第一单元计算专项03：九种简便计算巧算法（拓展）-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元计算专项03：九种简便计算巧算法（拓展） 1．简便计算。 【答案】 【分析】仔细观察算式特点，题中2023比2022多1，因此可以把2023改写成（2022＋1），再运用乘法分配律计算。 【详解】 2．简便计算。 【答案】 【分析】将拆成，利用乘法分配律进行简算。 【详解】 3．简便计算。 【答案】 【分析】将拆成，拆成，先利用乘法分配律计算两边的乘法，再进行计算。 【详解】 4．简便计算。 （1）               （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先把改写成，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （2）先把改写成，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【详解】（1） （2） 5．简便计算。 （1）           （2） 【答案】（1）；（2）1999 【分析】（1）把假分数改写成，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 （2）把假分数改写成，发现2000比1999多1，再把2000拆成1999＋1，把1给分数部分，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 6．简便计算。 ×＋×＋× 【答案】 【分析】观察到、、，可拆分成（98－）、（78－）、（58－），因为拆分后与乘数、、能凑整，然后利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c简便计算，得出98×－×＋78×－×＋58×－×；分别计算出乘法算式的结果为2－＋2－＋2－，再把整数部分相加2＋2＋2＝6，分数部分通分后相加＋＋＝，最后相减得到结果。 【详解】×＋×＋× ＝（98－）×＋（78－）×＋（58－）× ＝98×－×＋78×－×＋58×－× ＝2－＋2－＋2－ ＝（2＋2＋2）－（＋＋） ＝6－（＋＋） ＝6－ ＝－ ＝ 7．简便计算。 【答案】 【分析】36×38×（－），把36×38看作一个整体，根据乘法分配律，原式化为：36×38×－36×38×，再进行计算。 【详解】36×38×（－） ＝36×38×－36×38× ＝－ ＝ 8．简便计算。 【答案】 【分析】观察题目，发现和每个分数的分母都是两个自然数的乘积，且这两个自然数相差1，则可将分数拆分成两个分数相减的形式，再根据加法交换律和加法结合律，进行简便计算即可。 【详解】 9．简便计算。 【答案】 【分析】运用定律和性质及数字的特点可以进行分数巧算和简算。一般地，形如的分数可以拆成。形知的分数可以拆成，形如的分数可以拆成。这种方法就是拆分法，运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。因为这个算式中的每个加数都可以拆成两个数的差，如，，…其中的部分分数可以互相抵消，这样计算即可简算。 【详解】 10．简便计算。 。 【答案】 【分析】先把公因数提取出来，即把改写成，再利用等差数列的求和公式、裂项求和方法进行计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】本题是对等差数列求和公式和裂项相消法的应用，通过将每一项进行拆分，使得中间项相互抵消，从而简化计算。 11．简便计算。 【答案】 【分析】通过观察，错开相乘，奇数项之间相乘，偶数项之间相乘，他们之间可以抵消，据此解答。 【详解】 【点睛】解答本题的关键是先从整个式子中找出计算规律，通过中间项可以互相抵消，从而进行简便计算。 12．简便计算。 【答案】 【分析】设，，把a和b代入式子进行简化，然后利用乘法分配律、减法的性质进行计算，据此解答。 【详解】设 13．简便计算。 1998×（－）＋11×（－）－2009×（＋）＋3 【答案】0 【分析】运用乘法分配律，原式＝－＋－－－＋3，再运用“带符号搬家”的方法，把分母相同的分数放在一起，最后用“添括号”的方法把同分母分数相加减进行简算。 添括号方法：如果括号前面是加号，括号里面不变号；如果括号前面是减号，括号里面的加号要变成减号，减号要变成加号。 【详解】1998×（－）＋11×（－）－2009×（＋）＋3 ＝－＋－－－＋3 ＝3－＋－－－＋ ＝3－（－）－（＋）－（－） ＝3－1－1－1 ＝0 【点睛】运用乘法分配律去掉括号，再根据“带着符号搬家”和“添括号”的方法，把分母相同的分数相加减是解题的关键。 14．简便计算。 （1×2＋2×3）×（＋）＋（2×3＋3×4）×（＋）＋…＋（19×20＋20×21）×（＋） 【答案】 【分析】观察算式，先将括号是整数的式子按照乘法分配律改写，例如：1×2＋2×3＝2×（1＋3），2×3＋3×4＝3×（2＋4）……，可以就是把它看出两数相乘的形式；将括号里是分数的算式进行通分，例如：＋＝，＋＝，……，所以，原式可以用通用的式子表示：[n×（n＋1）＋（n＋1）×（n＋2）]×[＋]＝（n＋1）×（n＋n＋2）×＝＝＝，据此代入数据计算即可。 