立体几何解答题分类汇编-2019—2021年浙江省高职考数学真题模拟试题

2019—2021年浙江省高职考数学真题+模拟分类汇编 立体几何（解答题） 三、解答题 1.（2019杭州二模）如图，正方体中，棱长为2，E是的中点.第1题图 （1）求三棱锥的体积； （2）求直线AE与平面所成角的正弦. 2.（2019嘉兴一模）如图，棱长为的正方体中，求：第2题图 （1）三棱锥的体积； （2）点C到平面的距离； （3）二面角平面角的余弦值. 3.（2020温州一模）如图所示，正方体的棱长为2，E为棱的中点. （1）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；第3题图 （2）求三棱锥的体积. 4.（2020宁波二模）如图所示，在棱长为2的正方体中，平面把正方体分成 两部分. 求：第4题图 （1）直线与平面所成的角； （2）二面角的平面角的余弦值； （3）两部分中体积较大部分的体积. 5．（2020嘉兴二模）如图已知正方体中，E为中点．求：第5题图 （1）AE与平面ABCD所成的角的余弦值； （2）平面与平面所成角的正切值． 6.（2020真题）如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为6，点M在棱DD′上，且. 连结MB，MA′，MB′，MC′，A′C′.第6题图 （1）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值； （2）求三棱锥M-A′B′C′的体积. 7.（2021宁波一模）如图，在棱长为的正方体中，是的中点．第7题图 （1）求二面角的正切值； （2）若将三棱锥削去，求剩余的几何体的体积． 8.（2021真题）如图，正四棱柱，，.A A′ B D′ D C′ B′ C 第8题图 （1）求二面角的平面角的正切值； （2）求四棱锥的体积. 9.（2019温州一模）如图所示，直三棱柱ABC-A′B′C′的底面是直三角形，，第9题图 ，，且. 求： （1）三棱柱ABC-A′B′C′的体积； （2）二面角A-BC-A′的大小. 10.（2019温州二模）如图，正三棱柱的底面边长为4，高为6，截面把正三棱柱 分成两部分，已知。求： 第10题图 （1）二面角的大小； （2）两部分中体积大的部分的体积. 11.（2020浙江二模）如图所示，一种正三棱柱的底面边长为6，过底面的一边AB作与 底面ABC成30˚角的截面. 求：A B C A1 B1 C1 第11题图 D （1）截面ABD的面积； （2）三棱锥的体积. 12.（2021温州一模）如图所示，正三棱柱的底面边长为4，体积为.A A1 B B1 C C1 第12题图 （1）求正三棱柱的高； （2）求二面角的大小. 13.（2021浙江五模）如图所示，已知正三棱柱的高为6，底面边长为4. 求： （1）二面角的大小；A C D E F 第13题图 B （2）点D到平面AEF的距离. 14.（2020温州三模）如图，已知正三棱柱，底面边长为4，高为3. 求： （1）三棱锥的体积；第14题图 （2）点A到平面的距离； （3）二面角的正切值. 15.（2021浙江二模）如图所示，在三棱柱中，已知底面ABC，BC⊥AC，第15题图 ，，且D为棱AC的中点. 求： （1）三棱锥的体积； （2）二面角的正切值. 16.（2019浙江一模）如图所示，三棱锥V-ABC中，，，，VA⊥VC，平面VAC⊥平面ABC，VE⊥AC，求：A B C E V 第16题图 （1）三棱锥V-ABC的体积； （2）二面角V-AB-C的正切值. 17.（2020浙江四模）在三棱锥中，已知，D为AB的中点，且 ，. 求：第17题图 A D B C （1）二面角的平面角的余弦值； （2）三棱锥的体积. 18.（2019浙江二模）如图所示，在三棱锥中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且 . 求：A B C P 第18题图 （1）二面角的平面角的余弦值； （2）点A到平面PBC的距离. 19.（2019浙江四模）在三棱锥中，底面ABE，，，D是第19题图 AE的中点，C是BE的中点，连接PC，PD，CD. 求： （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积； （3）点E到平面PCD的距离. 20．（2019嘉兴二模）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA，VB，VC两两互相垂直，且VA＝VB＝VC＝ a．求：第20题图 （1）点C到棱AB的距离； （2）平面ABC和平面ABV所成二面角的正切值． 21.（2021湖州一模）如图，已知三棱锥的底面是边长为4的正三角形，侧棱底面第21题图 ABC，且体积，求： （1）棱PA的长； （2）侧面PBC与底面ABC所成的二面角的正切值. 22.（2021浙江三模）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，，垂足为D. 沿AD折成A B C D B C D A 第22题图 直二面角. 求： （1）二面角的正切值； （2）三棱锥的体积. 