立体几何选填题分类汇编-2019—2021年浙江省高职考数学真题模拟试题

2019—2021年浙江省高职考数学真题+模拟分类汇编 立体几何（选填题） 一、选择题 1.（2020嘉兴二模）长方体的体对角线长为，一个面上相邻两边长为3和5，长方体的表面积 为（ ） A．60 B．47 C．94 D．120 2.（2021嘉兴一模）如图所示，若长方体的三个共点的侧面面积分别为则长方体的体积 第2题图 （ ） A． B． C． D． 3.（2020宁波三模）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。意思是“夹在两个平行平面之间的两个 几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体 的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、 图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 4.（2020宁波二模）一个圆锥的底面直径和高都等于2，那么此圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 第5图 5.（2020嘉兴二模）《九章算术》是我国古代有名的数学名著，其中 有如下一题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积 及为米几何？”其意思为：“在在屋内墙角处堆放米（如图所示， 米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部弧长为8尺，米堆高为 5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积 约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ） A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛A A1 B B1 C C1 D D1 第6题图 6.（2021浙江四模）如图所示，在正方体中，与 异面的棱有（ ） A. 6条 B. 8条 C. 9条 D. 12条 7.（2020浙江一模）如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是A B C D M 第7题图 （ ） A. 异面但不垂直 B. 异面垂直 C. 相交但不垂直 D. 相交且垂直 8.（2020浙江三模）若教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的 直线（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 相交 9.（2021嘉兴二模）若直线l和平面平行，直线，则两直线（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 没有公共点 10.（2020宁波二模）直线a平行于平面，点，则过点A且平行于a的直线（ ） A. 只有一条，且一定在平面内 B. 只有一条，但不一定在平面内 C. 有无数条，但不都在平面内 D. 有无数条，都在平面内 11.（2019嘉兴二模）过平面β外一点P，且平行于平面β的直线（　　） A．只有一条，但不一定在平面β内 B．只有一条，一定在平面β内 C．有无数条，但都不在平面β内 D．有无数条，都在平面β内 12.（2019杭州二模）若直线a⊥平面，直线b⊥平面，则直线a，b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 平行或异面 D. 相交 13.（2019浙江真题）已知两直线l1、l2分别平行于平面β，则两直线l1、l2的位置关系为（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上情况都有可能 14.（2020温州二模）已知直线a，b是平面α外的两条直线，若，且，则一定有（ ） A. B. C. a与b相交 D. a与b异面 15.（2020宁波三模）已知直线和平面，且，，则与的位置关系为（ ） A． B．∥ C．或∥ D．与相交 16.（2019浙江三模）若平面α与平面β平行，直线，，则（ ） A. a与b异面或相交 B. a与b相交或平行 C. a与b平行或异面 D. 以上答案均不对 17.（2021浙江三模）已知平面平面，且直线，直线，则l与m的位置关系不可能 是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 18.（2019宁波二模）已知是两条不同的直线，是一个平面,且∥,则下列命题正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 19.（2019温州二模）关于直线l和平面，β，下列命题正确的是（ ） A． 若，则 B． 若，则 C． 若，则 D． 若，则 20.（2021浙江真题）已知l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 21.（2019温州三模）已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） ①若 ②若 ③若 ④若 A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 22.（2019丽水二模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面,且，则下 列命题中不正确的是（ ） A.若,则 B.若,则 C.若与相交,则与相交 D.若与相交,则与相交 23.