【详解】（1×2＋2×3）×（＋）＋（2×3＋3×4）×（＋）＋…＋（19×20＋20×21）×（＋） ＝4×19＋＋＋…＋ ＝76＋2×（1－＋－＋…＋－） ＝76＋2×（1＋－－） ＝ 【点睛】解答此题的关键是观察算式，对括号里的算式进行变形，将每一项分解找到可以相互抵消的项，将计算过程简化。 15．简便计算。 【答案】； 【分析】（1）先把带分数拆解为整数和真分数，然后根据加法的交换律和加法结合律，把整数与整数相加，分数与分数相加，可以分解为，可以分解为，其他的分数也都分解为两个分数相减的形式，然后再加减相抵消，最后再与整数部分相加。 （2）假设，，则，再把字母代入算式中，再根据乘法分配律、加法的交换律、结合律及减法的运算性质，进行简便运算。 【详解】 ＝ 假设，，则。 【点睛】先观察分数之间的关系，再进行合理的拆解和简化，运用加法的交换律、加法结合律、乘法的分配律以及减法的运算性质进行简便。 16．简便计算。 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先找出每个分数分母的计算规律，再通过分数拆分简化计算。 分母规律：观察1＋2、1＋2＋3、……、1＋2＋……＋19，这些是连续自然数相加。比如1＋2是前2个自然数和，1＋2＋3是前3个自然数和，总结得：前n个自然数和＝1＋2＋……＋n＝（1＋n、2＋（n－1），共组，和为） 分数变形：根据分母规律，＝，而可拆成2×（－）（通过通分验证理解：－＝＝，所以＝2×（－）。 简便计算：把每一项都拆成2×（－）后，相邻项的与后一项的－会抵消（如－与－，中间－和＋抵消），最后只剩首项和末项，简化计算。 （2）通过分组计算简化式子，把整数和分数部分分开，利用 “连续数求和” 技巧计算。 分组拆分：观察原式 ，可拆成整数部分和与分数部分和： 整数部分：20＋19＋18＋……＋1（是1到20的连续自然数相加）；分数部分：×1＋×2＋……＋×20（提取后，括号内是1到20的连续自然数相加）。 连续数求和：用“首尾配对法”计算连续自然数和（如1到20相加，1＋20＝21 ，2＋19＝21 ，……，共10组），和为×个数，即×20＝210。 合并计算：整数部分和减去分数部分和，分数部分先算括号内（1到20和为210），再乘 ，最后相减得结果。 【详解】（1） ＝2×（－） ＝2× ＝ ＝ （2） ＝（20＋19＋18＋……＋1）－（×1＋×2＋……＋×20） ＝（20＋19＋18＋……＋1）－×（1＋2＋3＋……＋20） ＝－× ＝－× ＝210－×210 ＝210－20 ＝190 【点睛】这两道题均通过 “转化思想”化繁为简。（1）题核心是分数裂项，利用连续自然数求和规律将分母变形，拆分分数后实现相邻项抵消；（2）题关键在于分组计算，把整数与分数部分分离，运用 “首尾配对法” 快速求和。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第一单元计算专项03：九种简便计算巧算法（拓展） 品日期： ⊙用时： 贝评价： 1.简便计算。 2×瑞 2.简便计算。 2021x125 2023 3.简便计算。 500x10122021 1500 1011 2022 4.简便计算。 品*2品 (2)×9+2x5 +一 916916 第1页共5页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 5.简便计算。 (1)298.3x199 (2)2000 11998 199^298 19981999 6.简便计算。 7动菊+”0河+570为 3029 7.简便计算。 36×38× 11 36×3737×38 8.简便计算。 1+1+1 4×55×66x7+…+7 39×40 第2页共5页 迎S并连￡嵬 ++00++0+0+刊小-（0++0+10++0+刊 °点1面恩‘乙1 -+1…任+任-+刊） 葛1到·[I 。0++6+9+++6+9+E+9++ °点1通0[ 001x66+.+bx+9xZ+乙x1 点1到恩‘6 皇重右与缕不 山03 XX Z 'M MM 侧麒右型 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 13.简便计算。 198×(+18)-209:〈+g)+3 14.简便计算。 12+23)×（高+)+(23+34)×+5女)++(1020+202D× (1 0+02 15.简便计算。 1+4+71+10+13+161+19+221+25 612 20 304256 72 90 品+++分+++}品+++++》 第4页共5页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 16.简便计算。 1121244ti23四 1 1 、2》 0-品*小-9-导8异xfn-4小6-景×-×20 第5页共5页命学科网 www.zxxk.com 让较与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第一单元计算专项03：九种简便计算巧算法（拓展） 蜀日期： ⊙用时： 真评价： 1.