23.（2021温州二模）如图所示，平面，，，. （1）求三棱锥的体积； 第23题图 （2）设点为的中点，求的长； （3）求二面角的正切值. 24.（2019真题）如图，正三棱锥P-ABC的侧棱长为，底面边长为4. （1）求正三棱锥P-ABC的全面积； （2）线段PA、AB、AC的中点分别为D、E、F，求二面角D-EF-A的余弦值. 第24题图 25.（2021宁波三模）如图，已知空间四边形ABCD中，，对角线，A B C D 第25题图 . （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积. 26．（2019温州三模）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形,第26题图 P B D C A ，PC与底面ABCD所成的角为，．求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的正切值． 27.（2019宁波二模）如图，四棱锥的底面是正方形，，， E是PC的中点， 求：第27题图 （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积． 28.（2019湖州一模）如图，已知ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且， . （1）求二面角的余弦；第28题图 （2）求三棱锥的表面积. 29.（2020宁波三模）如图，在直角梯形中，∥，，， 是的中点，是与的交点，将△沿折起，使其垂直底面，得到四 棱锥. （1）求面与底面所成角的大小；第29题图 （2）求四棱锥的体积. 30.（2019浙江三模）如图所示，在四棱锥中，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面A B C D P 第30题图 ABCD，，，. 求： （1）直线PC与平面ABCD所成角的正切值； （2）平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值； （3）. 31.（2021嘉兴三模）已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，若，，求： （1）四棱锥的表面积；B C D P 第31题图 A （2）AC与平面PAD所成角的大小. 32.（2021嘉兴二模）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面 ABCD，，E为PD的中点. 求：E 第32题图 （1）二面角的正切值； （2）三棱锥的体积. 33.（2021宁波二模）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面， ，，为的中点．E 第33题图 （1）求四棱锥的体积； （2）二面角的正切值． 34.（2020浙江三模）如图所示，已知正四棱锥的高为20 cm，且侧棱与底面所成角为45˚，A B C D O S 第34题图 求： （1）三棱锥的体积； （2）二面角的正切值. 35.（2021浙江一模）如图所示，在正四棱锥中，已知，，求： （1）PA与底面ABCD所成角的余弦值；第35题图 （2）二面角的正弦值； （3）正四棱锥的体积. 36.（2019浙江五模）如图所示，已知AC为圆柱的下底面直径，B为下底面圆周上一点，D为上底 面圆周上一点，且DA⊥底面ABC. 若圆柱的体积与三棱锥的体积之比为，求： （1）∠CAB的度数； （2）二面角的大小.A B C D 第36题图 37.（2020浙江一模）如图所示，已知圆柱的侧面展开图的面积为6π，底面直径，C为底面 上异于B，D的点，且. 求： （1）二面角的余弦值；A B C D 第37题图 （2）点B到平面ACD的距离. 38.（2020浙江五模）如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且C为圆柱底面 圆周上的一点，. 求：A B C P 第38题图 O O1 （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值. 39.（2020温州二模）如图所示，已知圆柱OO1的底面半径为2，高为4，矩形ABCD为圆柱轴截面， 点E为弧BC的中点. （1）求圆柱OO1的侧面积；第39题图 （2）求二面角的正切值. 40.（2021嘉兴一模）如图所示，圆柱的内接直三棱柱，该三棱柱的底面为圆柱底 面的内接三角形，且是圆的直径，且. 求：第40题图 （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积. 41.（2021浙江四模）如图所示，已知圆柱的高为，底面半径为2，AB为直径，O和O′分别是底 面的圆心，C为底面圆周上一点，且. 求：A B O O′ 第42题图 C （1）二面角O′-BC-O的大小； （2）三棱锥O′-ABC的体积； （3）此圆柱的全面积. 42.