（2020温州一模）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且，，下列 命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 24.（2021宁波一模）在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，且，则下 列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若异面，则异面 C．若，则 D．若相交，则相交 25.（2021温州一模）以下四个命题（其中，是两条不同直线，，是两个不同平面）中，正 确的是（ ） ①若，，则. ②若，，则 ③若，，则. ④若，，则. A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 26.（2021浙江五模）已知a，b，c是三条不同的直线，是一个平面，下列命题：①， ；②，；③，；④，. 其中正确 的是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 27.（2019浙江二模）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中，正确 的是（ ） ①若，，则 ②若，，，则 ③若，，则 ④若，，则 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 28.（2021温州三模）下列四个论断： ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行； ④过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 其中正确的是（ ） A.①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 29.（2020浙江五模）下列判断正确的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两直线平行 B. 平行于同一条直线的两直线平行 C. 垂直于同一个平面的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两条直线平行 30.（2020浙江真题）下列叙述中，错误的是（ ） A．平行于同一个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂直于同一条直线的两个平面平行 D．垂直于同一个平面的两条直线平行 31.（2019浙江五模）下列说法正确的是（ ） A. 空间任意两点可以确定一直线，任意三点可以确定一个平面 B. 过直线l外一点可以作无数条直线平行于l C. 若斜线a，b与平面α所成的角都相等，则 D. 过平面α外一点A可以作无数个平面与α垂直 32.（2019嘉兴一模）下列命题正确的是（ ）. A.经过空间任意三个点有且只有一个平面 B.若直线垂直于平面α，则直线垂直于平面α内的任何直线 C.若直线平行于平面α，则直线平行于平面α内的任何直线 D.过互相垂直的两条直线有且只有一个平面 33.（2020浙江四模）下列说法正确的是（ ） A. 经过平面外一点A可以作无数个平面于垂直 B. 经过直线a外一点A可以作无数条直线平行于a C. 若直线a垂直于平面内无数条直线，则 D. 若斜线a，b与平面所成的角相等，则a与b平行或异面 34.（2021浙江一模）下列说法中，正确的是（ ） A. 经过平面外一点可以作无数个平面与平面平行 B. 经过平面内一点A作与平面成45°角的直线，可以作无数条 C. 经过平面外一点A作与平面垂直的直线，可以作无数条 D. 若直线平面，直线平面，则a与b平行或相交 35.（2019湖州一模）下列命题：①同一平面内不相交的两直线互相平行；②平行于同一直线的两条 直线必平行；③垂直于同一直线的两直线必平行；④垂直于同一直线的两平面必平行.其中假命 题的个数是（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 36.（2021温州二模）下列命题正确的是（ ） A. 若直线平行于平面内无数条直线，则 B. 若直线垂直于平面内无数条直线，则 C. 若平面内有三点到平面的距离相等，则 D. 若平面内的任何一条直线都平行于平面，则 37.（2021宁波三模）下列命题正确的是（ ） A. 如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 D. 如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 38.（2021浙江四模）已知两条不同的直线和同一个平面相交，下列说法正确的是（ ） A. 如果这两条直线和这个平面所成的角相等，那么这两条直线互相平行 B. 如果这两条直线互相平行，那么这两条直线和这个平面所成的角相等 C. 如果这两条直线不平行，那么这两条直线和这个平面所成的角一定不相等 D. 如果这两条直线和这个平面所成的角相等，那么这两条直线一定不相交 39.（2019浙江一模）下列命题中错误的是（ ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 C．如果一条直线与平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 D．如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 40.（2021浙江二模）下列说法中，正确的是（ ） A. a，b，c是三条不同的直线，若，，则 B. a，b，c是三条不同的直线，若，，则 C. α，β，γ是三个不同的平面，若，，则第41题图 D. l为一条直线，α和β是两个不同的平面，若，，则 41.