卷6 第二十三章 旋转 上分专题（四） 旋转中的常见模型-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（人教版）

数 学 九年级上册 人教版 1 2 3 编者按：先做基础诊断（A卷）检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补 足短板，最后做提优验收（B卷）综合提升 4 上分专题（四） 旋转中的常见模型 5 类型1 特殊旋转角构造特殊三角形 类型2 旋转 将线段或角集中在一起 类型3 半角模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 类型1 特殊旋转角构造特殊三角形 母题学方法 上分攻略 根据旋转前后线段相等，可得等腰三角形；若旋转 ，则构成等边三角形；若 旋转 ，则构成等腰直角三角形. 1.［2025陕西西安月考］如图，点是等边 内一点， .将绕点按顺时针方向旋转 得 ，连接 . （1）求证： 是等边三角形. 【证明】 将绕点顺时针旋转 得到， ， ， 是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 （2）当 时，，，求 的长. 【解】 将绕点顺时针旋转 得到， ， ，.又 是等边三角形， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 8 子题练变式 2.［2025陕西西安月考］如图，在中， ， ，是边上一点，将线段绕点逆时针旋转 得到，连接， . （1）求证： . 【证明】 将线段绕点逆时针旋转 得到， ， ， ， .在和中，， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 9 （2）若，，求 的长. 【解】由（1）得，， . ， ， ， ， ， ， 在中， . 1 2 3 4 5 6 10 类型2 旋转 将线段或角集中在一起 母题学方法 上分攻略 将一个图形旋转 ，可构造中心对称图形，此类题通常可利用平行四边形或全 等三角形的知识解答. 3.［2025山东枣庄月考］如图，中，，，分别是边， 的 中点.将绕点旋转 ，得 . 1 2 3 4 5 6 11 （1）判断四边形 的形状，并证明. 【解】四边形是菱形，证明如下：,分别是边, 的 中点，,即.又绕点旋转 后得 ，，， 四边形 是平行四边 形.又，是的中点，， 四边形 是菱形. 1 2 3 4 5 6 12 （2）连接，，已知，，求四边形 的面积. 【解】如图，设与交于 四边形为菱形，， ， .设，，则，， ， ，， 四边形 的面积为 . 1 2 3 4 5 6 子题练变式 4.［2025湖南怀化期中，偏难］ （1）阅读理解：如图（1），在中，若， ，求 边上的中线 的取值范围. 解决此问题可以用如下方法：将绕点旋转 得到 ， 把，，集中在 中，体现了转化与化归的数学思想， 利用三角形三边的关系即可解决问题. 请根据上述方法解决问题. 1 2 3 4 5 6 14 【解】将绕点旋转 得到，则， .在 中，由三角形的三边关系得 ， ，即， . 1 2 3 4 5 6 15 （2）问题解决：如图（2），在中，是 边上的中 点，，交于点，交于点，连接 ， 求证： . 【证明】 点是边上的中点, 将绕点旋转 得 到,点的对应点为点,点的对应点为点,如图，则 ， ，.连接.又，.在 中，由三角 形的三边关系得 ， . 1 2 3 4 5 6 16 类型3 半角模型 母题学方法 上分攻略 半角模型特征：①共端点的等线段；②共顶点的倍（半）角. 通过旋转或作辅助线可以构造全等三角形. 常见的半角模型有 角含 角和 角含 角. 5.如图，点，分别在正方形的边，上， ，连接 ，求 证： . 1 2 3 4 5 6 18 【证明】 四边形为 正方形， ， ， 1 2 3 4 5 6 19 如图，把绕点逆时针旋转 至，可使与 重合， ， ， ， ， ， ， ，即点，， 共线.在 和中， ， ， . 1 2 3 4 5 6 20 子题练变式 6.旋转变换是解决数学问题的一种重要思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件 集中到一起，从而便于解决问题.已知中，， ，点， 在边上（不与，重合），且 . 如图，当 时，将绕点顺时针旋转 到的位置，连接 . 1 2 3 4 5 6 21 （1） __________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. （2）求证： . 【证明】由旋转知，由（1）知 .又 ， ， . 【解】由旋转知 ， ， ， ， 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 22 $$