数列解答题分类汇编-2019—2021年浙江省高职考数学真题模拟试题

2019—2021年浙江省高职考数学真题+模拟分类汇编 数列（解答题） 三、解答题 1.（2020温州三模）已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）设，求. 2.（2021浙江三模）在等差数列中，已知，其前n项和为，且. （1）求公差d； （2）问：当n取何值时，取得最大值?并求出它的最大值. 3．（2020宁波三模）已知等差数列的首项，，前n项和为.. （1）求及； （2）设，，求的最大值. 4.（2021浙江五模）在等差数列中，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，当时，试比较与的大小； （3）求使成立的n的最小正整数. 5.（2021浙江二模）已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，求数列的前 10项和. 6.（2021嘉兴三模）数列中，，，（m为常数，），求 （1）当时，求此数列的前4项和； （2）若，，成公比不为1的等比数列，求m的值. 7.（2021宁波三模）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求. 8.（2021温州一模）已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为等比数列，且，，求数列的通项公式及其前10项和. 9.（2020浙江四模）在等比数列中，已知，且，等差数列满足： ，，且公差. （1）求的值； （2）2020是否是数列中的项？如果是，是第几项？ （3）求数列的前50项和. 10.（2020宁波二模）已知正项等比数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和.O n an 1 2 3 4 8 6 4 2 第11题图 11.（2019浙江三模）如图所示，回答下列问题： （1）写出的表达式（）； （2）若，为的前n项和， 求数列前n项和的最小值. 12.（2019温州一模）设等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 13.（2020嘉兴二模）已知等差数列前n项和为，，．求： （1）前n项和； （2）若，求的前n项和 14.（2019浙江二模）已知数列满足. （1）求； （2）已知，求数列的前n项和. 15.（2020浙江五模）已知等差数列满足，. 令，记数列的前n项 和为. （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）问：是否存在自然数n，使得？若存在，请写出一个n的取值；若不存在，请说明理 由. 16. （2019宁波二模）列三角形数表 假设第行的第二个数为． （1）依次写出第六行的所有数字； （2）归纳出与的关系式，并求出的通项公式. 17．（2021宁波二模）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项之和为，前n项之积为，求，． 18．（2019嘉兴二模）如图“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等 比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行，第j列的数为，比如第3行第2列第18题图 的数字记为，求： （1），； （2）记，求． 19.（2020温州一模）已知数列的前n项和. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前10项和. 20.（2019浙江四模）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前10项和为，求. 21.（2021浙江四模）2022年亚运会将在浙江省杭州市举办. 据悉，第1届亚运会于1951年在印度新 德里举行，1954年在菲律宾马尼拉举行了第2届亚运会，从第2届开始，以后每4年举行一届. 杭州奥体博览城是2022年亚运会的主场馆，由主体育场、游泳馆、小球中心（综合训练馆）、 网球中心等组成.求： （1）第16届亚运会举办的年份； （2）游泳馆是作为奥体中心核心区之一，要求新建游泳馆能满足所有规格的国际国内赛事，若 现需要设计固定座位6000个，首排座位安排110个，以后每一排比前一排的座位数增加20 个，则要设计多少排？ 22.（2019真题）体育场北区观众席共有10500个座位. 观众席座位编排方式如图所示，由内而外依 次记为第1排、第2排、……. 从第2排起，每一排比它前一排多10个座位，且最后一排有600 个座位.第22题图 （1）北区观众席共有多少排？ （2）现对本区前5排的座位进行升级改造， 改造后各排座位数组成数列{bn}. {bn} 满足：①b1等于原第1排座位数的一 半；②bn=bn-1+n2（n=2，3，4，5）. 求第5排的座位数. 23.（2019浙江一模）某汽车企业原计划今年第一季度的产量逐月增加相同的辆数，由于职工发挥了 生产积极性，2月份比原计划多生产10辆汽车，3月份比原计划多生产25辆汽车，3个月的产 量恰好成等比数列，其中3月份的产量比原计划一季度的总产量的一半少10辆. （1）这个企业第一季度一共生产多少辆汽车？ （2）若把这三个月的产量作为一个等比数列的前三项，求此数列的通项公式. 24.（2020浙江一模）某县为了改善环境并开发旅游业，决定2020年起投入800万元，以后每年投 入比上一年减少200万元. 2020年当年该县旅游业收入估计为400万元，由于建设对旅游业的促 进作用，预计今后旅游业收入每年会比上一年增加20%. 求： （1）该县旅游业的总投入； （2）至少经过几年，该县旅游业的总收入会超过总投入？ （可能用到的数据：，，，） 25.（2021嘉兴二模）人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出了他们的工资标准：A公司第一年 的月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司第一年的月工资为 2000元，以后每年月工资比上一年月工资递增5%.（设） （1）分别求出两个公司给出的前三年每年的月工资，以及第n年时两个公司的月工资分别是多 少？根据题意填写下表. 月工资 第一年 第二年 第三年 …… 第n年 A公司 1500 …… B公司 2000 …… （2）若甲选择某公司连续工作十年，则从工资总收入角度来说，甲该选择哪个公司. 26.（2021温州三模）为了更好地节约能源和保护环境，某市从2018年开始计划将5000辆燃油动力 的旧公交车逐步更换为纯电力或混合动力新车（每投入一辆新车，则淘汰一辆旧车）. 2018年投 入纯电力公交车为64辆，混合动力公交车为400辆，已知今后纯电力车每年的投入量比上一年 增加50%，混合动力车每年投入量比上一年多75辆. （1）该市在2020年这一年更换了多少辆燃油动力公交车？ （2）前三年总共更换了多少辆燃油动力公交车？ （3）到哪一年，5000辆燃油动力公交车将全部更换完毕？ 27.（2021真题）某细胞群繁殖情况如下：最初细胞群内有10个细胞，第1小时内死亡1个，剩下的 细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为；第2小时内死亡2个，剩下的细胞都一分为二，分 裂后细胞总数记为；…；第n小时内死亡n个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记 为. 由此构成数列. （1）写出数列的前三项； （2）写出与的关系式； （3）求通项公式. 28.（2019嘉兴一模）如右图，在平面内，用三个火柴棒可以搭建一个三角形（左起第一个图形）， 在此三角形基础上，向右加二个火柴棒，可以搭建二个三角形（左起第二个图形），在第二个图 形基础上，再向右加二个火柴棒，可以搭建三个三角形（左起第三个图形），可知按图示规律， 向右不断添加火柴棒，可以得到更多三角形，求： 第28题图 （1）搭建第2019个图形，需要多少个火柴棒； （2）搭建好前十个图形，共需多少个火柴棒？ 29.（2021浙江一模）设某品牌建筑用某型号圆柱体钢筋堆放（横截面）按图所示放置.（长度不计）第29题图 （1）以此规律，若第n堆共有20100根钢筋，求n的值； （2）设第110堆钢筋的数量为，使用方案如下：第1次用8根，第2次用16根……以后每 一次使用的数量都是前一次的2倍. 问：第110堆的钢筋能否使用9次？若有剩余或不足， 求剩余或不足的数量是多少根？ 30.（2020浙江三模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祁谷”的场所. 天坛公园中的圜丘台共 有三层（如图①所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石 （如图②所示）. 上层坛从第1环至第9环共有9环，中层坛从第10环至第18环共有9环，下 层坛从第19环至第27环共有9环；第1环的扇面形石有9块，从第2环起，每环的扇面形石比 前一环多9块. 求： （1）第27环的扇面形石块数； （2）上、中、下三层坛所有的扇面形石块数.第30题图 31.（2019温州二模）如图所示，用长度相等的小木棒搭“塔式三角形”，搭第1个三角形需要3根 小木棒，搭第2个三角形需要9根小木棒，搭第3个三角形需要18根小木棒，……，搭第n个 三角形需要根小木棒，得到数列.第31题图 （1）求和： （2）若，求数列的前n项和. 32.