（2020温州三模）如图，在正方体中，直线 与所成的角是（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 0° 42.（2019温州一模）如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1，下列四个选项中不正确的是（ ） A．△B1CD1是正三角形第42题图 B．直线BC1与直线CD所成的角是90° C．直线AD1与直线AB所成的角是45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角是45° 43.（2019浙江四模）如图所示，若PD垂直正方形ABCD所在的平面，，则下列说法第43题图 错误的是（ ） A. PA与BD所成的角为60° B. ∠PBD是PB与底面ABCD所成的角 C. 点A到平面PBD的距离为 D. 以P，A，B，C，D中的三点为顶点的三角形中直角三角形共有9个 二、填空题 1.（2019浙江一模）已知一个高为10cm的圆柱形水杯最多能容纳64πmL水，则这个水杯的侧面积是________（水杯的厚度忽略不计）. 2.（2019浙江真题）圆柱的轴截面是边长为3的正方形，则圆柱的体积等于_____. 3.（2020温州三模）圆柱的轴截面是边长为2cm的正方形，则它的全面积为__________. 4.（2019嘉兴二模）已知一个圆柱的底面积是S，它的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的侧面积 ＝　 　． 5.（2019温州三模）已知长方形的一边长为5 cm，以此长方形的某一边为轴旋转一周得到的圆柱的侧面积为，则此圆柱的体积为__________.第6题图 6.（2019嘉兴一模）如图，已知圆柱的高为2cm，底面圆的半径为cm， AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线.若一只小虫从A点 出发，在圆柱侧面上爬行到达C点，则小虫爬行的最短路线的长度 是 cm. 7.（2021浙江三模）如图所示为由三个高为1 m的圆柱组成的图形，底第7题图 面半径分别为3 m，2 m和1 m，则它的表面积是 .（结果用 表示） 8.（2021温州一模）《九章算术》卷五《商功》记载了一道关于圆柱体体 积的问题“今有圆堢壔（băo dăo），周四丈八尺，高一丈一尺，问 积几何？”意思是“有一个圆柱形土筑小城堡，底面周长是4丈8尺， 高1丈1尺，则它的体积是 立方尺.”（1丈=10尺，取） 9.（2019丽水二模）已知圆锥的母线长为13 cm，底面半径为5 cm，则这个圆锥的侧面积是 . 10.（2020浙江二模）若圆锥的底面半径是3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的体积是__________. 11.（2019浙江三模）已知圆锥的底面周长为9，母线为2，则圆锥侧面积为__________. 12.（2021浙江五模）若某圆锥的轴截面是一个底边长为6的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积 为 . 13.（2021浙江一模）若某圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且高为2，则此圆锥的表面积为 . 14.（2021浙江二模）轴截面为等边三角形的圆锥叫作等边圆锥，底面半径为2的等边圆锥的体积 为 . 15.（2021宁波三模）已知某圆锥的母线长为底面圆的半径的倍，且其侧面积为，则该圆 锥的体积为 . 16.（2019宁波二模）将半径为5 cm ，圆心角为扇形卷成一圆锥，则此圆锥的体积是 . 17.（2019温州一模）△ABC是边长为2cm的正三角形，将△ABC绕AB旋转一周，则所得旋转体的 体积________. 18.（2021浙江真题）直角边长为1的等腰直角三角形，以斜边为旋转轴，旋转一周所得几何体的体 积为 . 19.（2019浙江二模）若球的表面积为64π cm2，则球的体积为__________. 20.（2019浙江四模）若截面截球得半径为2cm的小圆，球心与截面的距离为cm，则此球的表面 积为 . 21.（2019温州二模）用平面截体积为π的球，截得小圆的半径，则球心到截面的距离等于 . 22.（2021嘉兴一模）如果把半径分别为的三个铁球熔成一个新的大铁球，那么这个 新的大铁球的半径为__________. 23.（2020浙江四模）已知圆锥的底面积为，圆锥的母线与底面所成角为45˚，球的直径是圆锥 高的2倍，则球的体积与圆锥的体积之比为__________. 24.（2019湖州一模）已知一棱长为 2 的正四面体的体积等于一个第26题图 球的体积，则该球的半径为 .（结果用分数指数幂的形式 表示） 25.（2020浙江三模）若某正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 4 m，则此球的体积是__________. 26.（2020浙江真题）如图所示，某几何体由正四棱锥和正方体构 成，正四棱锥侧棱长为，正方体棱长为1，则__________. 27.（2021温州二模）如图所示的几何体是由等底面的圆锥和圆柱组合成的，已知圆锥母线长为， 圆柱的母线长为7，底面半径为5，为圆锥的顶点，为圆柱底面圆周上一点，则 . 28.（2021嘉兴二模)）如图，圆柱内有一个内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为 ，则此球的体积为 . 29.（2020温州一模）如图所示，有一个“倒圆锥形”容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内 放置一个半径为3cm的铁球，再注满水，水面刚好漫过球体，则该容器的侧面积为__________.A 第27题图 P O O′ 第29题图 第28题图 30.