圆锥曲线解答题分类汇编-2019—2021年浙江省高职考数学真题模拟试题

2019—2021年浙江省高职考数学真题+模拟分类汇编 圆锥曲线（解答题） 三、解答题 1.（2019浙江四模）已知双曲线的实轴长为8，、分别为左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线交双曲线于点，且. 求：第1题图 （1）线段和的长度； （2）双曲线的渐近线方程. 2.（2019真题）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为F(3，0). （1）求抛物线的标准方程 （2）若抛物线上点M到焦点的距离为4，求点M的坐标. 3．（2020嘉兴二模）如图，已知椭圆的顶点，为双曲线的焦点，椭圆的焦点，为双曲 线的顶点，椭圆与双曲线在第一象限的交点为C，若的周长为8，且． 求：第3题图 （1）双曲线的标准方程； （2）的面积． 4.（2021宁波一模）已知三点，，． （1）求以A、B为焦点且过点的椭圆的标准方程； （2）求以A、B为顶点且以（1）中椭圆的左、右顶点为焦点的双曲线方程． 5.（2021嘉兴三模）已知椭圆的焦点为，，M为椭圆上一点，三角形的周长 为12，求： （1）椭圆的方程； （2）与此椭圆共焦点，离心率为椭圆离心率倒数的双曲线方程. 6.（2020真题）若椭圆的焦距为2，离心率为，斜率为1的直线经过椭圆的 左焦点，交椭圆于A，B两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求|AB|的值. 7.（2021温州三模）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，点A为椭圆的上顶点，B F1 F2 x y A O 第7题图 已知△是边长为2的正三角形. （1）求该椭圆的标准方程； （2）延长线段交椭圆于点B，连接B，，求的长. 8.（2021浙江二模）设椭圆E：的左焦点和右焦点分别为和，经过点的 直线l交椭圆E于A，B两点，且椭圆E的离心率为，△的周长为. （1）求椭圆E的方程； （2）若直线l经过点，求线段AB的长度. 9.（2020浙江五模）已知椭圆的左焦点为，斜率为1的直线l经过点，且交椭圆于 M，N两点. （1）求直线l的方程和弦长； （2）在椭圆上求点P，使得点P到直线l的距离取得最大值. 10.（2021浙江一模）如图所示，已知椭圆的方程为，双曲线的中心在坐标原点，实轴在 x轴上，且双曲线的左顶点到椭圆的左顶点的距离为，椭圆的离心率和双曲线的离心率之 比为，直线l经过椭圆的左焦点交双曲线于A，B两点，且直线l的倾斜角的余弦值为，第10题图 求： （1）双曲线的标准方程； （2）弦长. 11.（2020浙江四模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，直线l经过双曲线的左 焦点，倾斜角的余弦值为，直线l与双曲线相交于A，B两点，交椭圆于C，D两点. 求： （1）m的值； （2）直线l的方程； （3）的值. 12.（2019嘉兴一模）已知抛物线E：经过圆C：的圆心C， 且焦点为F，求： （1）抛物线的标准方程； （2）直线CF被抛物线所截得的弦长. 13.（2020温州二模）已知抛物线的顶点在原点，以y轴为对称轴，开口向下，焦点到准线的距离为4. （1）求抛物线的方程； （2）若点M，N在抛物线上，且点M，N到直线的距离均为，求线段MN的长. 14.（2021宁波二模）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长 15.（2021嘉兴二模）已知抛物线上一点，到抛物线的准线的距离为 5；双曲线，其左顶点为A，左、右焦点分别为、，且双曲线的一条渐近线与直 线AM垂直. 求： （1）抛物线和双曲线的标准方程； （2）过且斜率为1的直线与双曲线交于D、E，求线段DE的长. 16．（2019嘉兴二模）已知椭圆C的左右焦点分别为和，且F2到直线 的距离等于椭圆的短轴长．求： （1）椭圆C的方程； （2）若经过原点的直线，被椭圆所截得的弦长为，求直线的方程． 17.（2021真题）已知抛物线顶点为原点，准线l：. （1）求抛物线的标准方程； （2）过焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若，求直线AB的方程. 18.（2019浙江二模）若椭圆的离心率为，抛物线的 焦点为椭圆的顶点. （1）求椭圆和抛物线的方程； （2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，当线段PQ长度为8时，求直线l的 方程. 19.（2019宁波一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且椭圆上一点与两焦点的距离和为6， 离心率为. 