简便计算。 2023×123 2022 2.简便计算。 2021×125 2023 3.简便计算。 500×10122021 1500 10112022 4.简便计算。 (2) 第1页共5页 命学科网 www.zxxk.com 让救与学更高效 5.简便计算 (1)2983x199 199298 (2)2000-1×1998 19981999 6,简便计算。 ”哈菊+n给动 40*39+57x1 5730*29 7.简便计算。 11 36×38× 36×3737×38 8.简便计算。 111 1 4x55x66x7++】 39×40 第2页共5页 命学科网 www.zxxk.com 让救与学更高效 9.简便计算 111 1x22x33x4++ 9×100 10.简便计算。 11 1 1 33+63+6+9 3+6+9+.+309 11.简便计算。 +-+- 12.简便计算。 '202120222023 第3页共5页 命学科网 www.zxxk.com 让救与学更高效 13.简便计算。 198(分-)+1k(）-209(分+8)+3 14.简便计算。 12+23)×(+3)+23+30x(3+4)++1920+202)x(120 1 1 +202） 15.简便计算。 1+4+7+10+13+16+19+22+25 6 12 20 30 42 56 72 90 品+品+分+}仔+动)什贵动贵分动 第4页共5页 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 16.简便计算。 1 1 1+21+2+31+2+3+4.+1+2+3++19 、2 0异-京8-京6-列+-0 第5页共5页第 1 页 共 12 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元计算专项 03：九种简便计算巧算法（拓展） 1．简便计算。 1232023 2022  【答案】 123123 2022 【分析】仔细观察算式特点，题中 2023比 2022多 1，因此可以把 2023改写成（2022＋1）， 再运用乘法分配律计算。 【详解】 1232023 2022  123(2022 1) 2022    123 1232022 1 2022 2022     123123 2022   123123 2022  2．简便计算。 2021 125 2023  【答案】 1773124 2023 【分析】将 2021 2023拆成 21 2023      ，利用乘法分配律进行简算。 【详解】 2021 125 2023  21 125 2023        21 125 125 2023     250125 2023   1773124 2023  第 2 页 共 12 页 3．简便计算。 1012 2021500 1500 1011 2022    【答案】 7611999 1011 【分析】将 1012 1011 拆成 11 1011      ， 2021 2022拆成 11 2022      ，先利用乘法分配律计算两边的乘法，再 进行计算。 【详解】 1012 2021500 1500 1011 2022    1 1500 1 1 1500 1011 2022                 1 1500 1 500 1 1500 1500 1011 2022         500 750500 1500 1011 1011     500 750500 1500 1011 1011     500 7502000 1011 1011    500 7502000 1011 1011   7611999 1011  4．简便计算。 （1） 5 9 9 717 24 17 24    （2） 5 9 7 59 16 9 16    【答案】（1） 934；（2） 5 9 【分析】（1）先把 5 9 17 24  改写成 9 5 17 24  ，然后根据乘法分配律 a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简 算； （2）先把 7 5 9 16  改写成 5 7 9 16  ，然后根据乘法分配律 a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【详解】（1） 5 9 9 717 24 17 24    9 5 9 7 17 24 17 24     9 5 7 17 24 24        9 1 17 2   第 3 页 共 12 页 9 34  （2） 5 9 7 59 16 9 16    5 9 5 7 9 16 9 16     5 9 7 9 16 16        5 1 9   5 9  5．简便计算。 （1） 3 199298 199 298  （2） 1 19982000 1998 1999  【答案】（1） 3199 298 ；（2）1999 【分析】（1）把假分数 3298 199 改写成 3298 199 （ ），然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c 进行简算。 （2）把假分数 12000 1998 改写成 12000 1998 （ ），发现 2000比 1999多 1，再把 2000拆成 1999＋1， 把 1给分数部分，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） 3 199298 199 298  ＝ 3 199298 199 298  （ ） ＝ 199 3 199298 298 199 298    ＝ 3199 298  ＝ 3199 298 （2） 1 19982000 1998 1999  ＝ 1 19982000 1998 1999  （ ） ＝ 1 19981999 1 1998 1999   （ ） ＝ 1999 19981999 1998 1999  （ ） ＝ 1998 1999 19981999 1999 1998 1999    第 4 页 共 12 页 ＝1998 1 ＝1999 6．简便计算。 197 50 × 149＋ 177 40 × 1 39＋ 157 30 × 129 【答案】 5535 600 【分析】观察到 197 50 、 177 40 、 157 30 ，可拆分成（98－ 4950 ）、（78－ 39 40）、（58－ 29 30 ），因 为拆分后与乘数 1 49、 1 39、 1 29能凑整，然后利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c简便计算， 得出 98× 149－ 49 50 × 149＋78× 1 39－ 39 40 × 1 39＋58× 1 29－ 29 30 × 1 29；分别计算出乘法算式的结果为 2 － 1 50＋2－ 1 40 ＋2－ 1 30 ，再把整数部分相加 2＋2＋2＝6，分数部分通分后相加 150＋ 1 40 ＋ 1 30 ＝ 47 600 ，最后相减得到结果。 【详解】 197 50 × 149＋ 177 40 × 1 39＋ 157 30 × 129 ＝（98－ 49 50 ）× 149＋（78－ 39 40）× 1 39＋（58－ 29 30 ）× 1 29 ＝98× 149－ 49 50 × 149＋78× 1 39－ 39 40 × 1 39＋58× 1 29－ 29 30 × 1 29 ＝2－ 150＋2－ 1 40 ＋2－ 1 30 ＝（2＋2＋2）－（ 150＋ 1 40 ＋ 1 30 ） ＝6－（ 12 600 ＋ 15 600 ＋ 20 600 ） ＝6－ 47600 ＝ 6005 600－ 47 600 ＝ 5535 600 7．简便计算。 1 136 38 36 37 37 38        【答案】 2 37 【分析】36×38×（ 1 36 37 － 1 37 38 ），把 36×38看作一个整体，根据乘法分配律，原式化为： 第 5 页 共 12 页 36×38× 1 36 37 －36×38× 1 37 38 ，再进行计算。 【详解】36×38×（ 1 36 37 － 1 37 38 ） ＝36×38× 1 36 37 －36×38× 1 37 38 ＝ 38 37 － 36 37 ＝ 2 37 8．简便计算。 1 1 1 1 4 5 5 6 6 7 39 40          【答案】 9 40 【分析】观察题目，发现和每个分数的分母都是两个自然数的乘积，且这两个自然数相差 1， 则可将分数拆分成两个分数相减的形式，再根据加法交换律和加法结合律，进行简便计算即可。 【详解】 1 1 1 1 4 5 5 6 6 7 39 40         1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 5 6 6 7 39 40                                 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 5 6 6 39 39 40                           1 1 4 40   10 1 40 40   9 40  9．简便计算。 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100          【答案】 99 100 【分析】运用定律和性质及数字的特点可以进行分数巧算和简算。一般地，形如 1 ( 1)a a  的分 数可以拆成 1 1 1a a   。形知 1 ( )a a n  的分数可以拆成 1 1 1 n a a n      ，形如 a b a b   的分数可以拆成 1 1 a b  。这种方法就是拆分法，运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简 第 6 页 共 12 页 化运算的目的。因为这个算式中的每个加数都可以拆成两个数的差，如 1 11 1 2 2    ， 1 1 1 2 3 2 3    ，…其中的部分分数可以互相抵消，这样计算即可简算。 