（2020温州二模）已知一个正方体木箱的容积为64cm3，则能放入该木箱的最大球的体积为 __________cm3.第31题图 31.（2021宁波一模）如图，在矩形中，为边的中点，， 分别以为圆心，1为半径作圆弧，若由两圆弧及边所围 成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为 ． 32.（2019杭州二模）若正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成的二面角的度数 为60˚，则它的体积为 ．A B C D A1 B1 C1 D1 第33题图 33.（2020浙江五模）如图所示，若长方体的三条 棱长分别为3，4，5，则三棱锥的体积为________. 34.（2020浙江一模）我国古代的数学名著《九章算术·商功》中，将一个长方体按图斜割为二，得 到两个一模一样的三棱柱，称为“堑堵”. 再沿“堑堵”的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和 三棱锥各一个. 四棱锥称为“阳马”，三棱锥称为“鳖臑”. 则1个“堑堵”和1个“鳖臑”的体 积之比为__________. 长方体 堑堵 阳马 鳖臑 第34题图 35.（2020宁波三模）下列如图所示的正方体和正四面体中，分别是所在棱的中点，则四个 点共面的图形是__________.（填写出所有满足条件图形的序号） 36.（2021温州三模）如图所示，在直三棱柱中，A A1 B B1 C C1 第36题图 ，，则异面直线与所 成角的大小为 . A B C D A1 B1 C1 D1 E F 第37题图 37.（2019浙江五模）如图所示，在正方体中，E，F分 别是，的中点，则AB与EF所成的角的大小是__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2019—2021年浙江省高职考数学真题+模拟分类汇编 立体几何（选填题） 一、选择题 1.（2020嘉兴二模）长方体的体对角线长为，一个面上相邻两边长为3和5，长方体的表面积 为（ ） A．60 B．47 C．94 D．120 【答案】C 【解析】不妨设，，则，解得，所以. 2.（2021嘉兴一模）如图所示，若长方体的三个共点的侧面面积分别为则长方体的体积 第2题图 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设，，，则，所以. 3.（2020宁波三模）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。意思是“夹在两个平行平面之间的两个 几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体 的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、 图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【解析】图①中，；图②中，；图③中，；图④中，. 因为，故选D. 4.（2020宁波二模）一个圆锥的底面直径和高都等于2，那么此圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，，所以母线长，所以.第5题图 5.（2020嘉兴二模）《九章算术》是我国古代有名的数学名著，其中 有如下一题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积 及为米几何？”其意思为：“在在屋内墙角处堆放米（如图所示， 米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部弧长为8尺，米堆高为 5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积 约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ） A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【答案】B 【解析】由题意可知圆锥底面半径（尺），所以米堆的体积为（立方尺），所以米堆约有（斛）. 6.（2021浙江四模）如图所示，在正方体A A1 B B1 C C1 D D1 第6题图 中，与异面的棱有（ ） A. 6条 B. 8条 C. 9条 D. 12条 【答案】A 【解析】AB，，，，AD，. 7.（2020浙江一模）如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是A B C D M 第7题图 （ ） A. 异面但不垂直 B. 异面垂直 C. 相交但不垂直 D. 相交且垂直 【答案】B 【解析】因为MC⊥菱形ABCD所在的平面，且BD 平面ABCD，所以MC⊥BD，又因为AC⊥BD，，所以BD⊥平面MCA，所以MA⊥BD. 假设MA与BD相交，设交点为P，则A，P两点都在平面ABCD内，于是MA平面ABCD，这与题设矛盾，故MA与BD异面. 8.（2020浙江三模）若教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的 直线（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 相交 【答案】B 【解析】垂直可以是相交垂直或异面垂直，而其它三种情况都可以找到反例. 9.（2021嘉兴二模）若直线l和平面平行，直线，则两直线（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 没有公共点 【答案】D 10.（2020宁波二模）直线a平行于平面，点，则过点A且平行于a的直线（ ） A. 