求： （1）椭圆的标准方程； （2）过点与x轴垂直的直线l，与椭圆交于A，B两点（A点在x轴上方），此时△OAB的 面积. 20.（2019温州一模）已知椭圆的离心率为，焦距为. （1）求椭圆的标准方程；第20题图 （2）O为坐标原点，过点且斜率为的直线，与椭 圆相交于P，Q两点，求△OPQ的面积. 21.（2020温州一模）椭圆的左、右焦点分别为，，斜率不为0的直线l经过与椭第21题图 圆交于A，B两点. （1）试说明△的周长为定值，并求此定值； （2）若直线l的倾斜角为45°，求△的面积. 22.（2021嘉兴一模）如图，分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆C的 顶点，B是直线与椭圆C的另一个交点，第22题图 （1）求椭圆C的离心率； （2）若椭圆焦距为10，求的面积． 23.（2021浙江五模）已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，且短半轴长为1，离心率 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作一条斜率为2的直线l，且直线l交椭圆C于A，B两点，求 △OAB的面积. 24.（2021浙江四模）如图所示，已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的焦点为，，椭圆的右焦 点与抛物线的焦点相同，且抛物线与椭圆相交于M，N两点. 若点M的横坐标为，x y O F1 N F2 M 第24题图 求： （1）椭圆的标准方程； （2）△的面积. 25.（2021湖州一模）已知椭圆中心在原点且对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦 点重合，椭圆的离心率是， （1）求椭圆的标准方程； （2）直线l过点且倾斜角为，直线l与椭圆交于M，N两点，求的面积（点O 为坐标原点）. 26.（2019浙江一模）已知双曲线，以双曲线的顶点为焦点，以双曲线离心率的倒数为离 心率作椭圆. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆左焦点作倾斜角为的弦AB，求与右焦点构成△的面积. 27.（2021温州二模）已知双曲线. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若直线过双曲线的右焦点，且交双曲线于，两点，点为坐标原点，求 △ABO的面积. 28.（2019浙江五模）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过双曲线的 左焦点作倾斜角为α的直线l，其中. 若直线l与双曲线相交于A，B两点，求： （1）m的值与直线l的方程； （2）△面积. 29．（2019丽水二模）若抛物线的顶点在坐标原点O，且以双曲线的右焦点 为焦点. （1）求此抛物线的标准方程； （2）若斜率为1的直线l经过点F，且与抛物线相交于两点，求的面积. 30.（2020宁波二模）已知抛物线，其焦点为F，直线l过F与抛物线C交于M、 N两点，当l的斜率为0时，. 求： （1）p的值； （2）当l的斜率为1时，三角形OMN的面积. 31.（2021宁波三模）过抛物线的焦点作斜率为的直线. （1）求直线方程； （2）设直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，求△ABO的面积. 32.（2021浙江三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点P在椭圆上， 且，椭圆的离心率. 经过椭圆的右焦点作与x轴垂直的直线l，直线l与椭 圆相交于A，B两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）若△PAB的面积为15，求点P的坐标； （3）求△PAB的面积的最大值. 33.（2019湖州一模）已知椭圆的离心率为，且过其右焦点F与长轴垂直 的直线被椭圆截得的弦长为2.第33题图 （1）求椭圆的方程； （2）设点P是椭圆上的一个动点，直线与 椭圆交于A、B两点，求△PAB面积的最大值. 34.（2020浙江二模）如图所示，已知椭圆的焦点，，P是椭圆上一点，且是 ，的等差中项.O x y A P B F1 F2 第34题图 （1）求此椭圆的标准方程； （2）求以椭圆右焦点为焦点的抛物线的标准方程； （3）若经过抛物线的焦点，且斜率为1的直线l，与 抛物线相交于A，B两点，抛物线上点P在弧 AB上运动，求△PAB的最大面积. 35．（2020嘉兴二模）如图所示，椭圆焦点的坐标为，直线与椭圆交于A、B两点，第35题图 若，．求： （1）k的值； （2）椭圆的标准方程． 36．