14.1 全等三角形及其性质学案2025-2026学年沪科版八年级数学上册

14.1 全等三角形及其性质 一、主要知识点 知识点1 全等图形的认识 概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 【例1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【例2】如图，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，CD＝6，AD＝3．若四边形OPCE≌四边形ABCD，则PD的长为　 【解答】解：∵四边形OPCE≌四边形ABCD，BC＝10， ∴BC＝PC＝10． ∵CD＝6， ∴PD＝PC﹣CD＝10﹣6＝4． 知识点2 全等三角形的表示法及对用元素 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.△ABC≌△FDE 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 寻找对应元素的规律：1. 有公共边的，公共边是对应边； 2. 有公共角的，公共角是对应角； 3. 有对顶角的，对顶角是对应角； 4. 两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； 5. 两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. 【例3】如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为（　　） A．80° B．70° C．65° D．50° 【解答】解：∵图中的两个三角形全等， ∴∠E＝∠B＝180°﹣45°﹣65°＝70°， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【例4】如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝40°，∠F＝26°，则∠DEF的度数为　 【解答】解，∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝40°， ∵∠F＝26°， ∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣40°﹣26°＝114°． 知识点3 全等三角形的性质 如果两个图形全等，它们的形状相同，大小相等 ！ ∵△ABC≌△FDE ∴A B=F D，A C=F E，B C=D E（全等三角形对应边相等） ∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E（全等三角形对应角相等） 【例5】如图，△ABC≌△BDE，若AB＝12，DE＝5，BE＝13，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：∵△ABC≌△BDE， ∴BD＝AB＝12，BC＝DE＝5， ∴CD＝BD﹣BC＝7． 故选：C． 【例6】如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10 设∠A＝3x°，则∠ABC＝5x°，∠ACB＝10x° 3x+5x+10x＝180 解得x＝10 则∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100° ∴∠BCN＝180°﹣100°＝80° 又△MNC≌△ABC ∴∠ACB＝∠MCN＝100° ∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20° ∴∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4 故选：D． 【例7】如图，△ABC≌△AEF，则对于结论：①AC＝AF，②∠E＝∠B，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确的结论是 　 　 （填序号）． 【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AC＝AF，∠E＝∠B，EF＝BC，∠BAC＝EAF， ∴∠EAB＝∠FAC， ∴其中正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 二、巩固练习 1.下列图形中，属于全等图形的一对是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项B中的两个图形的形状一样，大小相等， ∴该选项中的两个图形是全等形， 故选项B符合题意； 选项C中的两个图形形状一样，但大小不相等， 选项A，D中的两个图形不是全等形， 故选项A，C，D不符合题意． 故选：B． 2.如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝（　　） A．8 B．或6 C．10 D．或6 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴3x﹣2＝5，2y﹣1＝7或3x﹣2＝7，2y﹣1＝5， 解得：x，y＝4或x＝3，y＝3， 则x+y或6， 故选：D． 3.如图，这两个三角形全等，若图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【解答】解：∵这两个三角形全等， ∴∠1＝180°﹣70°﹣50°＝60°． 故选：B． 4.如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝5cm，BD＝8cm，则DE等于（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 【解答】解：∵△ABC≌△CDE，AB＝5cm，BD＝8cm， ∴BC＝DE，CD＝AB＝5cm， ∵点B、C、D在同一直线上， ∴BC＝BD﹣CD＝8﹣5＝3（cm）， ∴DE＝BC＝3cm， 即DE的长为3cm， 综上所述，只有选项A正确，符合题意． 故选：A． 5.如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，DE与AC交于点F，若∠FCD＝∠FDC，则下列结论中错误的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE B．AE∥BC C．∠B+2∠E+∠DAC＝180° D．AD＝AF 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，BC＝DE，AC＝AE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE（等量代换），所以结论A正确，不符合题意； ∵∠FCD＝∠FDC， ∴∠E＝∠FDC， ∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），所以结论B正确，不符合题意； ∴∠B+∠BAE＝180°，∠E＝∠FDC＝∠C＝∠FAE＝∠BAD， ∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠CAE＝180°， ∴∠B+2∠E+∠DAC＝180°，所以结论C正确，不符合题意； 根据已知条件不能证明∠AFD＝∠ADF， ∴AD＝AF不成立，所以结论D错误，符合题意； 故选：D． 6.如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝4：3，则∠DBC的度数为（　　） A．12° B．18° C．24° D．