2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆，使得直线AB恒与相切？证明你的结论. 【分析】（1）根据开普勒第三定律以及，结合离心率的计算公式即可求解， （2）根据切线方程可得，的方程，进而可得直线方程，根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设分别为地球、火星的公转周期. 由开普勒第三定律得 ,又， ， 因此 （2）存在. 证明：设， 首先证明切点为,曲线的切线方程为， 设切线上任意不同于点的点， 由于,所以， 由于， 两式子相可加得，得证. 由与相切可知, 直线的方程为，(*1), 由与相切可知, 直线的方程为 (*2) 由于点在直线，上， 所以且， 因此均满足 所以直线的方程为                                               取， 则到的距离为 ， 接下来证明椭圆的焦半径公式： 对于椭圆的两焦点，相应的准线方程分别是和. ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率， ∴同理有, 化简得 因此 故 故始终与圆相切. 【点睛】结论点睛：①切点为,曲线的切线方程为， ②椭圆的焦半径公式. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 椭圆 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 椭圆的定义及应用 4 考点二：椭圆的标准方程 5 考点三：焦点三角形 5 考点四：轨迹方程 6 考点五 椭圆的简单几何性质 7 考点六 求椭圆的离心率 7 考点七 求椭圆离心率的取值范围 8 考点八：由椭圆离心率求参数的取值范围 9 考点九 椭圆中与距离相关的最值问题 9 考点十 椭圆的实际应用 10 考点十一 与椭圆有关的数学文化题 11 考点十二 中点弦及对称问题 12 考点十二 定点问题 14 考点十四 最值问题 17 考点十五 参数取值范围问题 19 考点十六 新定义题 21 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题19道） 【归纳重点知识】 知识点01 椭圆的定义 平面内到两定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．两定点叫做椭圆的焦点． 集合，其中，且为常数． （1）当时，点的轨迹是椭圆； （2）当时，点的轨迹是线段； （3）当时，点不存在． 知识点02 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 离心率 ，且 的关系 离心率表示椭圆的扁平程度．当越接近于1时，越接近于，从而越小，因此椭圆越扁；当越接近于0时，越接近于0，从而越大，因此椭圆越接近圆；当时，，两焦点重合，图形就是圆． 知识点03 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点与椭圆的位置关系： 点在椭圆上； 点在椭圆内部； 点在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去得一个关于的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 相切 一解 相离 无解 【熟记重要结论】 1．焦半径：椭圆上的点与左（下）焦点与右（上）焦点之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作． （1）； （2）； （3）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）． 2．焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大． （2）， 当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为． （3）焦点三角形的周长为． 3．焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长． 4．为椭圆的弦，，弦中点，则 （1）弦长； （2）直线的斜率． 5.椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 6.第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 7.焦点弦被焦点分成定比：若，则. 考点一 椭圆的定义及应用 1.已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 3.已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4.在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ． 考点二：椭圆的标准方程 5.“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7.与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 8.过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 考点三：焦点三角形 9.（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 10.(多选)已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 11.（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 12.（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 13.（多选）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为7 C．的最小值为 D．的最大值为1 14.（多选）（2025·高二·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 考点四：轨迹方程 15.已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 16.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 17.线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 18.已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 考点五 椭圆的简单几何性质 19.（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 20.（多选）已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且，则（ ） A．椭圆离心率为 B．周长为6 C．周长为6 D．椭圆方程为 21.（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 考点六 求椭圆的离心率 22.已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 23.已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 24.已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 25.已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 考点七 求椭圆离心率的取值范围 26.已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为 . 27.已知椭圆，设，若上存在3个不同的点使得，则的离心率的取值范围为 ． 28.已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是 29.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上任意一点，直线垂直于OP且交线段于点M，若，则该椭圆的离心率的取值范围 ． 30.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的取值范围是 . 考点八：由椭圆离心率求参数的取值范围 31.若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 32.设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 33.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是 . 34.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 考点九 椭圆中与距离相关的最值问题 35.已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 36.已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 37.已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 38.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 . 考点十 椭圆的实际应用 39．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为（其中，分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，取3.14），已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为（    ） A．0.41平方米 B．0.32平方米 C．0.22平方米 D．0.12平方米 40．如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子： ①；②；③；④.其中正确的式子是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 41．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 考点十一 与椭圆有关的数学文化题 42．加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 43．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则下列结论中正确的有（    ） 附：椭圆（）上一点处的切线方程为. A．圆法中圆的半径为 B． C． D． 考点十二 中点弦及对称问题 44．已知椭圆的离心率是． （1）若点在椭圆上，求椭圆的方程； （2）若存在过点的直线，使点关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围． 45．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 考点十三 定点问题 46．已知椭圆的离心率为，依次连接两个短轴端点和两个焦点，组成的四边形周长为8. (1)求椭圆的方程． (2)已知点，过点作直线交椭圆于两点，轴上是否存在一点（与点不重合），使得?若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由． 47．已知，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)曲线的右顶点为，直线与相交于点，，设直线，的斜率分别为，，且．作，垂足为，是否存在某个定点，使得以为直径的圆经过点?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点十三 定值问题 48．如图，已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，，且左焦点为．    (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，设，，求证：为定值． 49．已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点. （i）若的中点为，求的方程； （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 考点十四 最值问题 50．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 51．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)已知直线与交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，，求四边形面积的最大值． 考点十五 参数取值范围问题 52．已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 53．已知椭圆和圆的方程分别是，椭圆的离心率，点M，N分别在，上，的最大值为． (1)求，的方程； (2)点是圆上的动点，过点P作与椭圆有且只有一个交点的两直线，设直线的斜率分别为，且与x轴分别交于点A，B． （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围． 考点十六 新定义题 54．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 55．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 56．某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 1．（2024·全国英才杯竞赛）已知（其中），在平面直角坐标系中，有一个动点，且.给定：，作，垂足为点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）已知过椭圆的焦点，的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部（不含边界），则此椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）设椭圆的左､右焦点为，椭圆上一点和平面一点满足，则的最大值与最小值之和是（    ） A．48 B．50 C．52 D．54 4．（多选）（2024·山东泰安高二冬季竞赛）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 5．（2024·全国“极光杯”竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ． 6．（2024·广东肇庆竞赛）设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 . 7．（2024·广东肇庆竞赛）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ． 8．（2024·四川宜宾竞赛）已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最短距离为 ． 9．（2024·广西高二下竞赛）已知椭圆的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为 ． 10．（2023·全国奥赛一试）平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且与有唯一的公共点.则的焦距为 . 11．（2024·北京大学强基计划）在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求. 12．（2025·重庆竞赛）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 13．（2024·海南海口竞赛）已知椭圆 的上顶点与左顶点的距离为，离心率为，为轴上一点. (1)求椭圆方程; (2)连接交椭圆于点，过点作轴的垂线，交椭圆另一个点，求的取值范围. 14．（2024·上海竞赛）求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆. 15．（2024·上海竞赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 16．（2024·北京竞赛）在平面直角坐标系xOy中，方程表示椭圆，求m的取值范围. 17．（2023·湖南岳阳竞赛）已知椭圆的标准方程为，如图直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，角，焦点F满足，求离心率e. 18．（2022·江苏苏州竞赛）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)设点M在直线上，过M的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 19．（2024·全国“章鱼杯”竞赛）17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律： (a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内； (b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等. (c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比. 开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于，地球的公转轨道可近似看成圆，火星的公转轨道可近似看成圆，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.    (1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：，计算结果保留两位小数) (2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆，使得直线AB恒与相切？证明你的结论. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$