（2019宁波二模）已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点第36题图 距离的最小值是. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过椭圆左焦点的直线l与椭圆相交于两点， M为PQ的中点，若是以OF为底边的等腰 三角形，求直线l的方程． 37.（2020温州三模）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为 ，直线l：与双曲线交于不同的两点A，B. （1）求双曲线的标准方程； （2）若线段AB的中点在直线上，求m的值. 38.（2020浙江三模）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为弦AB的中点，求直线l的方程. 39.（2021温州一模）已知抛物线的焦点为. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线交抛物线于A，B两点，且弦AB中点的横坐标为2，求的值. 40.（2019温州二模）已知双曲线的渐近线方程为，焦点为（±5，0），直线l与双曲线交于 A，B两点，若点P（2，1）平分线段AB，求： （1）双曲线的标准方程： （2）直线l的方程. 41.（2019浙江三模）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点 的距离为6. （1）求抛物线C的方程； （2）若抛物线C与直线相交于不同的两点M，N，且中点横坐标为2，求. 42.（2020浙江一模）已知双曲线的离心率，且过点. （1）求此双曲线的标准方程； （2）设B为双曲线虚轴的下端点，直线交双曲线于C，D两点，以点B为圆 心的圆与直线l相切于线段CD的中点，求k的值. 43.（2020宁波三模）已知双曲线的渐近线方程为，直线与双 曲线的右支交于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2019—2021年浙江省高职考数学真题+模拟分类汇编 圆锥曲线（解答题） 三、解答题 1.（2019浙江四模）已知双曲线的实轴长为8，、分别为左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线交双曲线于点，且. 求：第1题图 （1）线段和的长度； （2）双曲线的渐近线方程. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）∵， ∴ 又∵ ∴， （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴双曲线的渐近线方程为 2.（2019真题）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为F(3，0). （1）求抛物线的标准方程 （2）若抛物线上点M到焦点的距离为4，求点M的坐标. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴ 又∵焦点在x正半轴上 ∴抛物线的标准方程为 （2）设，则 由抛物线定义，得 ∴ ∴ ∴ ∴或 3．（2020嘉兴二模）如图，已知椭圆的顶点，为双曲线的焦点，椭圆的焦点，为双曲 线的顶点，椭圆与双曲线在第一象限的交点为C，若的周长为8，且． 求：第3题图 （1）双曲线的标准方程； （2）的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c 设双曲线实轴长为，虚轴长为，焦距为 由题可知，在椭圆中，即，在双曲线中， 依题意有，所以，所以 双曲线方程为： （2）由（1）可知，椭圆的标准方程为联立可得点C纵坐标为， 所以． 4.（2021宁波一模）已知三点，，． （1）求以A、B为焦点且过点的椭圆的标准方程； （2）求以A、B为顶点且以（1）中椭圆的左、右顶点为焦点的双曲线方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得， 则，所以 因此所求的椭圆的标准方程为 （2）椭圆的左右顶点为， 则在双曲线中，， 所以 即所求双曲线方程为 5.（2021嘉兴三模）已知椭圆的焦点为，，M为椭圆上一点，三角形的周长 为12，求： （1）椭圆的方程； （2）与此椭圆共焦点，离心率为椭圆离心率倒数的双曲线方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为，焦距为2c， 由椭圆定义知三角形的周长为， 又 ，∴，， 故椭圆方程为 （2）由（1）可知椭圆离心率为，故双曲线离心率为，焦点为，，焦点在x轴上 设双曲线的实轴、虚轴长分别为，则， 所以，故双曲线方程为 6.