专题二 逻辑代数的基本运算及规则（讲义）-《电子线路》（高教版第二版）高考备考讲练测（安徽省）

电子线路专题复习讲练测 专题二 逻辑代数的基本运算及规则 【考纲要求】 知识与技能要点 考试条目 考试水平 A B C D 逻辑代数的基本运算及规则 1.逻辑代数的基本运算 √ 2.逻辑代数的基本定律及规则 √ 【课时安排】 2课时 【知识梳理】 考点一 逻辑代数的基本运算及规则 一、逻辑代数的基本运算 1.逻辑变量与逻辑函数： 在逻辑代数中的变量称逻辑变量，用字母Ａ、Ｂ、Ｃ……来表示。逻辑变量只能有两种取值：真和假。常把真记作“1”，假记作“0”。这里的“1”和“0”并不表示数量的大小，而是表示完全对立的两种状态。 在逻辑问题的研究中，涉及到问题产生的条件和结果。表示条件的逻辑变量称输入变量，表示结果的逻辑变量称输出变量。将输入变量和输出变量通过逻辑运算符连接起来的式子称逻辑函数，常用Ｆ、Ｌ表示。 2.逻辑运算： 逻辑运算的值要通过对逻辑变量进行逻辑运算来确定。 （1）与运算 定义：当决定一件事情的几个条件全部具备之后，这件事情才能发生，否则不发生。 逻辑运算Ｆ与逻辑变量Ａ、Ｂ的逻辑与运算表达式是：Ｆ＝Ａ·Ｂ, 式中“·”为与运算符。 （2）或运算 定义：当决定一件事情的几个条件中，只要有一个条件得到满足，这件事情就会发生。 逻辑函数Ｆ与逻辑变量Ａ、Ｂ的逻辑运算表达式是：Ｆ＝Ａ＋Ｂ，式中“＋”为或运算符。 （3）非逻辑 定义：事情（输出信号）和条件（输入信号）总是相反状态。 对逻辑变量Ａ进行逻辑非运算的表达式是：Ｆ＝，这里的“－”是非运算符。 （4）正、负逻辑 数字电路是以输入、输出电平的高低来表示逻辑“0”或“1”的。这种高低电平允许在一定的范围内波动，只要不超出这个范围，它们所表示的逻辑值都是正确的。 若规定以高电平表示逻辑“1”，低电平表示逻辑“0”，这种规定称正逻辑。反之，若规定低电平来表示逻辑“1”，高电平表示逻辑“0”，这种规定称负逻辑。 二、逻辑代数的基本定律及规则 1.逻辑代数相等： 假定Ｆ、Ｇ都具有ｎ个相同变量的逻辑函数，对于这ｎ个变量中的任意一组输入，如Ｆ和Ｇ都有相同的输出值，则称这两个函数相等。 2.逻辑代数的基本定律： 在逻辑代数中，三个基本运算符的运算优先级别依次为：非、与、或。由此推出10个基本定律如下： 1）交换律 Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；Ａ·Ｂ＝Ｂ·Ａ 2）结合律 Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ； Ａ·（ＢＣ）＝（ＡＢ）·Ｃ 3）分配律 Ａ·（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ； Ａ＋ＢＣ＝（Ａ＋Ｂ）·（Ａ＋Ｃ） 4)0－1律 Ａ＋0＝Ａ；Ａ·1＝Ａ Ａ＋1＝1 ；Ａ·0＝0 5)互补律 Ａ＋＝1 ；Ａ·＝0 6)重叠律 Ａ·Ａ＝Ａ；Ａ＋Ａ＝Ａ 7)对合律 ＝Ａ 8)吸收律 Ａ＋ＡＢ＝Ａ；Ａ·（Ａ＋Ｂ）＝Ａ Ａ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ；Ａ·（＋Ｂ）＝ＡＢ ＡＢ＋Ｂ＝Ｂ；（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｂ）＝Ｂ 9)反演律 ＝·；＝＋ 10)多余项律 ＡＢ＋Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ｃ； (Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）·（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ） 3.逻辑代数的基本规则： 逻辑代数中有三个基本规则：代入规则、反演规则和对偶规则。 1)代入规则： 在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量（如Ａ）的位置都代以一个逻辑函数（如Ｆ），则等式仍成立。 利用代入规则可以扩大定理的应用范围。 2)反演规则： 已知函数Ｆ，欲求其反函数时，只要将Ｆ式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”；“0”换成“1”，“1”换成“0”时，原变量变成反变量，反变量变成原变量，便得到。 注意：运用反演规则时，要注意运算符号的优先次序及括号的正确使用。 3)对偶规则： 任意函数Ｆ，若将式中的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”；“1”换成“0”，“0”换成“1”，而变量保持不变，原式中的运算优先顺序不变。得到的式子称Ｆ的对偶式Ｆ＇。 注意：若Ｆ＝Ｇ，则Ｆ＇＝Ｇ＇。 电子线路专题复习讲练测 专题三 逻辑函数及其表示方法 【考纲要求】 知识与技能要点 考试条目 考试水平 A B C D 逻辑函数 及其表示方法 1.逻辑函数的定义 √ 2. 逻辑函数的表示方法 （真值表、逻辑函数式、逻辑图） √ 3.各种表示方法的相互转换 √ 【课时安排】 2课时 【知识梳理】 考点一 逻辑函数及其表示方法 一、逻辑函数的定义 1. 逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。 