（2019温州三模）如图所示，在直角边为2的等腰直角△ABC中，设△ABC三边AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，记正方形ADEF的面积为；再以同样的方法，设△FEC三边FE、EC、CF的中点分别为G、H、K，记正方形FGHK的面积为，．．．，重复以上的过程，得到数列．第32题图 （1）写出，，和； （2）证明数列是等比数列，并求出其前项和． 33．（2021嘉兴一模）如图所示，画一个边长为2 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得第33题图 到第2个正方形，以此类推，这样一共画了n个正方形.求： （1）第7个正方形的边长； （2）第n个正方形的面积； （3）画第几个正方形时，所画正方形的面积和超过cm2. 34.（2020温州二模）已知函数，如图a所示，点，， 将区间[0,1]四等分，过点，，及作x轴的垂线，交函数的图 象分别于点，，，，以，，，为一边作四个矩形，且使每个矩 形的宽度为，这四个矩形的面积依次记为，，，. （1）求点，，的坐标； （2）求的值； （3）类似地，如图b所示，点，，，…将区间[0,1]进 行n等分，过点，，，…及 作x轴的垂线，交函数 的图象分别于点，，，…，以，，，…， 为一边作n个矩形，且使每个矩形的宽度均为，这n个矩形的面积依次记为， ，，…，. 求的值. 第34题图 35.（2021温州二模）如图，以第1个正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，得到第1个三角 形，以这个三角形的一条直角边为边向外作正方形，得到第2个正方形，再以第2个正方形的 一边为斜边向外作等腰直角三角形，得到第2个三角形，…按上述规则进行下去. 已知第1个正 方形的边长为2，记第n个正方形的边长为.第35题图 （1）求，及； （2）完成第3个三角形时，求图中所有线段的长度之和； （3）完成第n个三角形时，求图中所有线段的长度之和. 36.（2020浙江二模）如图所示，有一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上一个 形状完全相似但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形. 取六角形的每个边做同样的变 换，即在中间三分之一接上更小的三角形……以此重复，直至无穷. 外界变得细微曲折，形状接 近理想化的雪花. 请根据该曲线的“生长”规律，求： （1）第n次变换后图形的边长； （2）第n次变换后图形的边数； （3）第n次变换后图形的周长.第36题图 … 正三角形 第1次 第2次 37.（2020真题）随着无线通信技术的飞速发展，一种新型的天线应运而生.新型天线结构如图所 示：以边长为1的正方形的4个顶点为顶点，向外作4个边长为的正方形，构成1阶新型天 线；以1阶新型天线的4个小正方形的12个外部顶点为顶点，向外作12个边长为的正方 形，构成2阶新型天线；…….按上述规则进行下去.记为n阶新型天线所有正方形个数，为 n阶新型天线所有正方形周长之和.第37题图 （1）写出，，和，，； （2）求与. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2019—2021年浙江省高职考数学真题+模拟分类汇编 数列（解答题） 三、解答题 1.（2020温州三模）已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）设，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴ ∴通项公式 （2）由（1）可得数列的前n项和 当时， 当时， 综上 2.（2021浙江三模）在等差数列中，已知，其前n项和为，且. （1）求公差d； （2）问：当n取何值时，取得最大值?并求出它的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由且得 解得 （2）∵ ∴等差数列是递减数列 由得且 ∴的最大值为 3．（2020宁波三模）已知等差数列的首项，，前n项和为.. （1）求及； （2）设，，求的最大值. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）∵， ∴ ∴ ∴ （2） 由基本不等式得 ∴ ∴ ∴的最大值为 4.（2021浙江五模）在等差数列中，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，当时，试比较与的大小； （3）求使成立的n的最小正整数. 【答案】（1）；（2）；（3）10 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴当时，， ∴ ∴当时， （3） 由解得 ∴n的最小正整数为10 5.