（2020真题）若椭圆的焦距为2，离心率为，斜率为1的直线经过椭圆的 左焦点，交椭圆于A，B两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求|AB|的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴椭圆的标准方程 （2）∵左焦点为，直线的斜率为1 ∴直线方程为 设， 由消去y，得 化简整理，得 解得， ∴ 7.（2021温州三模）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，点A为椭圆的上顶点，B F1 F2 x y A O 第7题图 已知△是边长为2的正三角形. （1）求该椭圆的标准方程； （2）延长线段交椭圆于点B，连接B，，求的长. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得，解得， ∴ ∴该椭圆的标准方程为 （2）解法一：∵， ∴ ∴直线AB的方程为，即 由消去y，得 化简整理，得 解得， ∴点 又∵ ∴ 解法二：∵ ∴由余弦定理得 ∴ ∴ （*） 又∵ ① ∴（*）式即 化简整理，得 ② 由①②解得 8.（2021浙江二模）设椭圆E：的左焦点和右焦点分别为和，经过点的 直线l交椭圆E于A，B两点，且椭圆E的离心率为，△的周长为. （1）求椭圆E的方程； （2）若直线l经过点，求线段AB的长度. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴椭圆E的方程为 （2）∵直线l经过点和 ∴可求得直线l的方程为 由消去y，得 化简整理，得 ∴ 9.（2020浙江五模）已知椭圆的左焦点为，斜率为1的直线l经过点，且交椭圆于 M，N两点. （1）求直线l的方程和弦长； （2）在椭圆上求点P，使得点P到直线l的距离取得最大值. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）∵ ∴左焦点为 又∵直线l的斜率为1 ∴直线l的方程为 由消去y，得 化简整理，得 ∴弦长 （2）设平行于直线l的直线方程为 由消去y，得 化简整理，得 由得，解得或（舍去） 由解得 ∴点 10.（2021浙江一模）如图所示，已知椭圆的方程为，双曲线的中心在坐标原点，实轴在 x轴上，且双曲线的左顶点到椭圆的左顶点的距离为，椭圆的离心率和双曲线的离心率之 比为，直线l经过椭圆的左焦点交双曲线于A，B两点，且直线l的倾斜角的余弦值为，第10题图 求： （1）双曲线的标准方程； （2）弦长. 【答案】（1）；（2）4 【解析】（1）设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，离心率为e 设双曲线实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为 由题意得，，，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵双曲线的实轴在x轴上 ∴双曲线的标准方程为 （2）∵， ∴ ∴直线l的斜率 又∵直线l经过椭圆的左焦点 ∴直线l的方程为，即 由消去y，得 化简整理，得 ∴ 11.（2020浙江四模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，直线l经过双曲线的左 焦点，倾斜角的余弦值为，直线l与双曲线相交于A，B两点，交椭圆于C，D两点. 求： （1）m的值； （2）直线l的方程； （3）的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，离心率为e 设双曲线实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为 由题意得，， ， ，， ∴ 解得 （2）∵倾斜角的余弦值为 ∴倾斜角 ∴直线l的斜率 又∵直线l经过双曲线的左焦点 ∴直线l的方程为 （3）由消去y，得 化简整理，得 ∴ 由消去y，得 化简整理，得 ∴ ∴ 12.（2019嘉兴一模）已知抛物线E：经过圆C：的圆心C， 且焦点为F，求： （1）抛物线的标准方程； （2）直线CF被抛物线所截得的弦长. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵圆C：即 ∴圆心为 将点代入，得，解得 ∴抛物线的标准方程为 （2）∵抛物线焦点， ∴ ∴直线CF的方程为，即 由消去y，得 化简整理，得 ∴直线CF被抛物线所截得的弦长为 （另解：由得，所以弦长为） 13.（2020温州二模）已知抛物线的顶点在原点，以y轴为对称轴，开口向下，焦点到准线的距离为4. （1）求抛物线的方程； （2）若点M，N在抛物线上，且点M，N到直线的距离均为，求线段MN的长. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得 又∵抛物线开口向下 ∴抛物线的方程为 （2）由题意可知直线MN与直线平行 设直线MN的方程为 则 解得或 当时，由消去y，得 化简整理，得 ∴ 当时，由消去y，得 化简整理，得 ∴舍去 综上，直线CF被抛物线所截得的弦长为 此时直线与抛物线没有交点，故将 14.（2021宁波二模）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得，，解得 ∴抛物线C的标准方程为 （2）设，， 由消去y，得 ∴． 15.（2021嘉兴二模）已知抛物线上一点，到抛物线的准线的距离为 5；双曲线，其左顶点为A，左、右焦点分别为、，且双曲线的一条渐近线与直 线AM垂直. 求： （1）抛物线和双曲线的标准方程； （2）过且斜率为1的直线与双曲线交于D、E，求线段DE的长. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）由题意可知，解得 ∴抛物线的标准方程为，且 又∵双曲线的左顶点，渐近线方程为 ∴由垂直可知，得 ∴双曲线的标准方程为 （2）易知 ∴直线DE的方程为 又双曲线 由消去y，得 ∴ 16．（2019嘉兴二模）已知椭圆C的左右焦点分别为和，且F2到直线 的距离等于椭圆的短轴长．求： （1）椭圆C的方程； （2）若经过原点的直线，被椭圆所截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵椭圆C的左右焦点分别为和 ∴ ∵到直线的距离 ∴ ∴ ∴ ∴椭圆C的方程为 （2）由题意可知所求直线的斜率存在， 可设直线的方程为 由消去y，得 化简整理，得 又∵直线被椭圆所截得的弦长为 ∴ 化简整理，得 ∴ ∴所求直线的方程为 17.（2021真题）已知抛物线顶点为原点，准线l：. （1）求抛物线的标准方程； （2）过焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若，求直线AB的方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）由题意得，解得 ∴抛物线的标准方程为 （2）由题意可知直线AB的斜率存在 ∵焦点 ∴可设直线AB的方程为，即 由消去y，得 化简整理，得 又∵ ∴ 化简整理，得 解得 ∴直线AB的方程为或 18.（2019浙江二模）若椭圆的离心率为，抛物线的 焦点为椭圆的顶点. （1）求椭圆和抛物线的方程； （2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，当线段PQ长度为8时，求直线l的 方程. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）∵椭圆中 ∴ ∴ ∴ ∴椭圆的方程为 ∵抛物线开口向上 ∴抛物线的焦点为椭圆的上顶点 ∴，解得 ∴抛物线的方程为 （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0 可设直线l的方程为，即 设， 由消去y，得 化简整理，得 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 解得 ∴所求直线l的方程为 19.（2019宁波一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且椭圆上一点与两焦点的距离和为6， 离心率为. 求： （1）椭圆的标准方程； （2）过点与x轴垂直的直线l，与椭圆交于A，B两点（A点在x轴上方），此时△OAB的 面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵焦点在y轴上 ∴椭圆的标准方程为 （2）将代入椭圆，得，解得 ∴， ∴ ∴ 20.（2019温州一模）已知椭圆的离心率为，焦距为. （1）求椭圆的标准方程；第20题图 （2）O为坐标原点，过点且斜率为的直线，与椭 圆相交于P，Q两点，求△OPQ的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴椭圆的标准方程为 （2）由点斜式得直线方程为，即 由消去y，得 化简整理，得 ∴ 又∵原点到直线PQ的距离为 ∴ 21.（2020温州一模）椭圆的左、右焦点分别为，，斜率不为0的直线l经过与椭第21题图 圆交于A，B两点. （1）试说明△的周长为定值，并求此定值； （2）若直线l的倾斜角为45°，求△的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由椭圆定义知，椭圆上的点到两个焦点 的距离之和等于常数2a，那么的周长为 由已知可得，所以的周长 （2）设，，焦点为， 可得直线AB的方程为 由消去y，得 化简整理，得 ∴ 又∵到直线AB的距离 ∴ 22.