【详解】 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100          1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 99 100                                 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 99 100          11 100   99 100  10．简便计算。 1 1 1 1 3 3 6 3 6 9 3 6 9 30              。 【答案】 20 33 【分析】先把公因数 1 3提取出来，即把 1 1 1 1 3 3 6 3 6 9 3 6 9 30              改写成 1 1 1 11 3 1 2 1 2 3 1 2 3 10             ，再利用等差数列的求和公式、裂项求和方法进行 计算即可。 【详解】 1 1 1 1 3 3 6 3 6 9 3 6 9 30              ＝ 1 1 1 11 3 1 2 1 2 3 1 2 3 10             ＝ 1 2 2 2 2 3 1 2 2 3 3 4 10 11           ＝ 2 1 1 1 1 1 1 11 3 2 2 3 3 4 10 11             ＝ 2 11 3 11       ＝ 2 10 3 11  ＝ 20 33 【点睛】本题是对等差数列求和公式和裂项相消法的应用，通过将每一项进行拆分，使得中间 项相互抵消，从而简化计算。 11．简便计算。 第 7 页 共 12 页 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 2 2 3 3 2021 2021                                                【答案】 1011 2021 【分析】通过观察，错开相乘，奇数项之间相乘，偶数项之间相乘，他们之间可以抵消，据此 解答。 【详解】 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 2 2 3 3 2021 2021                                                1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2021 2 3 4 2021                                                                           3 4 5 2022 1 2 3 2020 2 3 4 2021 2 3 4 2021                      2022 1 2 2021   1011 2021  【点睛】解答本题的关键是先从整个式子中找出计算规律，通过中间项可以互相抵消，从而进 行简便计算。 12．简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2021 2022 2023 2021 2022 2023 2024 2021 2022 2023 2024 2021 2022 2023                          ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 【答案】 1 2024 【分析】设 1 1 11 2021 2022 2023 a    ， 1 1 1 2021 2022 2023 b   ，把 a和 b代入式子进行简化，然后 利用乘法分配律、减法的性质进行计算，据此解答。 【详解】设 1 1 1 1 1 11 , 2021 2022 2023 2021 2022 2023 a b       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2021 2022 2023 2021 2022 2023 2024 2021 2022 2023 2024 2021 2022 2023                                      1 1 2024 2024 a b a b                1 1a 2024 2024 ab ab b      1 1a 2024 2024 ab ab b      第 8 页 共 12 页 1 1 2024 2024 a b      1a b 2024    1 1 1 1 1 1 11 2021 2022 2023 2021 2022 2023 2024               1 1 1 1 1 1 11 2021 2022 2023 2021 2022 2023 2024            11 2024   1 2024  13．简便计算。 1998×（ 1 11 － 1 2009）＋11×（ 1 1998 － 1 2009）－2009×（ 1 11 ＋ 1 1998 ）＋3 【答案】0 【分析】运用乘法分配律，原式＝ 1998 11 － 1998 2009＋ 11 1998 － 11 2009－ 2009 11 － 2009 1998 ＋3，再运用“带符 号搬家”的方法，把分母相同的分数放在一起，最后用“添括号”的方法把同分母分数相加减进 行简算。 