（2021浙江二模）已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，求数列的前 10项和. 【答案】50 【解析】由题意，得 即 解得 ∴ 6.（2021嘉兴三模）数列中，，，（m为常数，），求 （1）当时，求此数列的前4项和； （2）若，，成公比不为1的等比数列，求m的值. 【答案】（1）18；（2）2 【解析】（1）当时， ∵ ∴，， ∴ （2）由题意，得 即 整理，得 解得或（不合题意，舍去） 故 7.（2021宁波三模）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求. 【答案】（1）；（2）2042 【解析】（1）由题意，得 即 整理，得 解得或（舍去） ∴ ∴ （2） 8.（2021温州一模）已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为等比数列，且，，求数列的通项公式及其前10项和. 【答案】（1）；（2）1188 【解析】（1）∵ ∴ （2）∵， ∴数列的公比 ∴ ∴ ∴ 9.（2020浙江四模）在等比数列中，已知，且，等差数列满足： ，，且公差. （1）求的值； （2）2020是否是数列中的项？如果是，是第几项？ （3）求数列的前50项和. 【答案】（1）0或1023；（2）是第674项；（3）3725 【解析】（1）由得 ∵，且为等比数列 ∴ 整理，得 解得或 当时， 当时， （2）∵ ∴， ∴ 由解得 即2020是数列中的第674项 （3） 10.（2020宁波二模）已知正项等比数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意，得 即 由①②得 整理，得 即 解得或（不合题意，舍去） 解得 ∴ （2） 可知数列是首项为1，公差为2的等差数列 ∴ 11.（2019浙江三模）如图所示，回答下列问题：O n an 1 2 3 4 8 6 4 2 第11题图 （1）写出的表达式（）； （2）若，为的前n项和， 求数列前n项和的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） （2）由可知数列是首项我，公差为2的等差数列 ∴ ∴ 可知数列是首项为，公差为1的等差数列，且为递增数列 由得， 可知数列的前9项都为非正数 ∴当或时，数列的前n项和取到最小值，最小值为 12.（2019温州一模）设等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意，得 整理，得 解得， ∴ （2）∵ ∴ ∴数列是首项为2，公比为4的等比数列 ∴ 13.（2020嘉兴二模）已知等差数列前n项和为，，．求： （1）前n项和； （2）若，求的前n项和 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列 ∴ 14.（2019浙江二模）已知数列满足. （1）求； （2）已知，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当时， 当时， 将代入，得，符合题意 综上， （2）∵ ∴ 15.（2020浙江五模）已知等差数列满足，. 令，记数列的前n项 和为. （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）问：是否存在自然数n，使得？若存在，请写出一个n的取值；若不存在，请说明理 由. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ 由得 不存在自然数n，使成立. 16. （2019宁波二模）列三角形数表 假设第行的第二个数为． （1）依次写出第六行的所有数字； （2）归纳出与的关系式，并求出的通项公式. 【答案】（1）6，16，25，25，16，6；（2） 【解析】（1）第六行的所有数字依次是6，16，25，25，16，6 （2），，， 可归纳出当时，，即 由累加法，得 ∴ 17．（2021宁波二模）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项之和为，前n项之积为，求，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）由题意，得，， ∴ ∴ （2） 18．（2019嘉兴二模）如图“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等 比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行，第j列的数为，比如第3行第2列第18题图 的数字记为，求： （1），； （2）记，求． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）， （2）∵ ∴ ∴ 19.