（2021温州三模）如图所示，某组合体由一个半球和一个圆锥CO（底面为半球的大圆）组成， 点C，O，D在同一直线上，半球半径和圆锥的高均为r.O A B C D 第41题图 （1）求这个组合体的体积V（用r表示）； （2）已知A，B为圆锥底面圆周上的两点，且， 求二面角的大小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2019—2021年浙江省高职考数学真题+模拟分类汇编 立体几何（解答题） 三、解答题 1.（2019杭州二模）如图，正方体中，棱长为2，E是的中点.第1题图 H （1）求三棱锥的体积； （2）求直线AE与平面所成角的正弦. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵E是的中点 ∴ ∴ 2 学科网（北京）股份有限公司 （2）作于点H，连接AH ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴∠EAH即为直线AE与平面所成角 ∵正方体棱长为2 ∴， 易证∽ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 即直线AE与平面所成角的正弦值为 2.（2019嘉兴一模）如图，棱长为的正方体中，求：第2题图 （1）三棱锥的体积； （2）点C到平面的距离； （3）二面角平面角的余弦值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1） （2）设点C到平面的距离为d ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 即点C到平面的距离为 （3）∵， ∴ ∴即为二面角的平面角 即二面角平面角的余弦值为 3.（2020温州一模）如图所示，正方体的棱长为2，E为棱的中点.第3题图 （1）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）连接BD ∵ ∴∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成角 ∵E为棱的中点，正方体棱长为2 ∴ 又∵ ∴ ∴ 即直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为 （2）连接EC 4.（2020宁波二模）如图所示，在棱长为2的正方体中，平面把正方体分成 两部分. 求：第4题图 M （1）直线与平面所成的角； （2）二面角的平面角的余弦值； （3）两部分中体积较大部分的体积. 【答案】（1）0˚；（2）；（3） 【解析】（1）∵，， ∴ ∴直线与平面所成的角为0˚ （2）取的中点M，连接AM，DM ∵， ∴， ∴∠AMD即为二面角的平面角 ∵正方体的棱长为2 ∴， ∴ （3） 5．（2020嘉兴二模）如图已知正方体中，E为中点．求：第5题图 M （1）AE与平面ABCD所成的角的余弦值； （2）平面与平面所成角的正切值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）连接AC ∵ ∴∠EAC即为AE与平面ABCD所成的角 设正方体的棱长为a 则， ∴ ∴ （2）取的中点M，连接AM， ∵， ∴， ∴或其补角即为平面与平面所成角的平面角 ∵ ∴平面与平面所成角的正切值为 6.（2020真题）如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为6，点M在棱DD′上，且. 连结MB，MA′，MB′，MC′，A′C′.第6题图 （1）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值； （2）求三棱锥M-A′B′C′的体积. 【答案】（1）；（2）12 【解析】（1）连接BD ∵ ∴∠MBD即为直线BM与平面ABCD所成的角 ∵正方体的棱长为6，且 ∴， ∴ （2）∵ ∴ 7.（2021宁波一模）如图，在棱长为的正方体中，是的中点．第7题图 O （1）求二面角的正切值； （2）若将三棱锥削去，求剩余的几何体的体积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）连接BD，交AC于点O，连接EO ∵是正方体 ∴⊥平面ABCD ∴DO是EO在平面ABCD内的射影 ∵ ∴ ∴是二面角的平面角 在中，， ∴ 即二面角的正切值为 (2) ∵ ∴ 8.（2021真题）如图，正四棱柱，，.A A′ B D′ D C′ B′ C 第8题图 （1）求二面角的平面角的正切值； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）2；（2） 【解析】（1）∵是正四棱柱 ∴， ∴是二面角的平面角 ∵在Rt△中，， ∴ （2） 9.（2019温州一模）如图所示，直三棱柱ABC-A′B′C′的底面是直三角形，，第9题图 ，，且. 求： （1）三棱柱ABC-A′B′C′的体积； （2）二面角A-BC-A′的大小. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵，， ∴， ∴ ∴ （2）∵ABC-A′B′C′是直三棱柱 ∴ ∴AC是在平面ABC内的射影 又∵ ∴ ∴是二面角A-BC-A′的平面角 ∵ ∴ 即二面角A-BC-A′的大小为45˚ 10.