精品解析：四川省凉山彝族自治州中等职业学校2024-2025学年高一下学期教学质量监测数学试题

凉山州2024—2025学年度下期末中等职业学校教学质量监测 高一数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点到直线的距离为1，则 a的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】因为点到直线的距离为1， 可得，解得或（舍去）. 故a的值为. 故选：D. 2. 化简：＝（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根式计算方法运算即可. 【详解】. 故选：A. 3. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率的定义即可求解. 【详解】由题意知，直线l的斜率为， 设直线l的倾斜角为，则， 解得，即直线l的倾斜角为. 故选：A 4. 计算：等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：A. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】因为集合，， 解方程组可得，所以. 故选：D. 6. 角是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限角的范围即可解得. 【详解】第四象限角的范围为， 角度是可以周期性变化的，给任何角度加上或减去的整数倍，它仍然表示同一个位置， 为第四象限角， 故选：D 7. 角用弧度制表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角度与弧度的互化公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 8. 若，那么直线不经过第（ ）象限 A. B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】分别求时，的取值，以及时，的取值，即可求解. 【详解】∵直线，且. 令，得到， 令，得到， 所以，直线经过一二四象限，不经过第三象限. 故选：C. 9. 在定义域内下列函数中为增函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、二次函数、反比例函数、对数函数的单调性，结合题意，即可判断求解. 【详解】函数是定义在实数集R上的减函数，故选项A不符合题意； 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则函数在定义域R上不是增函数，故选项B不符合题意； 函数在区间和上单调递减， 则函数在定义域上不是增函数，故选项C不符合题意； 函数在定义域上为增函数，故选项D符合题意； 故选：D. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性比较指数幂与对数式的大小即可. 【详解】已知为增函数，且， 所以，即， 已知为减函数，且， 所以，即， 已知在上为增函数，且， 所以，即， 所以， 故选：B. 11. 在金融投资模拟中，资产价值的波动以角度衡量，价值上升对应正角度，下降对应负角度.某虚拟资产周一价值下降幅度相当于，周二上升幅度相当于，那么该资产从周一到周二相对初始价值的角度变化是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合任意角的概念即可求解. 【详解】由题意得，周一下降记为，周二上升记为， 相对初始价值角度变化为， 故选： A. 12. 已知角的终边落在射线上，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可在射线上任取一点，结合任意角三角函数的概念，即可求得的值，继而求解. 【详解】因为角的终边落在射线上， 所以在射线上任取一点，如， 所以， 所以. 故选：C. 13. 函数，的值域是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先运用换元法令，再根据二次函数的顶点式和单调性求出二次函数在的值域，再根据指数函数的单调性求最值即可得出值域. 【详解】函数，是由和，复合而成， 因为对称轴为，开口向上， 所以在单调递减，在单调递增， 所以时，，时，， 所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数，的值域是. 故选：C. 14. 已知函数（，且），在区间上恒有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论的范围，根据大于和小于的两种情况判断函数单调性以及求最值，综合不等式解及分类前提确定最终范围即可. 【详解】若，则在上单调递减， 最大值为，且有， 解得或，此时的取值范围为，即. 若，则在上单调递增， 最大值为，且有， 解得，此时的取值范围为，即. 综上，的取值范围为. 故选：. 15. 三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式. 【详解】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线， 点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点， 则点为三棱锥外接球的球心， 因为平面，且为等边三角形，， 所以四边形为矩形，，， 所以，即三棱锥外接球的半径， 则该三棱锥外接球的表面积为. 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，将答案填写在答题卡对应的横线上） 16. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案. 【详解】由题意得，圆锥的底面半径为，母线长为， 故圆锥的侧面积为. 故答案为： 17. 写出一个定义域为且值域为的函数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据对数函数的值域与定义域可得出结果. 【详解】函数的定义域为，值域为，故函数满足要求. 故答案为：（答案不唯一）. 18. 若的最大值为，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦函数的最值列方程，即可得出答案． 【详解】因为，所以， 所以， 因为最大值为， 所以，解得． 故答案为：． 19. 已知角的终边与单位圆的交点为，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义求得角的三角函数值，再利用诱导公式化简即可得解. 【详解】因为角的终边与单位圆的交点为， 所以，则. 故答案为：. 20. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先求以线段为直径的圆和交点，再求直线的方程. 【详解】线段的中点是，， 则以线段为直径的圆是， 联立，解得： 或，则, ,则直线的方程是， 整理为：. 