（2020温州一模）已知数列的前n项和. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前10项和. 【答案】（1）；（2）；（3）2166 【解析】（1） （2）当时， 当时， 将代入，得，符合题意 综上， （3）∵ ∴ 20.（2019浙江四模）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前10项和为，求. 【答案】（1）；（2）36868 【解析】（1）由题意，得 即 整理，得 解得或（舍去） ∴ ∴ （2）∵ ∴ ① ∴ ② 由① - ②得 ∴ 21.（2021浙江四模）2022年亚运会将在浙江省杭州市举办. 据悉，第1届亚运会于1951年在印度新 德里举行，1954年在菲律宾马尼拉举行了第2届亚运会，从第2届开始，以后每4年举行一届. 杭州奥体博览城是2022年亚运会的主场馆，由主体育场、游泳馆、小球中心（综合训练馆）、 网球中心等组成.求： （1）第16届亚运会举办的年份； （2）游泳馆是作为奥体中心核心区之一，要求新建游泳馆能满足所有规格的国际国内赛事，若 现需要设计固定座位6000个，首排座位安排110个，以后每一排比前一排的座位数增加20 个，则要设计多少排？ 【答案】（1）2010年；（2）20排 【解析】（1）可知从第2届开始，每届亚运会举办的年份成等差数列，且公差为4 第16届亚运会举办的年份是（年） （2）可知从第一排起，每排的座位数成等差数列，记为 则， 由整理，得 即 解得或（舍去） 所以要设计20排. 22.（2019真题）体育场北区观众席共有10500个座位. 观众席座位编排方式如图所示，由内而外依 次记为第1排、第2排、……. 从第2排起，每一排比它前一排多10个座位，且最后一排有600 个座位.第22题图 （1）北区观众席共有多少排？ （2）现对本区前5排的座位进行升级改造， 改造后各排座位数组成数列{bn}. {bn} 满足：①b1等于原第1排座位数的一 半；②bn=bn-1+n2（n=2，3，4，5）. 求第5排的座位数. 【答案】（1）21排；（2） 【解析】（1）可知从第一排起，每排的座位数成等差数列， 记为，则， 由题意，得 由①得，代入②得，并整理，得 即 解得或 若，则，不合题意，故舍去 若，则 即北区观众席共有21排. （2） ，，， 故第5排的座位数是254. 23.（2019浙江一模）某汽车企业原计划今年第一季度的产量逐月增加相同的辆数，由于职工发挥了 生产积极性，2月份比原计划多生产10辆汽车，3月份比原计划多生产25辆汽车，3个月的产 量恰好成等比数列，其中3月份的产量比原计划一季度的总产量的一半少10辆. （1）这个企业第一季度一共生产多少辆汽车？ （2）若把这三个月的产量作为一个等比数列的前三项，求此数列的通项公式. 【答案】（1）305；（2） 【解析】（1）由题意，设1，2，3月份原计划生产分别为辆，a辆，辆 则1，2，3月份实际生产分别为辆，辆， 由解得 （辆） 所以这个企业第一季度一共生产305辆. （2）记该等比数列为，则，， ∴ ∴ 24.（2020浙江一模）某县为了改善环境并开发旅游业，决定2020年起投入800万元，以后每年投 入比上一年减少200万元. 2020年当年该县旅游业收入估计为400万元，由于建设对旅游业的促 进作用，预计今后旅游业收入每年会比上一年增加20%. 求： （1）该县旅游业的总投入； （2）至少经过几年，该县旅游业的总收入会超过总投入？ （可能用到的数据：，，，） 【答案】（1）2000万元；（2）4 【解析】（1）可知从2020年起，每年投入的资金成等差数列，记为 则，， ∴ 故该县旅游业的总投入为2000万元. （2）可知从2020年起，每年旅游业收入成等比数列，记为，前n项和为 则， ∴ 由得 ∵， ∴ 故至少经过4年，该县旅游业的总收入会超过总投入 25.（2021嘉兴二模）人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出了他们的工资标准：A公司第一年 的月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司第一年的月工资为 2000元，以后每年月工资比上一年月工资递增5%.（设） （1）分别求出两个公司给出的前三年每年的月工资，以及第n年时两个公司的月工资分别是多 少？根据题意填写下表. 月工资 第一年 第二年 第三年 …… 第n年 A公司 1500 1730 1960 …… B公司 2000 2100 2205 …… （2）若甲选择某公司连续工作十年，则从工资总收入角度来说，甲该选择哪个公司. 【答案】（1）见表格；（2）A公司 【解析】（1）A公司每年的月工资成等差数列，记为，则， ∴ B公司每年的月工资成等比数列，记为，则， ∴，， （2）A公司前10年的总工资为（元） B公司前10年的总工资为（元） 故从工资总收入角度来说，甲该选择A公司 26.