（2019温州二模）如图，正三棱柱的底面边长为4，高为6，截面把正三棱柱 分成两部分，已知。求： 第10题图 O （1）二面角的大小； （2）两部分中体积大的部分的体积. 【答案】（1）30˚；（2） 【解析】（1）如图所示，取的中点O，连接DO， ∵， ∴为二面角的平面角 ∵在Rt△中，， ∴ ∴ 即二面角的大小为30° （2）∵ ∴ 11.（2020浙江二模）如图所示，一种正三棱柱的底面边长为6，过底面的一边AB作与 底面ABC成30˚角的截面. 求：A B C A1 B1 C1 第11题图 D M （1）截面ABD的面积； （2）三棱锥的体积. 【答案】（1）18；（2） 【解析】（1）取AB的中点M，连接CM，DM ∵， ∴， ∴∠DMC是二面角的平面角 ∴ ∵， ∴ ∴ （2）∵ ∴ 12.（2021温州一模）如图所示，正三棱柱的底面边长为4，体积为.A A1 B B1 C C1 第12题图 M （1）求正三棱柱的高； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）6；（2）60˚ 【解析】（1）∵ ∴ 即正三棱柱的高为6 （2）取的中点M，连接，AM ∵， ∴， ∴是二面角的平面角 ∵在Rt△中，， ∴ ∴ 即二面角的大小为60˚ 13.（2021浙江五模）如图所示，已知正三棱柱的高为6，底面边长为4. 求： （1）二面角的大小；A C D E F 第13题图 B M （2）点D到平面AEF的距离. 【答案】（1）60˚；（2）3 【解析】（1）取EF的中点M，连接DM，AM ∵， ∴， ∴是二面角的平面角 ∵在Rt△ADM中，， ∴ ∴ 即二面角的大小为60˚ （2）设点D到平面AEF的距离为d ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 即点D到平面AEF的距离为3 14.（2020温州三模）如图，已知正三棱柱，底面边长为4，高为3. 求： （1）三棱锥的体积；第14题图 M （2）点A到平面的距离； （3）二面角的正切值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1） （2）设点A到平面的距离为d ∵ ∴ ∴ ∴ 即点A到平面的距离为 （3）取AC的中点M，连接BM， ∵， ∴， ∴是二面角的平面角 ∵在Rt△中，， ∴ 即二面角的正切值为 15.（2021浙江二模）如图所示，在三棱柱中，已知底面ABC，BC⊥AC，第15题图 H ，，且D为棱AC的中点. 求： （1）三棱锥的体积； （2）二面角的正切值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） （2）作于点H，连接BH ∵底面ABC， ∴ 又∵BC⊥AC，， ∴ ∴CH是BH在平面内的射影 ∴ ∴∠BHC是二面角的平面角 在Rt△中， ∵ ∴ ∴ ∴在Rt△BCH中， 即二面角的正切值为 16.（2019浙江一模）如图所示，三棱锥V-ABC中，，，，VA⊥VC，平面VAC⊥平面ABC，VE⊥AC，求：A B C E V 第16题图 H （1）三棱锥V-ABC的体积； （2）二面角V-AB-C的正切值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵平面VAC⊥平面ABC，VE⊥AC，， ∴ ∵在Rt△AVC中， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）作，交AB于点H，连接EH ∵ ∴EH是VH在平面ABC内的射影 ∴ ∴∠VHE是二面角的平面角 在Rt△VEA中， 易证△AHE是等腰直角三角形 ∴ ∴在Rt△VEH中， 即二面角的正切值是 17.（2020浙江四模）在三棱锥中，已知，D为AB的中点，且 ，. 求：第17题图 A D B C M （1）二面角的平面角的余弦值； （2）三棱锥的体积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）取PC的中点M，连接AM，BM ∵， ∴， ∴∠AMB是二面角的平面角 ∵， ∴ ∵，D为AB的中点 ∴ ∵在Rt△PDA中， ∴ ∴ 即二面角的平面角的余弦值为 （2）∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ 18.（2019浙江二模）如图所示，在三棱锥中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且 . 求： （1）二面角的平面角的余弦值； （2）点A到平面PBC的距离.A B C P 第18题图 H 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）作于点H，连接PH ∵PA⊥平面ABC ∴AH是PH在平面ABC内的射影 ∴ ∴∠PHA是二面角的平面角 ∵AB⊥AC， ∴△BAC是等腰直角三角形 ∴ 又∵在Rt△PAH中， ∴ ∴ （2） 设点A到平面PBC的距离为d ∵ ∴ ∴ ∴ 即设点A到平面PBC的距离为 19.