故答案为： 三、解答题（共6个小题，第21题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据换底公式化简求值即可. （2）运用对数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 22. 已知，求： （1）， （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正、余弦齐次式的化简，即可求值； （2）根据题意，结合同角三角函数的平方关系，及正、余弦齐次式的化简，即可求值； 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以. 23. 已知：如图一个等边三角形的边长为a，这个等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周． （1）求所得旋转体的表面积； （2）求所得旋转体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，旋转体可以看作两个圆锥的组合体，再根据圆锥的侧面积公式求值即可. （2）根据圆锥的体积公式求值即可. 【小问1详解】 由等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周得两个圆锥的组合体， 且圆锥的底面半径为， 圆锥的高为，母线长为， 所以所得旋转体的表面积为. 【小问2详解】 由（1）可知， 圆锥的底面半径为， 圆锥的高为， 所以所得旋转体的体积为. 24. 设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： （1）在轴上的截距是； （2）的斜率是． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据截距的定义可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）根据直线的斜率可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值. 【小问1详解】 解：当直线在轴上的截距为时，有，解得． 【小问2详解】 解：当的斜率为时，有，解得． 25. 已知：如图正四棱锥的底面边长和侧棱长均为： （1）求该正四棱锥的表面积； （2）求该正四棱锥的体积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的表面积的公式求解即可. （2）首先求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 因为正四棱锥的底面边长为， 所以底面积为. 又因为正四棱锥的侧棱长为， 所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. 【小问2详解】 底面正方形对角线交点为，连接为高， 因为正四棱锥的底面边长为，所以. 又因为正四棱锥的侧棱长为，所以. 进而正四棱锥的体积为. 26. 在直角坐标系中，已知两点、 （1）求直线的斜率与倾斜角； （2）求以为直径的圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知两点求斜率的公式结合斜率与倾斜角的关系即可求解. （2）根据两点间的距离公式结合中点坐标公式，圆的标准方程即可求解. 【小问1详解】 由题意得，设直线倾斜角为， 则，所以. 即直线的斜率为，倾斜角. 【小问2详解】 由题意得，. 圆心坐标为. 所以以为直径的圆的标准方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凉山州2024—2025学年度下期末中等职业学校教学质量监测 高一数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点到直线的距离为1，则 a的值为（ ）. A. B. C. D. 2. 化简：＝（　　） A. 3 B. C. D. 3. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：等于（ ）． A. B. C. D. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 角是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 角用弧度制表示为（ ） A. B. C. D. 8. 若，那么直线不经过第（ ）象限 A. B. 二 C. 三 D. 四 9. 在定义域内下列函数中为增函数的是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在金融投资模拟中，资产价值的波动以角度衡量，价值上升对应正角度，下降对应负角度.某虚拟资产周一价值下降幅度相当于，周二上升幅度相当于，那么该资产从周一到周二相对初始价值的角度变化是（ ）. A. B. C. D. 12. 已知角的终边落在射线上，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 13. 函数，的值域是（    ） A. B. C. D. 14. 已知函数（，且），在区间上恒有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 15. 三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，将答案填写在答题卡对应的横线上） 16. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______. 17. 写出一个定义域为且值域为的函数______． 18. 若的最大值为，则_____． 19. 已知角的终边与单位圆的交点为，则_________． 20. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是___________. 三、解答题（共6个小题，第21题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 求下列各式的值： （1）； （2）． 22. 已知，求： （1）， （2） 23. 已知：如图一个等边三角形的边长为a，这个等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周． （1）求所得旋转体的表面积； （2）求所得旋转体的体积． 24. 设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： （1）在轴上的截距是； （2）的斜率是． 25. 已知：如图正四棱锥的底面边长和侧棱长均为： （1）求该正四棱锥的表面积； （2）求该正四棱锥的体积； 26. 在直角坐标系中，已知两点、 （1）求直线的斜率与倾斜角； （2）求以为直径的圆的标准方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $