19.卷11 九下 第1章 解直角三角形 综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 卷11 九下第1章综合检测卷 考查内容：解直角三角形 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2025浙江台州校级月考]把三边的长度都扩大为原来的3倍，则 的正弦 值( ) A A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 【解析】因为 三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似， 所以的大小没改变，所以 的正弦值也不变．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2025浙江温州瓯海区质检]如图，在中， ，若， ， 则 的值是( ) D （第2题图） A. B. C. D. 【解析】，，， ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第3题图） 3.[2024浙江杭州拱墅区模拟]如图，点为边上任意一点，过点 作另一边的垂线，垂足为点，过点作于点 ，下列表示 错误的是( ) A A. B. C. D. 【解析】于点，于点， ， ， ， ， ， ，故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.[2025浙江宁波校级期末]三角函数 ， ， 之间的大小关系 是( ) C A. B. C. D. 【解析】 ， ，余弦值随着角度的增大而减 小， ．故选C． 上分总结 锐角三角函数值大小的比较 锐角的三角函数值都是正实数，并且，， .正 弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，正切值随着角度的 增大而增大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.[2025浙江金华期末]在中， ，若，则 的值为 ( ) B A. B. C. D.2 【解析】 ，.设，则 ， ， ．故选B． 上分总结 同角三角函数之间的转化 为方便计算，可以构造直角三角形，利用已知的三角函数转化为两个线段长的比， 再计算同角的其他三角函数的值，或者可利用同角三角函数之间的关系：①平方 关系：；②商数关系： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第6题图） 6.[2025浙江嘉兴秀洲区校级月考]如图，在平面直角坐标系中，第 一象限内的点在射线上，若，，则点 的坐 标为( ) B A. B. C. D. （第6题图） 【解析】如图，过点作轴于点．在 中， ，，, , 点的坐标为 ．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第7题图） 7.[2025浙江温州永嘉期中]如图，商用手扶梯的坡比为 ， 已知扶梯的长为12米，则小明乘坐扶梯从处到 处上升的高 度 为( ) A A.6米 B.米 C.12米 D. 米 【解析】 商用手扶梯的坡比为， 设，则 ， ，解得, 为6米，故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第8题图） 8.[2025浙江杭州月考]如图，在边长为1的小正方形网格中，点 ，，，在格点上，连结，，过点作于点 ， 连结，则 的值是( ) D A. B.2 C. D. 【解析】如图，以为圆心，1为半径作，连结 点 ，，，在格点上，， 点 ， ，在上,， ， ， 点在上， ， ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第9题图） 9.传统文化[2025浙江温州调研，中]“圭表” 是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表” 示意图如图所示，， 米，测 得某地夏至正午时“表”的影长 米，冬 至时的正午太阳高度角 ，则夏至 到冬至，影长差 的长为( ) D A.米 B. 米 C.米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】， .在中， ， 米， （米）米，米， 影 长差的长为 米，故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 10.新考法[2024浙江杭州滨江区二模，偏难]如图，在 中， ，，，点为的中点，线段的垂直平分线 交 边于点．设， ，则( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】连结 ，点为的中点， ， 是的垂直平分线，， ， ，,， ， ，， ， 故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.[2025浙江宁波鄞州区期末]的两个锐角和 满足 ，则 的度数是______． 【解析】，， ， ，和是锐角， ， ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 12.[2025浙江湖州期末]已知 为锐角，且，则 的值为___． 5 【解析】， ．故答案为5． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 13.分类讨论思想[2025浙江绍兴嵊州期末]已知等腰三角形的两边长分别是4和6， 则这个等腰三角形底角的正弦值为_ _______． 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】如图（1），当腰长为4，底边长为6时，过点作 ，垂足为 ，，，．在 中， , ．如图（2），当腰长为6，底 边长为4时，过点作，垂足为， ， ，．在中， , ．故答案为或 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 14.[2024浙江嘉兴秀洲区校级二模]如图， 的顶点在正方形网格的格点上， 则 的值为_ __． （第14题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】如图所示，过点作于点 .设每个小正方形的边长为 1，则，， ， . ， 上分技巧 等面积法求三角形的高 在网格中求一个三角形的高，可以先利用勾股定理求边长，再用等面积法求高. ，， 在中, ， ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 15.[2025浙江舟山开学，偏难]如图，为半圆的直径， 为半圆上一点且 ，，分别为，的中点，弦分别交，于点， ．若 ，则 ____． 15 （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第15题图） 【解析】如图，连结，分别交，于点，， 分 别为，的中点,垂直平分，垂直平分 , ,,.又为半圆 的直 径，, ， ， 四边 形是矩形， , , ,，，， 都是等腰直角三角形.，, 设 ，则，由勾股定理可得, , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 , , , .又，，解得 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16.