（2019浙江四模）在三棱锥中，底面ABE，，，D是第19题图 AE的中点，C是BE的中点，连接PC，PD，CD. 求： （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积； （3）点E到平面PCD的距离. 【答案】（1）45˚；（2）；（3） 【解析】（1）∵D是AE的中点，C是BE的中点 ∴ 又∵ ∴，即 ∵底面ABE ∴AD是PD在平面ABE内的射影 ∴ ∴∠PDA是二面角的平面角 ∵， ∴△PAD是等腰直角三角形 ∴ 即二面角的大小为45˚ （2）∵， ∴ ∴ （3） 设点E到平面PCD的距离为d ∵ ∴ ∴ ∴ 即点E到平面PCD的距离为 20．（2019嘉兴二模）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA，VB，VC两两互相垂直，且VA＝VB＝VC＝ a．求：第20题图 H （1）点C到棱AB的距离； （2）平面ABC和平面ABV所成二面角的正切值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意， 作于点H，则 即点C到棱AB的距离为 （2）连接VH ∵，，， ∴ ∴VH是CH在平面ABV内的射影 ∵ ∴ ∴∠CHV或其补角是平面ABC和平面ABV所成二面角的平面角 ∵在Rt△CVH中， ∴ ∴平面ABC和平面ABV所成二面角的正切值为 21.（2021湖州一模）如图，已知三棱锥的底面是边长为4的正三角形，侧棱底面 ABC，且体积，求：第21题图 D （1）棱PA的长； （2）侧面PBC与底面ABC所成的二面角的正切值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴ （2）作，连接PD ∵侧棱底面ABC ∴AD是PD在平面ABC内的射影 ∴ ∴∠PDA或其补角是侧面PBC与底面ABC所成的二面角的平面角 ∵ ∴在Rt△PAD中， ∴侧面PBC与底面ABC所成的二面角的正切值为 22.（2021浙江三模）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，，垂足为D. 沿AD折成A B C D B C D A 第22题图 H 直二面角. 求： （1）二面角的正切值； （2）三棱锥的体积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得，∠BDC是二面角 的平面角 ∴ ∴ 又∵，， ∴ 作于点H，连接BH，则DH是BH在平面ACD内的射影 ∴ ∴∠BHD是二面角的平面角 ∵ ∴ ∴在Rt△BDH中， 即二面角的正切值为 （2）∵ ∴ 23.（2021温州二模）如图所示，平面，，，. （1）求三棱锥的体积； 第23题图 （2）设点为的中点，求的长； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）；（2）；（3）2 【解析】（1） （2）∵平面， ∴， 又∵ ∴△PAC是等腰直角三角形 又∵点为的中点 ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ 又∵ ∴ ∴在Rt△BAM中， （3）∵ ∴AM是BM在平面PAC内的射影 又∵ ∴ ∴∠AMB是二面角的平面角 在Rt△BAM中， 即二面角的正切值为2 24.（2019真题）如图，正三棱锥P-ABC的侧棱长为，底面边长为4. （1）求正三棱锥P-ABC的全面积； （2）线段PA、AB、AC的中点分别为D、E、F，求二面角D-EF-A的余弦值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）取BC的中点G，连接PG第24题图 G H ∵ ∴ ∴斜高 ∴ 又∵ ∴ （2）连接AG，交EF于点H，连接DH ∵G是BC的中点，， ∴， ∵E、F分别为AB、AC的中点 ∴ ∴，即 ∵，， ∴ ∴H是EF的中点 又∵D是PA的中点 ∴ ∴ ∴∠DHA是二面角D-EF-A的平面角 ∵ ∴ 又∵， ∴ 25.（2021宁波三模）如图，已知空间四边形ABCD中，，对角线，A B C D 第25题图 E . （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）120˚；（2） 【解析】（1）取BD的中点E，连接AE，CE ∵ ∴， ∴∠AEC是二面角的平面角 ∵， ∴ ∴ （2）∵，，， ∴ ∵ ∴ 26．（2019温州三模）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形,第26题图 P B D C A O ，PC与底面ABCD所成的角为，．求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的正切值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ∴CD是PC在平面ABCD内的射影 ∴∠PCD是PC与底面ABCD所成的角 ∴ ∴△PDC是等腰直角三角形 ∴ ∴ （2）连接BD，交AC于点O，连接PO ∵底面ABCD是正方形 ∴ 由（1）可知， ∴∠POD是二面角的平面角 ∵， ∴ 即二面角的正切值为 27.