只有一条，且一定在平面内 B. 只有一条，但不一定在平面内 C. 有无数条，但不都在平面内 D. 有无数条，都在平面内 【答案】A 11.（2019嘉兴二模）过平面β外一点P，且平行于平面β的直线（　　） A．只有一条，但不一定在平面β内 B．只有一条，一定在平面β内 C．有无数条，但都不在平面β内 D．有无数条，都在平面β内 【答案】C 【解析】过平面β外一点P，可作一个平面α与平面β平行，则在平面α内过点P的任意一条直线均平行于平面β. 12.（2019杭州二模）若直线a⊥平面，直线b⊥平面，则直线a，b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 平行或异面 D. 相交 【答案】A 【解析】垂直于同一平面的两条直线互相平行. 13.（2019浙江真题）已知两直线l1、l2分别平行于平面β，则两直线l1、l2的位置关系为（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上情况都有可能 【答案】D 14.（2020温州二模）已知直线a，b是平面α外的两条直线，若，且，则一定有（ ） A. B. C. a与b相交 D. a与b异面 【答案】B 【解析】过直线b作平面β，设，又因为，所以，因为且，所以， 所以. 15.（2020宁波三模）已知直线和平面，且，，则与的位置关系为（ ） A． B．∥ C．或∥ D．与相交 【答案】C 16.（2019浙江三模）若平面α与平面β平行，直线，，则（ ） A. a与b异面或相交 B. a与b相交或平行 C. a与b平行或异面 D. 以上答案均不对 【答案】C 17.（2021浙江三模）已知平面平面，且直线，直线，则l与m的位置关系不可能 是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 【答案】C 18.（2019宁波二模）已知是两条不同的直线，是一个平面,且∥,则下列命题正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】D 【解析】过直线l作平面β，设，又因为，所以，因为且，所以， 所以. 19.（2019温州二模）关于直线l和平面，β，下列命题正确的是（ ） A． 若，则 B． 若，则 C． 若，则 D． 若，则 【答案】D 【解析】一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直. 20.（2021浙江真题）已知l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】垂直于同一直线的两个平面互相平行. 21.（2019温州三模）已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） ①若 ②若 ③若 ④若 A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 22.（2019丽水二模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面,且，则下 列命题中不正确的是（ ） A.若,则 B.若,则 C.若与相交,则与相交 D.若与相交,则与相交 【答案】D 23.（2020温州一模）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且，，下列 命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 24.（2021宁波一模）在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，且，则下 列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若异面，则异面 C．若，则 D．若相交，则相交 【答案】D 25.（2021温州一模）以下四个命题（其中，是两条不同直线，，是两个不同平面）中，正 确的是（ ） ①若，，则. ②若，，则 ③若，，则. ④若，，则. A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 26.（2021浙江五模）已知a，b，c是三条不同的直线，是一个平面，下列命题：①， ；②，；③，；④，. 其中正确 的是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】D 【解析】②，平行于同一直线的两条直线互相平行；③，垂直于同一平面的两条直线互相平行. 27.（2019浙江二模）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中，正确 的是（ ） ①若，，则 ②若，，，则 ③若，，则 ④若，，则 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】A 28.（2021温州三模）下列四个论断： ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行； ④过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 其中正确的是（ ） A.①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 29.（2020浙江五模）下列判断正确的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两直线平行 B. 平行于同一条直线的两直线平行 C. 垂直于同一个平面的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两条直线平行 【答案】B 30.（2020浙江真题）下列叙述中，错误的是（ ） A．平行于同一个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂直于同一条直线的两个平面平行 D．垂直于同一个平面的两条直线平行 【答案】A 31.（2019浙江五模）下列说法正确的是（ ） A. 空间任意两点可以确定一直线，任意三点可以确定一个平面 B. 过直线l外一点可以作无数条直线平行于l C. 若斜线a，b与平面α所成的角都相等，则 D. 过平面α外一点A可以作无数个平面与α垂直 【答案】D 【解析】A项错误，不共线的三点可以确定一个平面；B项错误，过直线l外一点有且只有一条直线平行于l；C项错误，若斜线a，b与平面α所成的角都相等，则a与b可能平行、相交或异面. 32.（2019嘉兴一模）下列命题正确的是（ ）. A.经过空间任意三个点有且只有一个平面 B.若直线垂直于平面α，则直线垂直于平面α内的任何直线 C.若直线平行于平面α，则直线平行于平面α内的任何直线 D.过互相垂直的两条直线有且只有一个平面 【答案】B 【解析】A项错误，经过空间不共线的三个点有且只有一个平面；B项正确，可根据线面垂直的定义而得；C项错误，若直线平行于平面α，则平面α内的直线与直线a可能平行或异面；D项错误，若这两条直线是异面垂直，则不可能有一个平面同时经过这两条直线. 33.（2020浙江四模）下列说法正确的是（ ） A. 经过平面外一点A可以作无数个平面于垂直 B. 经过直线a外一点A可以作无数条直线平行于a C. 若直线a垂直于平面内无数条直线，则 D. 若斜线a，b与平面所成的角相等，则a与b平行或异面 【答案】A 【解析】B项错误，经过直线a外一点A有且只有一条直线平行于a；C项错误，若平面内无数条直线是互相平行的，则不能保证；D项错误，若斜线a，b与平面所成的角相等，则a与b平行、异面或相交. 34.（2021浙江一模）下列说法中，正确的是（ ） A. 经过平面外一点可以作无数个平面与平面平行 B. 经过平面内一点A作与平面成45°角的直线，可以作无数条 C. 经过平面外一点A作与平面垂直的直线，可以作无数条 D. 若直线平面，直线平面，则a与b平行或相交 【答案】B 【解析】A项错误，经过平面外一点有且只有一个平面与平面平行；C项错误，经过平面外一点A作与平面垂直的直线，有且只有一条；D项错误，若直线平面，直线平面，则a与b平行、相交或异面. 35.（2019湖州一模）下列命题：①同一平面内不相交的两直线互相平行；②平行于同一直线的两条 直线必平行；③垂直于同一直线的两直线必平行；④垂直于同一直线的两平面必平行.其中假命 题的个数是（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】A 【解析】①②④正确；③错误，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面. 36.（2021温州二模）下列命题正确的是（ ） A. 若直线平行于平面内无数条直线，则 B. 若直线垂直于平面内无数条直线，则 C. 若平面内有三点到平面的距离相等，则 D. 若平面内的任何一条直线都平行于平面，则 【答案】D 【解析】A项错误，若直线平行于平面内无数条直线，则或；B项错误，若直线垂直于平面内任意一条直线，则；C项错误，若平面内有三点到平面的距离相等，则与平行或相交. 37.（2021宁波三模）下列命题正确的是（ ） A. 如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 D. 如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 【答案】D 【解析】A项错误，如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线平行、相交或异面；B项错误，当一条直线与平面垂直时，过该直线有无数个平面与已知平面垂直；C项错误，如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面或这条直线在这个平面内. 38.（2021浙江四模）已知两条不同的直线和同一个平面相交，下列说法正确的是（ ） A. 如果这两条直线和这个平面所成的角相等，那么这两条直线互相平行 B. 如果这两条直线互相平行，那么这两条直线和这个平面所成的角相等 C. 如果这两条直线不平行，那么这两条直线和这个平面所成的角一定不相等 D. 如果这两条直线和这个平面所成的角相等，那么这两条直线一定不相交 【答案】B 39.（2019浙江一模）下列命题中错误的是（ ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 C．如果一条直线与平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 D．如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 【答案】C 【解析】若平面内的这两条直线互相平行，则不能保证这条直线垂直于这个平面. 40.（2021浙江二模）下列说法中，正确的是（ ） A. a，b，c是三条不同的直线，若，，则 B. a，b，c是三条不同的直线，若，，则 C. α，β，γ是三个不同的平面，若，，则 D. l为一条直线，α和β是两个不同的平面，若，，则 【答案】B 【解析】平行线的传递性：平行于同一直线的两条直线互相平行.第41题图 41.（2020温州三模）如图，在正方体中，直线 与所成的角是（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 0° 【答案】A 【解析】连接AC，因为，，所以，又因为，且，，所以，又因为，所以，所以与所成的角是90˚. 42.（2019温州一模）如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1，下列四个选项中不正确的是（ ） A．