添括号方法：如果括号前面是加号，括号里面不变号；如果括号前面是减号，括号里面的加号 要变成减号，减号要变成加号。 【详解】1998×（ 1 11 － 1 2009）＋11×（ 1 1998 － 1 2009）－2009×（ 1 11 ＋ 1 1998 ）＋3 ＝ 1998 11 － 1998 2009＋ 11 1998 － 11 2009－ 2009 11 － 2009 1998 ＋3 ＝3－ 200911 ＋ 1998 11 － 1998 2009－ 11 2009－ 2009 1998 ＋ 11 1998 ＝3－（ 200911 － 1998 11 ）－（ 1998 2009＋ 11 2009）－（ 2009 1998 － 11 1998 ） ＝3－1－1－1 ＝0 【点睛】运用乘法分配律去掉括号，再根据“带着符号搬家”和“添括号”的方法，把分母相同的 分数相加减是解题的关键。 14．简便计算。 （1×2＋2×3）×（ 11 2 ＋ 1 2 3 ）＋（2×3＋3×4）×（ 1 2 3 ＋ 1 3 4 ）＋…＋（19×20＋20×21）×（ 1 19 20 第 9 页 共 12 页 ＋ 1 20 21 ） 【答案】 16978 210 【分析】观察算式，先将括号是整数的式子按照乘法分配律改写，例如：1×2＋2×3＝2×（1＋ 3），2×3＋3×4＝3×（2＋4）……，可以就是把它看出两数相乘的形式；将括号里是分数的算 式进行通分，例如： 1 1 2 ＋ 1 2 3 ＝ 1 3 1 2 3  ＋ ， 1 2 3 ＋ 1 3 4 ＝ 2 4 2 3 4  ＋ ，……，所以，原式可以用通 用的式子表示：[n×（n＋1）＋（n＋1）×（n＋2）]×[ 1 n n 1（ ＋ ） ＋ 1 n 1 n 2（ ）＋ ＋ ） ]＝（n＋1）×（n ＋n＋2）× 1 n 2 n n 2n n （ ）（ ） ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 24 n n 1 n 2 （ ） （ ＋ ＋ ） ＝ n n 2 4 2 n n ＋ ＋ ） ） （ ＋ 4 （ ＝ 44 2n n（ ＋ ＋ ） ，据此代入数据计算即可。 【详解】（1×2＋2×3）×（ 11 2 ＋ 1 2 3 ）＋（2×3＋3×4）×（ 1 2 3 ＋ 1 3 4 ）＋…＋（19×20＋20×21） ×（ 1 19 20 ＋ 1 20 21 ） ＝4×19＋ 4 1 3 ＋ 4 2 4 ＋…＋ 4 19 21 ＝76＋2×（1－ 13＋ 1 2 － 1 4＋…＋ 1 19－ 1 21） ＝76＋2×（1＋ 12 － 1 20 － 1 21） ＝ 16978 210 【点睛】解答此题的关键是观察算式，对括号里的算式进行变形，将每一项分解找到可以相互 抵消的项，将计算过程简化。 15．简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 11 4 7 10 13 16 19 22 25 6 12 20 30 42 56 72 90 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41                          ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 【答案】 2117 5； 1 561 【分析】（1）先把带分数拆解为整数和真分数，然后根据加法的交换律和加法结合律，把整 数与整数相加，分数与分数相加， 1 6可以分解为 1 1 2 3      ， 1 12可以分解为 1 1 3 4      ，其他的分数也 都分解为两个分数相减的形式，然后再加减相抵消，最后再与整数部分相加。 （2）假设 1 1 1 111 21 31 41 a＋ ＋ ＋ ， 1 1 1 21 31 41 b＋ ＋ ，则 1 11 a b  ，再把字母代入算式中，再根据乘 第 10 页 共 12 页 法分配律、加法的交换律、结合律及减法的运算性质，进行简便运算。 【详解】 1 1 1 1 1 1 1 11 4 7 10 13 16 19 22 25 6 12 20 30 42 56 72 90 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝   1 1 1 1 1 1 1 11 4 7 10 13 16 19 22 25 6 12 20 30 42 56 72 90                     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1117 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10                      1 1117 2 10        5 1117 10 10        2117 5   2117 5  假设 1 1 1 1 11 21 31 41 a＋ ＋ ＋ ， 1 1 1 21 31 41 b＋ ＋ ，则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 21 31 41 21 31 41 11 21 31 41 21 31 41 11 a b                           。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41                          ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 1 1 51 51 a b a b                1 1 51 51 ab a ab b     1 1 51 51 ab ab a b      1 51 a b   1 1 51 11   1 561  【点睛】先观察分数之间的关系，再进行合理的拆解和简化，运用加法的交换律、加法结合律、 乘法的分配律以及减法的运算性质进行简便。 16．简便计算。 （1） 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 19                 （2） 2 2 2 2 2 220 1 19 2 18 3 17 4 16 5 1 20 21 21 21 21 21 21                                                      第 11 页 共 12 页 【答案】（1） 9 10 （2）190 【分析】（1）先找出每个分数分母的计算规律，再通过分数拆分简化计算。 分母规律：观察 1＋2、1＋2＋3、……、1＋2＋……＋19，这些是连续自然数相加。比如 1＋2 是前 2个自然数和，1＋2＋3是前 3个自然数和，总结得：前 n个自然数和＝1＋2＋……＋n ＝ n n+ 2 （ 1） （1＋n、2＋（n－1），共 n2组，和为 n n+ 2 （ 1） ） 分数变形：根据分母规律， 1 1 2 n  …… ＝ 2 n n 1 （ ），而 2 n n+1（ ）可拆成 2×（ 1 n－ 1 n+1 ）（通过 通分验证理解： 1 n－ 1 n+1 ＝ n+1 n n (n+1) － ＝ 1 n (n+1) ，所以 2 n (n+1) ＝2×（ 1 n－ 1 n+1 ）。 简便计算：把每一项都拆成 2×（ 1n－ 1 n+1 ）后，相邻项的 1 n+1 与后一项的－ 1 n+1 会抵消（如 1 2 － 1 3与 1 3－ 1 4，中间－ 1 3和＋ 1 3抵消），最后只剩首项和末项，简化计算。 （2）通过分组计算简化式子，把整数和分数部分分开，利用 “连续数求和” 技巧计算。 分组拆分：观察原式 ，可拆成整数部分和与分数部分和： 整数部分：20＋19＋18＋……＋1（是 1到 20的连续自然数相加）；分数部分： 221×1＋ 2 21 ×2 ＋……＋ 221 ×20（提取 2 21后，括号内是 1到 20的连续自然数相加）。 连续数求和：用“首尾配对法”计算连续自然数和（如 1到 20相加，1＋20＝21 ，2＋19＝21 ，……， 共 10组），和为 2 首数+尾数 ×个数，即1 202  ×20＝210。 合并计算：整数部分和减去分数部分和，分数部分先算括号内（1到 20和为 210），再乘 221， 最后相减得结果。 【详解】（1） 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 19                         1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 1 3 3 1 4 4 1 19 19 2 2 2 2                   2 2 2 2 2 3 3 4 4 5 19 20           1 1 1 1 1 1 1 12 2 3 3 4 4 5 19 20                1 12 2 20        第 12 页 共 12 页 ＝2×（ 1020－ 1 20 ） ＝2× 920 ＝ 18 20 ＝ 9 10 （2） 2 2 2 2 2 220 1 19 2 18 3 17 4 16 5 1 20 21 21 21 21 21 21                                                      ＝（20＋19＋18 ＋……＋1）－（ 221 ×1＋ 2 21 ×2＋……＋ 2 21×20） ＝（20＋19＋18＋……＋1）－ 221 ×（1＋2＋3＋……＋20） ＝ 2 （1+20） 20 － 2 21 × 2 （1+20） 20 ＝ 420 2 － 2 21 × 420 2 ＝210－ 221 ×210 ＝210－20 ＝190 【点睛】这两道题均通过 “转化思想”化繁为简。（1）题核心是分数裂项，利用连续自然数求 和规律将分母变形，拆分分数后实现相邻项抵消；（2）题关键在于分组计算，把整数与分数 部分分离，运用 “首尾配对法” 快速求和。