（2021温州三模）为了更好地节约能源和保护环境，某市从2018年开始计划将5000辆燃油动力 的旧公交车逐步更换为纯电力或混合动力新车（每投入一辆新车，则淘汰一辆旧车）. 2018年投 入纯电力公交车为64辆，混合动力公交车为400辆，已知今后纯电力车每年的投入量比上一年 增加50%，混合动力车每年投入量比上一年多75辆. （1）该市在2020年这一年更换了多少辆燃油动力公交车？ （2）前三年总共更换了多少辆燃油动力公交车？ （3）到哪一年，5000辆燃油动力公交车将全部更换完毕？ 【答案】（1）694；（2）1729；（3）2024 【解析】（1）从2018年起，每年纯电力公交车的投入量成等比数列，记为，前n项和为 则， ∴ 从2018年起，每年混合动力公交车的投入量成等差数列，记为，前n项和为 则， ∴ （辆） 故该市在2020年这一年更换了694辆燃油动力公交车. （2）∵ ∴ 又∵ ∴（辆） 故前三年总共更换了1729辆燃油动力公交车. （3） 由题意，得 当时， 当时， ∴ ∴ 故到2024年，5000辆燃油动力公交车将全部更换完毕. 27.（2021真题）某细胞群繁殖情况如下：最初细胞群内有10个细胞，第1小时内死亡1个，剩下的 细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为；第2小时内死亡2个，剩下的细胞都一分为二，分 裂后细胞总数记为；…；第n小时内死亡n个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记 为. 由此构成数列. （1）写出数列的前三项； （2）写出与的关系式； （3）求通项公式. 【答案】（1）18，32，58；（2）；（3） 【解析】（1），， （2） （3）解法一：当时， ∵ …… ① ∴ ② 由① - ②得 ∴ 将代入此式，得，符合题意 综上， 解法二：构造 令，则当时， 又 ∴数列是首项为12，公比为2的等比数列 ∴ ∴ 28.（2019嘉兴一模）如右图，在平面内，用三个火柴棒可以搭建一个三角形（左起第一个图形）， 在此三角形基础上，向右加二个火柴棒，可以搭建二个三角形（左起第二个图形），在第二个图 形基础上，再向右加二个火柴棒，可以搭建三个三角形（左起第三个图形），可知按图示规律， 向右不断添加火柴棒，可以得到更多三角形，求： 第28题图 （1）搭建第2019个图形，需要多少个火柴棒； （2）搭建好前十个图形，共需多少个火柴棒？ 【答案】（1）4039；（2）120 【解析】（1）由题意，可知从第一个图形起，每个图形中的火柴棒数量依次成等差数列，记为 则， ∴ 故搭建第2019个图形，需要4039个火柴棒. （2） 故搭建好前十个图形，共需120个火柴棒. 29.（2021浙江一模）设某品牌建筑用某型号圆柱体钢筋堆放（横截面）按图所示放置.（长度不计）第29题图 （1）以此规律，若第n堆共有20100根钢筋，求n的值； （2）设第110堆钢筋的数量为，使用方案如下：第1次用8根，第2次用16根……以后每 一次使用的数量都是前一次的2倍. 问：第110堆的钢筋能否使用9次？若有剩余或不足， 求剩余或不足的数量是多少根？ 【答案】（1）200；（2）可以使用9次，剩余2017根 【解析】（1）可知第n堆钢筋从上至下每层钢筋的数量成等差数列，记为 则，， 由整理，得 即 解得或 ∵ ∴ （2） 按照题中使用方案，每次使用的钢筋数量成等比数列，记为 则， （根） 故第110堆的钢筋可以使用9次，且使用后剩余2017根. 30.（2020浙江三模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祁谷”的场所. 天坛公园中的圜丘台共 有三层（如图①所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石 （如图②所示）. 上层坛从第1环至第9环共有9环，中层坛从第10环至第18环共有9环，下 层坛从第19环至第27环共有9环；第1环的扇面形石有9块，从第2环起，每环的扇面形石比 前一环多9块. 求： （1）第27环的扇面形石块数； （2）上、中、下三层坛所有的扇面形石块数.第30题图 【答案】（1）243；（2） 【解析】（1）可知从第1环起，每环的石块数依次成等差数列，记为 则， ∴ 故第27环的扇面形石块有243块. （2） 上层坛石块数为405块 中层坛石块数为（块） 下层坛石块数为（块） 31.（2019温州二模）如图所示，用长度相等的小木棒搭“塔式三角形”，搭第1个三角形需要3根 小木棒，搭第2个三角形需要9根小木棒，搭第3个三角形需要18根小木棒，……，搭第n个 三角形需要根小木棒，得到数列.