逻辑表达式描述了逻辑变量与逻辑函数间的逻辑关系，是实际逻辑问题的抽象表达。 2. 逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为Y=f（A，B，C···），其中f表示逻辑运算规则。 关键特征‌： 唯一性：每组输入组合对应唯一的输出值。 二值性：输入和输出仅取0或1，代表逻辑状态而非数值‌。 表达式：可通过与、或、非等基本逻辑运算构成函数关系‌。 二、逻辑函数的表示方法 1.真值表 真值表是由逻辑函数输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。其特点是：直观地反映了变量取值组合和函数值的关系，便于把一个实际问题抽象为一个数学问题。 真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。 2. 逻辑函数式 ·由逻辑变量和与、或、非、异或及同或等几种运算符号连接起来所构成的式子。 ·由真值表直接写出的逻辑式是标准的与-或逻辑式。 写标准与-或式的方法是： ①把任意一组变量取值中的1代以原变量，0代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如A、B、C三个变量的取值为110时，则代换后得到的变量与组合为。 ②把逻辑函数Y的值为1所对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与-或逻辑式。 3. 逻辑图 ·将逻辑表达式中的逻辑运算关系，用对应的逻辑符号表示出来，就构成函数的逻辑图。 ·只要把逻辑函数式中各逻辑运算用相应门电路和逻辑符号代替，就可画出和逻辑函数相对应的逻辑图。 逻辑函数的表示方法对比表 方法 特点 示例 适用场景 函数表达式 用运算符组合变量（如Y=AB+C） F = AB + AC 代数化简与运算 真值表 列出所有输入组合对应的输出 3变量表有8行 全面验证逻辑功能 逻辑电路图 用门电路符号表示逻辑关系 电路设计与实现 ‌‌ 三、各种表示方法的相互转换 1. 表达式 → 真值表： 步骤1：列出所有输入组合（n变量有2ⁿ行）； 步骤2：逐行代入表达式计算输出。 2. 真值表 → 表达式： 找出输出为1的行，写成最小项之和。 3.表达式 ↔ 逻辑电路图： 表达式→逻辑电路图：按运算优先级逐级画门电路； 逻辑电路图→表达式：从输入到输出逐级写出门的输出表达式。 【真题练讲】 1. （2011年江苏省高考真题）登录电子邮箱需同时输入正确用户名和密码，其逻辑关系为（ ）。 A. "与"关系 B. "或"关系 C. "非"关系 D. 无逻辑关系 【答案】A 【解析】两个条件必须同时满足，属于“与”逻辑。 2.（2019年全国高考真题）函数Z=+B对应的逻辑门是（ ）。 A. 与门 B. 或非门 C. 与非门 D. 或门 【答案】B 【解析】由摩根定律+B=，即与非门输出再取非。 3. （2020年山东省高考真题）若A·B=A·C，则B与C的关系是（ ）。 A. B=C B. B≠C C. 不一定相等 D. 不确定 【答案】C 【解析】当A=0时，等式恒成立（如B=1, C=0时仍成立）。 4.（2019年江苏省高考真题）函数F=等价于（ ） A.   B. A·B 【答案】A 【解析】摩根定律直接应用。 5.（2019年天津高考真题）函数Y=对应的门电路是（ ） A. 同或门 B. 异或门 【答案】A 【解析】异或取反即为同或（相同出1）。 6.（2020年全国高考真题）化简Y=A+AB： 【答案】Y=A 【解析】并项法（A+AB=A） 7.（2018年浙江省高考真题）若“与非”门输入A=1、B=1，输出为______。 【答案】0 【解析】与非门“全1出0”。 8.（2022年北京高考真题）用公式证明A+B=A+B： 【答案】A+B 【解析】A+B=(A+A)(A+B)=1⋅(A+B)=A+B 【限时练习】 1. 逻辑式A+B=______。 【答案】A+B 【解析】吸收律。 2. 函数F=与G=的关系是______。 【答案】相等 【解析】摩根定律。 3. 逻辑变量取值只能是______。 【答案】0或1 【解析】在逻辑代数中的变量称逻辑变量，用字母Ａ、Ｂ、Ｃ……来表示。逻辑变量只能有两种取值：真和假。常把真记作“1”，假记作“0”。这里的“1”和“0”并不表示数量的大小，而是表示完全对立的两种状态。 4. 化简ABC+AC=______。 【答案】AC 【解析】并项法。 5. 证明A+B=A+B： 【答案】左边=(A+)(A+B)=1·(A+B)=A+B=右边。 6. 化简Y=A+A：______。 【答案】Y=A 【解析】吸收律。 7. 化简Y=AB+B+B：______。 【答案】Y=B 【解析】并项+吸收。 8. 数字信号的特点是（ ） A. 大小时间均连续 B. 大小时间均离散 【答案】B 【解析】数字信号离散，模拟信号连续。 9. 用德·摩根定理化简Y=。 【答案】Y=·B·C 【解析】两次应用反演律： ①A+=；②=；③合并得Y==·B·C（∵·=) 10. 化简：Y=A+AC+BC。 【答案】Y=A+BC  【解析】A+AC=A(+C)，再+BC→ 用配项法。 【内容小结】 学科网（北京）股份有限公司 $$