（2019宁波二模）如图，四棱锥的底面是正方形，，， E是PC的中点， 求：第27题图 （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1）45˚；（2） 【解析】（1）∵ ∴AD是PA在平面ABCD内的射影 ∵底面ABCD是正方形 ∴ ∴ ∴∠PAD是二面角的平面角 ∵ ∴△PDA是等腰直角三角形 ∴ （2）∵E是PC的中点 ∴ ∴ 28.（2019湖州一模）如图，已知ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且， . （1）求二面角的余弦；第28题图 O （2）求三棱锥的表面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）连接AC，交BD于点O，连接PO ∵ ∴AC是PO在平面ABCD内的射影 ∵ABCD是正方形 ∴ ∴ ∴∠POC是二面角的平面角 ∵在Rt△PAO中，， ∴ ∴ ∴ 即二面角的余弦值为 （2）∵， ∴ 29.（2020宁波三模）如图，在直角梯形中，∥，，， 是的中点，是与的交点，将△沿折起，使其垂直底面，得到四 棱锥. （1）求面与底面所成角的大小；第29题图 （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）45˚或135˚；（2） 【解析】（1）在图1中，连接CE，由题意可知 四边形ABCE是正方形 ∴ ∴在图2中， 又∵，， ∴ ∴CO是在平面BCDE内的射影 又∵ ∴ ∴或其补角是面与底面所成角的平面角 ∵在Rt△中， ∴ ∴面与底面所成角的大小为45˚或135˚ （2）∵ ∴ 30.（2019浙江三模）如图所示，在四棱锥中，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD，，，. 求： （1）直线PC与平面ABCD所成角的正切值； （2）平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值； （3）.A B C D P 第30题图 【答案】（1）；（2）；（3）120 【解析】（1）连接AC ∵PA⊥平面ABCD ∴AC是PC在平面ABCD内的射影 ∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成角 ∵在Rt△PAC中，， ∴ 即直线PC与平面ABCD所成角的正切值为 （2）∵AB是PB在平面ABCD内的射影，且 ∴ ∴∠PBA或其补角是平面PBC与平面ABCD所成角的平面角 ∵在Rt△PAB中， ∴ ∴平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值为 （3） 31.（2021嘉兴三模）已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，若，，求： （1）四棱锥的表面积；B C D P 第31题图 A （2）AC与平面PAD所成角的大小. 【答案】（1）；（2）45˚ 【解析】（1）∵， ∴ ∴△PAB是直角三角形，且 同理，得△PAD是直角三角形，且 ∵ ∴AB是PB在平面ABCD内的射影 又∵ ∴ ∴△PBC是直角三角形 同理，得△PDC是直角三角形 ∴ （2）连接AC ∵，，， ∴ ∴AD是AC在平面PAD内的射影 ∴∠CAD是AC与平面PAD所成角 ∵ABCD是正方形 ∴ 即AC与平面PAD所成角的大小为45˚ 32.（2021嘉兴二模）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面 ABCD，，E为PD的中点. 求：E 第32题图 F G （1）二面角的正切值； （2）三棱锥的体积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）取AD的中点F，连接EF 又∵E为PD的中点 ∴ 又∵PA⊥平面ABCD ∴EF⊥平面ABCD 过点F作于点G，连接EG，则 ∴EGF是二面角的平面角 ∵在Rt△EGF中，易知， ∴ 即二面角的正切值为 （2）∵ ∴ 33.（2021宁波二模）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面， ，，为的中点．E 第32题图 F G （1）求四棱锥的体积； （2）二面角的正切值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） （2）取AD的中点F，连接EF 又∵E为PD的中点 ∴ 又∵PA⊥平面ABCD ∴EF⊥平面ABCD 过点F作于点G，连接EG，则 ∴EGF是二面角的平面角 ∵在Rt△EGF中，易知， ∴ 即二面角的正切值为 34.