△B1CD1是正三角形第42题图 B．直线BC1与直线CD所成的角是90° C．直线AD1与直线AB所成的角是45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角是45° 【答案】C 【解析】直线AD1与直线AB所成的角是90°. 43.（2019浙江四模）如图所示，若PD垂直正方形ABCD所在的平面，，则下列说法 错误的是（ ）第43题图 A. PA与BD所成的角为60° B. ∠PBD是PB与底面ABCD所成的角 C. 点A到平面PBD的距离为 D. 以P，A，B，C，D中的三点为顶点的三角形中直角三角形共有9个 【答案】C 【解析】点A到平面PBD的距离为. 二、填空题 1.（2019浙江一模）已知一个高为10cm的圆柱形水杯最多能容纳64πmL水，则这个水杯的侧面积是________（水杯的厚度忽略不计）. 【答案】 【解析】由题意得，解得cm，所以（cm2）. 2.（2019浙江真题）圆柱的轴截面是边长为3的正方形，则圆柱的体积等于_____. 【答案】 【解析】由题意得，，所以. 3.（2020温州三模）圆柱的轴截面是边长为2cm的正方形，则它的全面积为__________. 【答案】 【解析】由题意得，，所以. 4.（2019嘉兴二模）已知一个圆柱的底面积是S，它的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的侧面积 ＝　 　． 【答案】 【解析】由题意得，所以，又因为圆柱的侧面展开图是正方形，所以，所以. 5.（2019温州三模）已知长方形的一边长为5 cm，以此长方形的某一边为轴旋转一周得到的圆柱的侧面积为，则此圆柱的体积为__________. 【答案】或 【解析】当时，因为，所以，所以；当，因为，所以，所以. 6.（2019嘉兴一模）如图，已知圆柱的高为2cm，底面圆的半径为cm，第6题图 AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线.若一只小虫从A点 出发，在圆柱侧面上爬行到达C点，则小虫爬行的最短路线的长度 是 cm. 【答案】 【解析】因为底面半圆弧长为，且，因为圆柱侧面展开后，，所以. 7.（2021浙江三模）如图所示为由三个高为1 m的圆柱组成的图形，底第7题图 面半径分别为3 m，2 m和1 m，则它的表面积是 .（结果用 表示） 【答案】 【解析】. 8.（2021温州一模）《九章算术》卷五《商功》记载了一道关于圆柱体体积的问题“今有圆堢壔 （băo dăo），周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”意思是“有一个圆柱形土筑小城堡，底 面周长是4丈8尺，高1丈1尺，则它的体积是 立方尺.”（1丈=10尺，取） 【答案】2112 【解析】4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，由题意得，解得（尺），所以（立方尺）. 9.（2019丽水二模）已知圆锥的母线长为13 cm，底面半径为5 cm，则这个圆锥的侧面积是 . 【答案】 【解析】. 10.（2020浙江二模）若圆锥的底面半径是3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的体积是__________. 【答案】 【解析】因为，所以. 11.（2019浙江三模）已知圆锥的底面周长为9，母线为2，则圆锥侧面积为__________. 【答案】9 【解析】由题意得，所以，所以. 12.（2021浙江五模）若某圆锥的轴截面是一个底边长为6的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积 为 . 【答案】 【解析】由题意得，，所以. 13.（2021浙江一模）若某圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且高为2，则此圆锥的表面积为 . 【答案】 【解析】由题意得，所以，所以. 14.（2021浙江二模）轴截面为等边三角形的圆锥叫作等边圆锥，底面半径为2的等边圆锥的体积 为 . 【答案】 【解析】由题意得，所以，所以. 15.（2021宁波三模）已知某圆锥的母线长为底面圆的半径的倍，且其侧面积为，则该圆 锥的体积为 . 【答案】 【解析】由题意得，又因为，所以，解得，所以 ，所以，所以. 16.（2019宁波二模）将半径为5 cm ，圆心角为扇形卷成一圆锥，则此圆锥的体积是 . 【答案】 【解析】由题意得，圆锥底面周长为，所以，解得，所以，所以. 17.（2019温州一模）△ABC是边长为2cm的正三角形，将△ABC绕AB旋转一周，则所得旋转体的 体积________. 【答案】 【解析】由题意可知，所得旋转体是由两个相同圆锥组合而成，底面半径是正三角形底边上的高，即，圆锥的高，所以. 18.（2021浙江真题）直角边长为1的等腰直角三角形，以斜边为旋转轴，旋转一周所得几何体的体 积为 . 【答案】 【解析】由题意可知，所得旋转体是由两个相同圆锥组合而成，底面半径是直角三角形斜边上的高，即，圆锥的高，所以. 19.（2019浙江二模）若球的表面积为64π cm2，则球的体积为__________. 【答案】 【解析】因为，所以，所以. 20.（2019浙江四模）若截面截球得半径为2cm的小圆，球心与截面的距离为cm，则此球的表面 积为 . 【答案】 【解析】由题意得，所以. 21.（2019温州二模）用平面截体积为π的球，截得小圆的半径，则球心到截面的距离等于 . 【答案】3 【解析】因为，所以，所以球心到截面的距离为. 22.（2021嘉兴一模）如果把半径分别为的三个铁球熔成一个新的大铁球，那么这个 新的大铁球的半径为__________. 【答案】12 【解析】因为三个铁球的体积总和为，所以，所以，所以. 23.