第31题图 （1）求和： （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1），； （2） 【解析】（1） （2）∵ ∴ ∴数列是首项为3，公差为的等差数列 ∴ 32.（2019温州三模）如图所示，在直角边为2的等腰直角△ABC中，设△ABC三边AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，记正方形ADEF的面积为；再以同样的方法，设△FEC三边FE、EC、CF的中点分别为G、H、K，记正方形FGHK的面积为，．．．，重复以上的过程，得到数列．第32题图 （1）写出，，和； （2）证明数列是等比数列，并求出其前项和． 【答案】（1），，，； （2） 【解析】（1），， （2）∵ ∴数列是首项为1，公比为的等比数列 ∴ 33．（2021嘉兴一模）如图所示，画一个边长为2 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得第33题图 到第2个正方形，以此类推，这样一共画了n个正方形.求： （1）第7个正方形的边长； （2）第n个正方形的面积； （3）画第几个正方形时，所画正方形的面积和超过cm2. 【答案】（1） cm；（2） cm2；（3）第9个 【解析】（1）从第2个正方形起，每个正方形的边长是前一个正方形边长的 即 ∴数列是首项为2，公比为的等比数列 ∴ 即第7个正方形的边长为 （2）∵第n个正方形的边长为（cm） ∴第n个正方形的面积为（cm2） （3）记，则 ∴数列是首项为4，公比为的等比数列 ∴其前n项和 由得，即 ∴ ∴ 故画第9个正方形时，所画正方形的面积和超过 cm2. 34.（2020温州二模）已知函数，如图a所示，点，， 将区间[0,1]四等分，过点，，及作x轴的垂线，交函数的图 象分别于点，，，，以，，，为一边作四个矩形，且使每个矩 形的宽度为，这四个矩形的面积依次记为，，，. （1）求点，，的坐标； （2）求的值； （3）类似地，如图b所示，点，，，…将区间[0,1]进 行n等分，过点，，，…及 作x轴的垂线，交函数 的图象分别于点，，，…，以，，，…， 为一边作n个矩形，且使每个矩形的宽度均为，这n个矩形的面积依次记为， ，，…，. 求的值. 第34题图 【答案】（1），，；（2）；（3） 【解析】（1）∵，， ∴，， （2） （3）∵，，，…，， ∴ 35.（2021温州二模）如图，以第1个正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，得到第1个三角 形，以这个三角形的一条直角边为边向外作正方形，得到第2个正方形，再以第2个正方形的 一边为斜边向外作等腰直角三角形，得到第2个三角形，…按上述规则进行下去. 已知第1个正 方形的边长为2，记第n个正方形的边长为.第35题图 （1）求，及； （2）完成第3个三角形时，求图中所有线段的长度之和； （3）完成第n个三角形时，求图中所有线段的长度之和. 【答案】（1），，；（2）； （3） 【解析】（1）， 由题意，数列是首项为2，公比为的等比数列 ∴ （2）设完成第n个三角形时，图中所有线段的长度之和为 则 故完成第3个三角形时，图中所有线段的长度之和为 （3） 36.（2020浙江二模）如图所示，有一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上一个 形状完全相似但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形. 取六角形的每个边做同样的变 换，即在中间三分之一接上更小的三角形……以此重复，直至无穷. 外界变得细微曲折，形状接 近理想化的雪花. 请根据该曲线的“生长”规律，求： （1）第n次变换后图形的边长； （2）第n次变换后图形的边数； （3）第n次变换后图形的周长.第36题图 … 正三角形 第1次 第2次 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）每次变化后，图形的边长都变为原来的，边长构成等比数列 ∵， ∴第n次变换后图形的边长 （2）每次变化后，每条边都变为原来的4倍，边数构成等比数列 ∵， ∴ （3）第n次变换后图形的周长 37.（2020真题）随着无线通信技术的飞速发展，一种新型的天线应运而生.新型天线结构如图所 示：以边长为1的正方形的4个顶点为顶点，向外作4个边长为的正方形，构成1阶新型天 线；以1阶新型天线的4个小正方形的12个外部顶点为顶点，向外作12个边长为的正方 形，构成2阶新型天线；…….按上述规则进行下去.记为n阶新型天线所有正方形个数，为 n阶新型天线所有正方形周长之和.第37题图 （1）写出，，和，，； （2）求与. 【答案】（1），，， ，，； （2）， 【解析】（1），， ，， （2） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$