（2020浙江三模）如图所示，已知正四棱锥的高为20 cm，且侧棱与底面所成角为45˚，A B C D O S 第34题图 E 求： （1）三棱锥的体积； （2）二面角的正切值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意可知 ∴△SOA是等腰直角三角形 ∴ ∴底面正方形的边长为 ∴ （2）取BC的中点E，连接SE，OE 易得， ∴∠SEO是二面角的平面角 ∵在Rt△SOE中，， ∴ 即二面角的正切值为 35.（2021浙江一模）如图所示，在正四棱锥中，已知，，求： （1）PA与底面ABCD所成角的余弦值；第35题图 O E （2）二面角的正弦值； （3）正四棱锥的体积. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）连接AC，BD，交于点O，连接PO ∵是正四棱锥 ∴ ∴∠PAO是PA与底面所成角 ∵在Rt△POA中，， ∴ 即PA与底面ABCD所成角的余弦值为 （2）取BC的中点E，连接PE，OE 易得， ∴∠PEO是二面角的平面角 ∵在Rt△POE中，， ∴ ∴ （3） 36.（2019浙江五模）如图所示，已知AC为圆柱的下底面直径，B为下底面圆周上一点，D为上底 面圆周上一点，且DA⊥底面ABC. 若圆柱的体积与三棱锥的体积之比为，求： （1）∠CAB的度数； （2）二面角的大小.A B C D 第36题图 【答案】（1）45˚；（2）90˚ 【解析】（1）设圆柱底面半径为r，高为h，， 则， 由解得 ∵是锐角 ∴ （2）∵AC为圆柱的下底面直径，B为下底面圆周上一点 ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ 又∵ ∴ ∴二面角的大小为90˚ 37.（2020浙江一模）如图所示，已知圆柱的侧面展开图的面积为6π，底面直径，C为底面 上异于B，D的点，且. 求：A B C D 第37题图 （1）二面角的余弦值； （2）点B到平面ACD的距离. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵底面半径 ∴ ∴ ∵BD是直径，C为底面上异于B，D的点 ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴BC是AC在平面BCD内的射影 又∵ ∴ ∴∠ACB是二面角的平面角 又∵ ∴ 即二面角的余弦值为 （2）设点B到平面ACD的距离为d 在Rt△BCD中， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即点B到平面ACD的距离为 38.（2020浙江五模）如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且C为圆柱底面 圆周上的一点，. 求：A B C P 第38题图 O O1 （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）∵底面半径 ∴ （2）∵AB是直径，C为圆柱底面圆周上的一点 ∴ ∵ ∴AC是PC在平面ABC的射影 ∴ ∴∠PCA是二面角的平面角 ∵ ∴ ∴在Rt△PAC中， ∴ 即二面角的正弦值为 39.（2020温州二模）如图所示，已知圆柱OO1的底面半径为2，高为4，矩形ABCD为圆柱轴截面， 点E为弧BC的中点. （1）求圆柱OO1的侧面积；第39题图 （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） （2）连接，，EO，易得， ∴是二面角的平面角 ∵， ∴ 即二面角的正切值为 40.（2021嘉兴一模）如图所示，圆柱的内接直三棱柱，该三棱柱的底面为圆柱底 面的内接三角形，且是圆的直径，且. 求：第40题图 （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积. 【答案】（1）45˚；（2）8 【解析】（1）∵是圆的直径 ∴ ∵ ∴BC是在平面ABC内的射影 ∴ ∴是二面角的平面角 ∵ ∴△是等腰直角三角形 ∴ 即二面角的大小为45˚ （2）连接 ∵，，BC与是平面内的两条相交直线 ∴ 又∵在Rt△ACB中， ∴ 41.（2021浙江四模）如图所示，已知圆柱的高为，底面半径为2，AB为直径，O和O′分别是底 面的圆心，C为底面圆周上一点，且. 求：A B O O′ 第42题图 C H （1）二面角O′-BC-O的大小； （2）三棱锥O′-ABC的体积； （3）此圆柱的全面积. 【答案】（1）；（2）2；（3） 【解析】（1）∵AB为直径 ∴ ∴ 作于点H，连接 ∵ ∴OH是在平面ABC内的射影 ∴ ∴是二面角O′-BC-O的平面角 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即二面角O′-BC-O的大小为 （2）∵在Rt△ACB中， ∴ （3） 42.（2021温州三模）如图所示，某组合体由一个半球和一个圆锥CO（底面为半球的大圆）组成， 点C，O，D在同一直线上，半球半径和圆锥的高均为r.O A B C D 第41题图 （1）求这个组合体的体积V（用r表示）； （2）已知A，B为圆锥底面圆周上的两点，且， 求二面角的大小. 【答案】（1）；（2）120˚ 【解析】（1） （2）∵， ∴∠AOB是二面角的平面角 ∵ ∴ 即二面角的大小为120˚ $$