（2021嘉兴一模）如图，分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆C的 顶点，B是直线与椭圆C的另一个交点，.第22题图 （1）求椭圆C的离心率； （2）若椭圆焦距为10，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵， ∴是正三角形 ∴ ∴椭圆C的离心率 （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴椭圆C的标准方程为 ∵， ∴ ∴直线的方程为，即 由消去y，得 化简整理，得 解得， ∴ ∴ 23.（2021浙江五模）已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，且短半轴长为1，离心率 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作一条斜率为2的直线l，且直线l交椭圆C于A，B两点，求 △OAB的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴ ∴ 又∵焦点在x轴上 ∴椭圆C的标准方程为 （2）∵ ∴右焦点 ∴直线l的方程为，即 由消去y，得 化简整理，得 ∴ 又∵原点到直线的距离 ∴ 24.（2021浙江四模）如图所示，已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的焦点为，，椭圆的右焦 点与抛物线的焦点相同，且抛物线与椭圆相交于M，N两点. 若点M的横坐标为，x y O F1 N F2 M 第24题图 求： （1）椭圆的标准方程； （2）△的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴ ∴抛物线的焦点为 ∴椭圆的焦点为, ∴ 将代入抛物线，得，解得 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴椭圆的标准方程为 （2）∵点到直线MN的距离为， ∴ 25.（2021湖州一模）已知椭圆中心在原点且对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦 点重合，椭圆的离心率是， （1）求椭圆的标准方程； （2）直线l过点且倾斜角为，直线l与椭圆交于M，N两点，求的面积（点O 为坐标原点）. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴ ∴抛物线的焦点为 ∴椭圆的焦点为, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴椭圆的标准方程为 （2）∵直线l的斜率，且直线过点 ∴直线l的方程为，即 由消去y，得 化简整理，得 ∴ 又∵原点到直线的距离 ∴ 26.（2019浙江一模）已知双曲线，以双曲线的顶点为焦点，以双曲线离心率的倒数为离 心率作椭圆. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆左焦点作倾斜角为的弦AB，求与右焦点构成△的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵双曲线的顶点为，离心率为 ∴椭圆的焦点为，离心率为 ∴椭圆中 又∵ ∴ ∴ ∴椭圆的标准方程为 （2）∵左焦点，直线AB的斜率 ∴直线AB的方程为 由消去y，得 化简整理， 得 ∴ 又∵到直线AB的距离 ∴ 27.（2021温州二模）已知双曲线. （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）若直线过双曲线C的右焦点，且交双曲线于，两点，点O为坐标原点，求 △ABO的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵， ∴双曲线C的渐近线方程为 （2）∵ ∴右焦点 将代入直线，得，解得 ∴直线 由消去y，得 化简整理，得 ∴ 又∵原点到直线AB的距离 ∴ 28.（2019浙江五模）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过双曲线的 左焦点作倾斜角为α的直线l，其中. 若直线l与双曲线相交于A，B两点，求： （1）m的值与直线l的方程； （2）△面积. 【答案】（1），；（2）3 【解析】（1）∵ ∴ ∴抛物线的焦点为 ∴双曲线的右焦点为 ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵双曲线的左焦点为 ∴直线l的方程为，即 由消去y，得 化简整理，得 ∴ 又∵到直线AB的距离 ∴ 29．（2019丽水二模）若抛物线的顶点在坐标原点O，且以双曲线的右焦点 为焦点. （1）求此抛物线的标准方程； （2）若斜率为1的直线l经过点F，且与抛物线相交于两点，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵双曲线的右焦点为 ∴抛物线的焦点为 ∴ ∴ ∴抛物线的标准方程为 （2）可得直线l的方程为 设， 由消去y，得 化简整理，得 ∴ ∴ 又∵原点到直线AB的距离 ∴ 30.（2020宁波二模）已知抛物线，其焦点为F，直线l过F与抛物线C交于M、 N两点，当l的斜率为0时，. 求： （1）p的值； （2）当l的斜率为1时，三角形OMN的面积. 【答案】（1）4；（2） 【解析】（1）由题意，当l的斜率为0时，恰好是抛物线的通径长，即 ∴ （2）由（1）知，抛物线方程为，焦点 ∴当直线l的斜率为1时，其方程为，即 设， 由消去y，得 化简整理， 得 ∴ ∴ ∴ 又∵原点到直线MN的距离 ∴ 31.（2021宁波三模）过抛物线的焦点作斜率为的直线. （1）求直线方程； （2）设直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，求△ABO的面积. c∵ ∴ 又∵抛物线开口向右 ∴焦点为 ∴所求直线的方程为，即 （2）设， 由消去y，得 化简整理，得 ∴ ∴ 又∵原点到直线AB的距离 ∴ 32.（2021浙江三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点P在椭圆上， 且，椭圆的离心率. 经过椭圆的右焦点作与x轴垂直的直线l，直线l与椭 圆相交于A，B两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）若△PAB的面积为15，求点P的坐标； （3）求△PAB的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）或；（3）18 【解析】（1）由题意得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴椭圆的标准方程为 （2）由（1）可知右焦点为 将代入椭圆，得，解得 ∴， ∴ 设点 则 解得或（舍去） 将代入椭圆，得，解得 ∴或 （3）当，即点时， ∴ 33.（2019湖州一模）已知椭圆的离心率为，且过其右焦点F与长轴垂直 的直线被椭圆截得的弦长为2.第33题图 （1）求椭圆的方程； （2）设点P是椭圆上的一个动点，直线与 椭圆交于A、B两点，求△PAB面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得，解得， ∴椭圆的方程为 （2）由消去y，得 化简整理，得 ∴ 设过点P且平行于直线l的直线m：，则直线l与m之间的距离即为点P到直线AB的距离. 当直线m与椭圆相切，且在椭圆下方时，距离取得最大值. 由消去y，得 化简整理，得 ∵ ∴ ∴或（舍去） ∴点P到直线AB的最大距离 ∴ 34.（2020浙江二模）如图所示，已知椭圆的焦点，，P是椭圆上一点，且是 ，的等差中项.O x y A P B F1 F2 第34题图 （1）求此椭圆的标准方程； （2）求以椭圆右焦点为焦点的抛物线的标准方程； （3）若经过抛物线的焦点，且斜率为1的直线l，与 抛物线相交于A，B两点，抛物线上点P在弧 AB上运动，求△PAB的最大面积. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由题意得 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴此椭圆的标准方程为 （2）由题意得 ∴ 又∵抛物线开口向右 ∴抛物线的标准方程为 （3）可知直线l的方程为 设， 由消去y，得 化简整理，得 ∴ ∴ 设过点P且平行于直线l的直线m：，则直线l与m之间的距离即为点P到直线AB的距离. 当直线m与抛物线相切时，距离取得最大值. 由消去y，得 化简整理，得 ∵ ∴ ∴ ∴点P到直线AB的最大距离 ∴ 35．（2020嘉兴二模）如图所示，椭圆焦点的坐标为，直线与椭圆交于A、B两点，第35题图 若，．求： （1）k的值； （2）椭圆的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）焦点到直线的距离为 ∴ 化简整理，得 ∴ （2）不妨设 ∵点A、B在直线上 ∴可设，则 ∴ 解得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴椭圆的标准方程为 36．（2019宁波二模）已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点第36题图 距离的最小值是. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过椭圆左焦点的直线l与椭圆相交于两点， M为PQ的中点，若是以OF为底边的等腰 三角形，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）由题意得 又∵ ∴， ∴ ∴椭圆的标准方程为 （2）∵是以OF为底边的等腰三角形，且 ∴ 由题意可知，直线l的斜率存在，可设直线l： 设， 由消去y，得 化简整理，得 ∴ 又∵ ∴ 解得 ∴直线l的方程为或 37.（2020温州三模）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为 ，直线l：与双曲线交于不同的两点A，B. （1）求双曲线的标准方程； （2）若线段AB的中点在直线上，求m的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵，， ∴ ∴ ∴ ∴双曲线的标准方程为 （2）解法一：设，，线段AB的中点为 由消去y，得 化简整理，得 ∵ ∴ ∴ ∴， 将中点代入直线，得 解得 解法二：设，，线段AB的中点为，则， ∵ ∴ ∴ 由得 ∴ ∴ ∵中点在直线上 ∴ ∴ ∴， 将中点代入直线，得 解得 38.（2020浙江三模）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为弦AB的中点，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵椭圆的焦点为 ∴双曲线的焦点也为 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴双曲线C的标准方程为 （2）设， ∵是线段AB的中点 ∴， 由两式作差，得 ∴ ∴ ∴直线l的斜率为 ∴直线l的方程为，即 39.（2021温州一模）已知抛物线的焦点为. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线交抛物线于A，B两点，且弦AB中点的横坐标为2，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴ ∴抛物线的标准方程为 （2）解法一：若，则直线为，与“弦AB中点的横坐标为2”不符，故 设， 由消去y，得 化简整理，得 ∵ ∴ ∴ 解得 解法二：若，则直线为，与“弦AB中点的横坐标为2”不符，故 设， 由两式作差，得 （*） ∵ ∴ ∴ 代入（*）式，得 ∴直线l的斜率 又由直线方程得直线l的斜率为 ∴ ∴ 解得 40.（2019温州二模）已知双曲线的渐近线方程为，焦点为（±5，0），直线l与双曲线交于 A，B两点，若点P（2，1）平分线段AB，求： （1）双曲线的标准方程： （2）直线l的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得，解得， ∴双曲线的标准方程为 （2）设， 由两式作差，得 （*） ∵点是线段AB的中点 ∴， ∴（*）式即 ∴ ∴直线l的斜率为 ∴直线l的方程为，即 41.（2019浙江三模）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点 的距离为6. （1）求抛物线C的方程； （2）若抛物线C与直线相交于不同的两点M，N，且中点横坐标为2，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得，解得 ∴抛物线C的方程为 （2）解法一：设，，则 ∴ 由两式作差，得 ∴ ∴ 又∵直线的斜率为k ∴ ∴ ∴ ∴或 当时，由消去y，得 ∵ ∴直线与抛物线有且只有一个公共点，不合题意，故舍去 ∴ 由消去y，得 化简整理，得 ∴ 解法二：设，，则 由消去y，得 化简整理，得（*） ∵ ∴ ∵ ∴ 解得或（舍去） ∴（*）式即 ∴ 42.（2020浙江一模）已知双曲线的离心率，且过点. （1）求此双曲线的标准方程； （2）设B为双曲线虚轴的下端点，直线交双曲线于C，D两点，以点B为圆 心的圆与直线l相切于线段CD的中点，求k的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得 又∵ ∴ ∴ ∴双曲线的标准方程为 （2）设，，线段CD的中点为 由消去y，得 化简整理，得 ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵BM⊥CD，点 ∴ 化简整理，得 解得 43.（2020宁波三模）已知双曲线的渐近线方程为，直线与双 曲线E的右支交于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求k的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）依题意，由双曲线的渐近线方程为得 ∴双曲线的标准方程为 （2）由 消去y，得 直线与双曲线的右支交于两点 ∴ 即： 即k的取值范围是 2 学科网（北京）股份有限公司 $$