（2020浙江四模）已知圆锥的底面积为，圆锥的母线与底面所成角为45˚，球的直径是圆锥 高的2倍，则球的体积与圆锥的体积之比为__________. 【答案】 【解析】因为圆锥的底面积，所以，因为圆锥的母线与底面所成角为45˚，所以圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的高，所以球的直径，球的半径，所以球的体积，又因为，所以 . 24.（2019湖州一模）已知一棱长为 2 的正四面体的体积等于一个球的体积，则该球的半径为 . （结果用分数指数幂的形式表示） 【答案】 【解析】由题意，此正四面体的斜高为，所以其高为，又因为正四面体的底面面积为，所以其体积为，所以球的体积，所以. 25.（2020浙江三模）若某正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4 m，则此球的体积是__________. 【答案】 【解析】因为正方体的对角线长为（m），所以球的半径（m），所以球的体积.第26题图 E F 26.（2020浙江真题）如图所示，某几何体由正四棱锥和正方体构 成，正四棱锥侧棱长为，正方体棱长为1，则__________. 【答案】 【解析】解法一：连接BD，，作，分别交BD和 于点E，F，易正E，F分别是BD，的中点. 因为, 所以，所以， 所以，所以. 解法二：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以. 27.（2021温州二模）如图所示的几何体是由等底面的圆锥和圆柱组合成的，已知圆锥母线长为， 圆柱的母线长为7，底面半径为5，为圆锥的顶点，为圆柱A 第27题图 P O O′ 底面圆周上一点，则 . 【答案】13 【解析】连接PO，可知PO经过点O′，因为圆锥的高 ，圆柱的高，所以 ，所以. 28.（2021嘉兴二模)）如图，圆柱内有一个内切球（圆柱各面与球面均第28题图 相切），若圆柱的侧面积为，则此球的体积为 . 【答案】 【解析】因为，且，所以，所以 ，所以，所以. 29.（2020温州一模）如图所示，有一个“倒圆锥形”容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内 放置一个半径为3cm的铁球，再注满水，水面刚好漫过球体，则该容器的侧面积为__________.第29题图 P O H 【答案】 【解析】连接圆锥顶点P与球心O，并延长交于球与圆锥底面的切点. 因为，所以轴截面的正三角形边长为 （cm），所以圆锥的母线长为cm，又因为圆锥底面半径为 （cm），所以该容器的侧面积为 30.（2020温州二模）已知一个正方体木箱的容积为64cm3，则能放入该木箱的最大球的体积为 __________cm3. 【答案】 【解析】因为，所以，所以，所以. 31.（2021宁波一模）如图，在矩形中，为边的中点，，第31题图 分别以为圆心，1为半径作圆弧，若由两圆弧及边所 围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，所形成的几何体的表面积是两个半球的表面积和一个圆柱 的侧面积之和. . 32.（2019杭州二模）若正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成的二面角的度数 为60˚，则它的体积为 ．A B C D 第32题图 E H 【答案】 【解析】如图，正三棱锥的底面正三角形边长为2，取CD的中点E， 连接AE，BE，作AH⊥BE于点H. 因为AE⊥CD，BE⊥CD，所以 二面角的平面角是∠AEB，所以. 因为 ，所以，所以. 因为AE⊥CD，BE⊥CD，AE和BE是平面ABE内的两条相交直线，所以，又因为，所以，又因为AH⊥BE，CD和BE是平面BCD内的两条相交直线，所以，即AH是正三棱锥的高，所以. 33.（2020浙江五模）如图所示，若长方体的三条A B C D A1 B1 C1 D1 第33题图 棱长分别为3，4，5，则三棱锥的体积为________. 【答案】20 【解析】 . 34.（2020浙江一模）我国古代的数学名著《九章算术·商功》中，将一个长方体按图斜割为二，得 到两个一模一样的三棱柱，称为“堑堵”. 再沿“堑堵”的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和 三棱锥各一个. 四棱锥称为“阳马”，三棱锥称为“鳖臑”. 则1个“堑堵”和1个“鳖臑”的体 积之比为__________. 长方体 堑堵 阳马 鳖臑 第34题图 【答案】 【解析】因为，所以，，所以. 35.（2020宁波三模）下列如图所示的正方体和正四面体中，分别是所在棱的中点，则四个 点共面的图形是__________.（填写出所有满足条件图形的序号） T O 【答案】①②③ 【解析】图①中，连接PS，QR，易证，所以四点共面；图②中，连接PS，SQ，取棱中点中点T，连接TR，交SQ于点O，易证，所以四点共面，因为S，O两点都在平面PTRS内，所以直线SQ在平面PTRS内，所以点Q在平面PTRS内，即四点共面；图③中，连接PQ，SR，易证，所以四点共面. 36.（2021温州三模）如图所示，在直三棱柱中，A A1 B B1 C C1 第36题图 ，，则异面直线与所 成角的大小为 . 【答案】60˚ 【解析】连接AB，因为，所以异面直线与所成 角为. 因为，，所以是等边三角形，所以，即异面直线与所成角的大小为60˚. 37.（2019浙江五模）如图所示，在正方体中，E，F分A B C D A1 B1 C1 D1 E F 第37题图 别是，的中点，则AB与EF所成的角的大小是__________. 【答案】90˚ 【解析】因为，，所以， 所以AB与EF所成的角的大小是90˚. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$