[2024浙江湖州吴兴区二模，偏难]如图，在中， ， ，，为边上一点，且，过点作，交 于 点，连结，若，则 的值为__． （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【解析】如图，过点作于点， ， （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 ，， ， ， ， ，.，.设，则 ，由勾股 定理得，即，， ， . ， ， ， ， ，，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 上分点拨 已知三角函数值的使用 要运用已知的三角函数值，一是可以构造直角三角形，将已知三角函数值放入直 角三角形中研究；二是可以转化角，将已知角转化为在直角三角形中的相等角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.[2025浙江宁波镇海区校级开学]（本小题满分6分）求下列各式的值： （1） ； 【解】原式 …………（2分） .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2） ． 【解】原式 …………（5分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 18.[2025浙江杭州拱墅区校级月考]（本小题满分8分）如图， 在中，是边上的高，， ， ． （1）求 的值； 【解】在中，， ， ，…………（1分） ，…………（2分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）求 的面积． 【解】， ，…………（5分） . ， ，…………（6分） ，…………（7分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 19.新情境[2024浙江宁波一模]（本小题满分8分）舞蹈《只此青绿》惊艳世界.舞 者“青绿腰”这一动作，引得观众争相模仿，图（1）是其平面示意图．若舞者上半 身为1.1米，下半身为0.6米，下半身与水平面的夹角 ，与上半 身的夹角（参考数据：， ， ） 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （1）求舞者的垂直高度 约为多少米． 图（1） 【解】如图（1），过点作于点，作于点 ， . 由题意得， . ， . ， . 在中， 米， （米）.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 在中，米， （米），…………（4分） （米）. 答：舞者的垂直高度 约为0.938米. …………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）如图（2），下半身与水平面的夹角不变，当与 在同一直线上时，舞者 的垂直高度较图（1）中增加了多少米？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 图（2） 【解】如图（2），过点作于点 ， . ， .在 中， （米）， （米），………… （7分） （米）. 答：舞者的垂直高度较图（1）中增加了0.66米．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 图（1） 20.新定义[2025浙江温州鹿城区校级月考]（本小题满分8分）我们定义： 等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记做 ）．如图（1）， 在中，，顶角的正对记做，． 根据上述正对的定义，解答下列问题： （1） __________________； 1…………（2分） 【解析】 顶角为 的等腰三角形是等边三角形， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）如图（2），在中，，若，求 的值； 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 图（1） 【解】如图（1）所示，作于点 . 中，， ， 设， . ， ， ,…………（4分） .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （3）［中］如图（3），在中， ，若，则 _ ___________________． …………（8分） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 图（2） 【解析】如图（2）所示，在上截取，过点 作 于点，连结.在中， ， ，设，，则 , , ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 21.[2025浙江宁波鄞州区开学]（本小题满分10分）如图，是平行四边形 的 对角线的交点，，，分别是，，的中点．连结， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （1）求证：四边形 是矩形； 【证明】,分别是, 的中点， , . 四边形为平行四边形,，, .…………（2分） 是的中点，，, 四边形 是平行四边 形.…………（4分） 又，是中点， , 四边形 是矩形.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （2）［中］若，，求 的值． 【解】延长交于，如图.由（1）可知， , ， . ， .…………（6分） ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 ，…………（7分） ， ， .…………（9分） ， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.跨学科问题[2024浙江模拟]（本小题满分12分）我们在科学课中学过，光从空 气射入水中会发生折射现象（如图（1）），记入射角为 ，折射角为 ，我们 把 称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图（2）， 图形为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从 处发射光线，点，，恰好共线，此时 ．往容器内注水，当水面 到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得． 参考数据：，， 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 （1）求容器的高度 ． 【解】，，， .…………（2分） 故容器的高度约为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 （2）［中］求水的折射率 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 【解】如图，过点作于点，反向延长于点 ， ． 由题意得， ， ． , , ,…………（5分） .…………（6分） , .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （3）［偏难］若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图（3），当光斑移 动到的三等分点处时，求水面上升的高度 .（结果精确到 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 【解】， , ．由题意得 ， .…………（8分） 由题意得， , ，即 ,…………（10分） .…………（11分） 故水面上升的高度约为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$