36° 【解答】解：∵∠A：∠C＝4：3， ∴设∠A＝4x°，∠C＝3x°， ∴∠ABC＝180°﹣4x°﹣3x°＝180°﹣7x°， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBC，AB＝BD， ∴∠CBE＝∠ABD， ∵AB＝DB， ∴∠ADB＝∠A＝4x°， ∴∠ABD＝180°﹣4x°﹣4x°＝180°﹣8x°， ∴∠CBE＝180°﹣8x°， ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴180°﹣7x°+180°﹣8x°＝180°， ∴x＝12， ∴∠DBC＝∠ADB﹣∠C＝x°＝12°． 故选：A． 7.如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 【解答】解：如图，则∠1＝90°，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°， ∴∠1﹣∠2﹣∠3＝90°﹣45°＝45°， 故选：B． 8.题目：“如图，AE与BD相交于点C，且△ACB≌△ECD，AB＝6cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以4cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．”对于其答案，甲答：1.2s，乙答：2s，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【解答】解：∵△ACB≌△ECD， ∴AB＝DE＝6cm，AC＝EC，∠A＝∠E， 在△ACP和△ECQ中， ， ∴△ACP≌△ECQ（ASA）， ∴AP＝QE， 当P点由A点运动到B点时，4t＝6﹣t， 解得t＝1.2（s）； 当P点由B点运动到A点时，12﹣4t＝6﹣t， 解得t＝2（s）； 综上所述，t的值为1.2或2s． 故选：C． 9.如图，在四边形ABED中，点C在边AD上，连接BC，BD．已知△ABC≌△DBE，若DE＝3，AD＝10．记S1＝S△BCD，S2＝S△ABC+S△DBE，则S1和S2的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定 【解答】解：过点B作BH⊥AD，交AD于点H，如图： ∵△ABC≌△DBE， ∴AC＝DE＝3，S△ABC＝S△DBE， ∴， ∵AC＝3，AD＝10， ∴CD＝AD﹣AC＝10﹣3＝7， ∴， ∴S1＞S2， 故选：A． 10.如图，△ABC≌△ADE，若AB＝8，AC＝4，则BE的长为　 　 ． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE（已知）， ∴AC＝AE． ∵AC＝4， ∴AE＝4． ∵AB＝8， BE＝AB﹣AE＝8﹣4＝4． 即BE的长为4， 故答案为：4． 11.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为 　 　 ． 【解答】解：如图， 根据三角形内角和可得∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°， 因为两个全等三角形， 所以∠1＝∠2＝70°， 故答案为：70°． 12.如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝65°，∠D′＝105°，则∠A′＝　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，∠D′＝105°， ∴根据全等图形的性质得，∠A＝∠A′，∠D＝∠D′＝105°， ∵∠B＝90°，∠C＝65°， ∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣90°﹣65°﹣105°＝100°， ∴∠A′＝100°． 所以∠A的度数为100°． 故答案为：100°． 13.如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1+∠2＝　　 °． 【解答】解：根据题意得：△AEC≌△BDA， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案为：90． 14.如图，已知△ABC≌△ADE，且BC⊥AD垂足为G，延长BC交DE于点F，若∠EAB＝118°，∠ACG＝78°，则∠DFG＝ 　　 °． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D， ∴∠BAG＝∠CAE， ∵BC⊥AD， ∴∠AGC＝90°， ∴∠CAG＝90°﹣∠ACG＝90°﹣78°＝12°， ∵∠EAB＝118°， ∴∠BAG+∠CAE＝118°﹣12°＝106°， ∴∠BAG106°＝53°， ∵∠DGF＝∠AGB，∠D＝∠B， ∴∠DFG＝∠BAG＝53°． 故答案为：53． 15.已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，求x的值． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴2x+1＝7，3x+1＝10， ∴x＝3． 16.如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DAE， ∴∠D＝∠CAB， ∴AB∥DE； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝ED＝3，AB＝AD， ∵AD＝AC+CD＝4+3＝7， ∴AB＝7． 17.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠ACB，DE＝AB＝8， ∴DH＝DE﹣EH＝8﹣2＝6， ∵∠A＝85°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°， ∴∠F＝∠ACB＝35°； （2）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴AB∥DE． 18.如图，点D和点C在线段BE上，△ABC≌△FED． （1）求证：BD＝EC； （2）判断线段AD与FC的关系并证明． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△FED， ∴BC＝ED， ∴BC﹣DC＝DE﹣DC， ∴BD＝EC； （2）解：AD∥FC，AD＝FC，理由如下： ∵△ABC≌△FED， ∴∠B＝∠E，AB＝FE， 由（1）知BD＝EC， ∴△ABD≌△FEC（SAS）， ∴AD＝FC，∠ADB＝∠ECF， ∵∠ADC+∠ADB＝∠DCF+∠ECF＝180°， ∴∠ADC＝∠DCF， ∴AD∥FC． 19.如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长BE交AC于点F，且△ACD≌△BED． （1）若BC＝11，AD＝8，求CD的长度； （2）求证：∠AFE＝90°； （3）若S△BCF＝20，S四边形CFED＝8，则S△AEF＝ 　　 ． 【解答】（1）解：∵△ACD≌△BED， ∴BD＝AD＝8， ∴CD＝BC﹣BD＝11﹣8＝3； （2）证明：∵△ACD≌△BED， ∴∠ADC＝∠BDE，∠CAD＝∠DBE， ∵∠ADC+∠BDE＝180°， ∴∠ADC＝∠BDE＝90°， ∵∠AEF+∠AFE+∠EAF＝∠BED+∠BDE+∠DBE， 而∠AEF＝∠BED， ∴∠AFE＝∠BDE＝90°； （3）解：∵S△BCF＝20，S四边形CFBD＝8， ∴S△BDE＝S△BCF﹣S四边形CFED＝12， ∵△ACD≌△BED， ∴S△ACD＝S△BED＝12， ∴S△AEF＝S△ACD﹣S四边形CFED＝12﹣8＝4． 故答案为：4． 20.如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ 　　 ． （2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值． 【解答】解：（1）∵AC＝6， ∴点P从点C出发到达点A时所用的时间为：6÷2＝3（秒）， ∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒， ∵AB＝10，BD＝8， ∴BD+AB＝18， ∴点Q运动的时间为：x＝18÷3＝6， 故答案为：6； （2）依题意得：AP＝2t﹣6，DQ＝x t， ∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QB＝BD﹣DQ＝8﹣xt， ∵∠CAB＝∠DBA＝α， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ， 由AC＝BP，得：6＝16﹣2t， 解得：t＝5， 由AP＝BQ，得：2t﹣6＝8﹣xt， ∵t＝5， ∴2×5﹣6＝8﹣5x， 解得：x＝0.8； ②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP， 由AP＝BP，得：2t﹣6＝16﹣2t， 解得：t， 由AC＝BQ，得：6＝8﹣xt， ∵t， ∴， 解得：x， 综上所述：当△ACP与△BPQ全等，x的值为0.8或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1 全等三角形及其性质 一、主要知识点 知识点1 全等图形的认识 概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 【例1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【例2】如图，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，CD＝6，AD＝3．若四边形OPCE≌四边形ABCD，则PD的长为　 知识点2 全等三角形的表示法及对用元素 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.△ABC≌△FDE 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 寻找对应元素的规律：1. 有公共边的，公共边是对应边； 2. 有公共角的，公共角是对应角； 3. 有对顶角的，对顶角是对应角； 4. 两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； 5. 两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. 【例3】如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为（　　） A．80° B．70° C．65° D．50° 【例4】如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝40°，∠F＝26°，则∠DEF的度数为　 知识点3 全等三角形的性质 如果两个图形全等，它们的形状相同，大小相等 ！ ∵△ABC≌△FDE ∴A B=F D，A C=F E，B C=D E（全等三角形对应边相等） ∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E（全等三角形对应角相等） 【例5】如图，△ABC≌△BDE，若AB＝12，DE＝5，BE＝13，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【例6】如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 【例7】如图，△ABC≌△AEF，则对于结论：①AC＝AF，②∠E＝∠B，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确的结论是 　 　 （填序号）． 二、巩固练习 1.下列图形中，属于全等图形的一对是（　　） A． B． C． D． 2.如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝（　　） A．8 B．或6 C．10 D．或6 3.如图，这两个三角形全等，若图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 4.如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝5cm，BD＝8cm，则DE等于（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 5.如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，DE与AC交于点F，若∠FCD＝∠FDC，则下列结论中错误的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE B．AE∥BC C．∠B+2∠E+∠DAC＝180° D．AD＝AF 6.如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝4：3，则∠DBC的度数为（　　） A．12° B．18° C．24° D．36° 7.如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 8.题目：“如图，AE与BD相交于点C，且△ACB≌△ECD，AB＝6cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以4cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．”对于其答案，甲答：1.2s，乙答：2s，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 9.如图，在四边形ABED中，点C在边AD上，连接BC，BD．已知△ABC≌△DBE，若DE＝3，AD＝10．记S1＝S△BCD，S2＝S△ABC+S△DBE，则S1和S2的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定 10.如图，△ABC≌△ADE，若AB＝8，AC＝4，则BE的长为　 　 ． 11.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为 　 　 ． 12.如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝65°，∠D′＝105°，则∠A′＝　 　 ． 13.如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1+∠2＝　　 °． 14.如图，已知△ABC≌△ADE，且BC⊥AD垂足为G，延长BC交DE于点F，若∠EAB＝118°，∠ACG＝78°，则∠DFG＝ 　　 °． 15.已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，求x的值． 16.如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 17.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 18.如图，点D和点C在线段BE上，△ABC≌△FED． （1）求证：BD＝EC； （2）判断线段AD与FC的关系并证明． 19.如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长BE交AC于点F，且△ACD≌△BED． （1）若BC＝11，AD＝8，求CD的长度； （2）求证：∠AFE＝90°； （3）若S△BCF＝20，S四边形CFED＝8，则S△AEF＝ 　　 ． 20.如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ 　　 ． （2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$