卷6 第三章 概率的进一步认识 综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 卷6 第三章综合检测卷 考查内容：概率的进一步认识 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.［2024广西梧州一模］在一个不透明的布袋中装有1个黑球，2个白球，3个红球， 每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是( ) B A. B. C. D. 【解析】 不透明的布袋中装有1个黑球，2个白球，3个红球，每个球除颜色外都 相同， 共有6个球， 从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是 ．故选B. 时间： 满分：120分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6 2.［2024湖北武汉中考］经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右 转，这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转 的概率是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7 【解析】列表如下： 直行 左转 右转 直行 （直行，直行） （直行，左转） （直行，右转） 左转 （左转，直行） （左转，左转） （左转，右转） 右转 （右转，直行） （右转，左转） （右转，右转） 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中至少有一辆车向右转的结果有5种， 至少有一辆车向右转的概率为 .故选D. 上分点拨 概率的计算 计算“至少一辆车向右转”的概率时，也可以通过计算 “每一辆车都不向右转”的 概率,得出结果. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8 3.传统文化［2025河南周口月考］如图，小明 珍藏了四枚由国家邮政局1999年发行的《中国 陶瓷——钧窑瓷器》特种邮票，上面分别绘有 A A. B. C. D. “北宋·出戟尊”“北宋·尊”“元·双耳炉”和“元·双耳连座瓶”的图案．这些邮票除图案 外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两 枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“北 宋·尊”和“元·双耳炉”的概率是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9 【解析】把分别绘有“北宋·出戟尊”“北宋·尊”“元·双耳炉”和 “元·双耳连座瓶”图案的4枚邮票分别记为A、B、C、D，画 树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的邮票正好是“北宋·尊”和“元·双耳炉”的结 果有2种， 小亮抽到的邮票正好是“北宋·尊”和“元·双耳炉”的概率是 ．故选A. 上分总结 画树状图法或列表法求事件的概率 用画树状图法或列表法求事件的概率时，要根据情况选用合适的方法：（1）当试 验涉及两个因素时，可以用列表法也可以用画树状图法，当结果数目较多时，用 列表法较简便；（2）当试验涉及三个或三个以上因素时，应采用画树状图法.用画 树状图法或列表法求事件的概率的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果， 求出所关注的事件包含的结果数，该结果数与总结果数的比值就是所求事件的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10 4.［2024浙江宁波期中］如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果， 随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近波动，显示出一定的 稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是( ) A A.0.618 B.0.620 C.4 500 D.1 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11 【解析】由题图可知随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近波动， 显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12 （第5题图） 5.跨学科试题［2025广东汕尾月考］如图，电路图上有四 个未闭合的开关、一个电源和一个小灯泡，已知电路图上 的每部分都能正常工作，任意闭合其中两个开关，使得小 灯泡发光的概率为( ) A A. B. C. D. 【解析】画树状图如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13 可知共有12种等可能的情况，其中使得小灯泡发光的情况有10种， 小灯泡发光 的概率为 ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14 6.［2025陕西咸阳秦都区一模］在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个， 这些小球除颜色外完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复 上述过程，小林通过大量摸球试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在 ，则口 袋中红色小球的个数为( ) C A.6 B.8 C.10 D.15 【解析】根据题意得，红色小球的个数为 ．故选C. 上分点拨 根据频率确定试验对象个数的方法 经过大量重复试验后，用频率估计出事件的概率，再根据概率的公式求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15 （第7题图） 7.［2024山东东营三模］有四人坐在如图所示的圆桌周围，4个座位 分别记为①②③④．其中甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2 个座位上，则甲、乙两人相对而坐的概率为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16 【解析】列表如下： 甲 乙 ① ② ③ ④ ① ， ， ， ② ， ， ， ③ ， ， ， ④ ， ， ， 由表格可知，一共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人相对而坐的结果有4种， 甲、乙两人相对而坐的概率为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17 8.［2024山东淄博模拟，中］甲袋中装着分别标有数字2，，， 的同材 质、同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“ ”“×”的同材质、同大小的 两个球.先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上 标的数字按乙袋中摸出的球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18 【解析】列表如下： 乘法运算结果 2 2 6 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19 加法运算结果 2 2 0 0 共有24种等可能的结果，其中结果是有理数的有8种， 结果是有理数的概率为 ，故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9.［2025山东济宁期中，中］从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别 记为，，则关于的一元二次方程 有实数根的概率为( ) D A. B. C. D. 【解析】 关于的一元二次方程 有实 数根，，解得 .画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中满足 的结果有2种， 关于的一元二次方程 有实数根的概率为 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21 10.［2024山东东营中考，难］如图，四边形 是平行四边形， 从，， ，这三个条件中任意选取两 个，能使 是正方形的概率为( ) A A. B. C. D. 【解析】列表如下： ① ② ③ ① ， ， ② ， ， ③ ， ， 共有6种等可能的结果，其中能使是正方形的结果有，，， ， ，，，，共4种， 能使是正方形的概率为 ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025江西上饶期末］从6，7，8这三个数中任选两个数，其积为偶数的概率是 ___． 1 【解析】从6,7,8这三个数中任选两个数，有三种情况：6，7；6，8；7， ，，， 积为偶数的概率为 ，故答案为1． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 12.［2024重庆B卷中考］甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景 区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为__. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 24 【解析】根据题意列表如下： 甲 乙 A B C A B C 由表格可得一共有9种等可能的情况，其中他们恰好选择同一景区的情况有3种， 则他们恰好选择同一景区的概率是.故答案为 . 上分心得 列表法求概率 列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步完成的事件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 25 13.［2024浙江温州期中］如图是边长为 的正方形二维码，若想估算出二维码 黑色部分的面积，在正方形区域内随机取100个点，有70个点在黑色部分，则黑色 部分的面积约为_____ ． 17.5 （第13题图） 【解析】黑色部分的面积约为 ，故答案为17.5． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 26 （第14题图） 14.［2025河南驻马店期中］色光三原色是指红、绿、蓝三色．把 这三种色光按一定比例混合可以呈现出各种色光．配色规律如图 所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色）．现小刘、 小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所 选择的色光按一定比例进行混合，可以呈现青色的概率为__． 【解析】根据题意画树状图如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 27 共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种， 呈现青色的概率为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 28 15.［2025山西太原期中，中］如图，①②③④是四个完全相同的三角形，从这四 个三角形中任选两个三角形，则这两个三角形有公共边的概率是__． （第15题图） 【解析】画树状图如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 29 共有12种等可能的结果，其中两个三角形有公共边的结果有6种， 这两个三角形 有公共边的概率是．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 30 16.［2024河南三门峡二模，难］如图是数学活动课上制作的一个转盘，盘面被等 分成四个相同的扇形区域，并分别标有数字，， ，1．若转动转盘两次， 每次转盘停止后指针所指区域的数字分别记为， （指针恰好在分界线上时，需 重新转动转盘），则直线 不经过第四象限的概率是___． （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 31 【解析】列表如下： 第一次 第二次 1 1 共有16种等可能的结果，其中直线不经过第四象限的结果有 ，共1 种， 直线不经过第四象限的概率是．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 32 三、解答题（本大题共5小题，共56分） 17.［2025江苏泰州月考］（8分）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球， 为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将 15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下 颜色，再把它放回袋中，不断重复．将各小组数据汇总后得到的全班数据如下表： 摸球的次数 150 300 600 900 1 200 1 500 摸到红球的次数 123 243 487 725 964 1 203 摸到红球的频率 0.820 0.810 0.812 0.806 0.803 （1） _____________________． 0.802…………（2分） 【解析】 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 33 （2）请估计：当摸球的次数 很大时，摸到红球的频率将会接近______ （精确到 ）；请推测：摸到红球的概率是___________________（精确到 ）． 0.8…………（4分） （3）求口袋中红球的数量． 【解】设口袋中红球的数量为个. 根据题意得 ， 解得 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 34 答：口袋中红球的数量为60个．（8分） 【关键点拨】熟知大量重复试验中用频率估计概率是解题关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 35 18.跨学科试题［2024陕西榆林三模］（10分）化学课上，小莫学习了将二氧化碳 气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A.高锰酸钾制取氧气： B.碳酸钙制取二氧化碳： C.电解水： D.一氧化碳还原氧化铜： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 36 （1）若小莫从四个实验中任意选取一个实验，则实验产生的气体会使澄清石灰水 变浑浊的概率是__； 【解析】 实验B和D产生的气体会使澄清石灰水变浑浊， 实验产生的气体会使 澄清石灰水变浑浊的概率是 ， 故答案为 .（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 37 （2）若小莫从四个实验中任意选取两个实验，请用列表或画树状图的方法，求两 个实验所产生的气体均不能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【解】画树状图如下： …………（6分） 共有12种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均不能使澄清石灰水变浑浊 的结果有2种，…………（8分） 两个实验所产生的气体均不能使澄清石灰水变浑浊的概率为 ．………… （10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 38 【关键点拨】会用列表法或画树状图法求概率是解题关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 39 19.［2025江苏徐州贾汪区月考］（12分）一个不透明的袋子中装有四个小球，上 面分别标有数字， ，0，1，它们除标号外完全相同． （1）随机从袋子中摸出一个小球，直接写出摸出的球上面的标号是负数的概率为 __； 【解析】在， ，0，1中负数有2个， 摸出的球上面的标号为负数的概率是 . 故答案为 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 40 （2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球并记下数字，然后放回搅匀，接着小明从 袋子中随机摸出一个小球并记下数字．若两次数字之积为正数，则小聪获胜；若 两次数字之积为负数，则小明获胜．请判断这种安排是否公平？并说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 41 【解】不公平.…………（3分） 理由：列表如下： 小聪 两数之积 小明 0 1 4 2 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 42 …………（7分） 共有16种等可能的结果，其中数字之积为正数的结果共有5种，数字之积为负数的 结果共有4种， 数字之积为正数的概率为 ，数字之积为负数的概率为 … ………（11分） ， 这种安排不公平．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 【关键点拨】用列表法求得数字之积为正数和数字之积为负数的概率是解题关键． 上分总结 判断游戏公平性问题 （1）判断游戏是否公平，关键是比较每人获胜的概率的大小. （2）对于不公平的游戏，我们应修改或重新设计游戏方案，使游戏对双方公平.修 改方法有两种：①修改游戏规则，使游戏双方获胜的概率相等；②修改游戏工具， 选择或设计使游戏双方获胜的概率相等的游戏工具. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 44 20.新情境［2024江苏南京一模］（12分）如图是“飞行棋”棋盘的一部分，其游戏 规则如下： 在某局游戏的过程中，一枚棋子刚好停在A处． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 45 （1）掷1次骰子，移动后该棋子到D处的概率是__________________； …………（2分） 【解析】由题意知，掷1次骰子，只有当点数为4时，移动后该棋子到D处， 掷1 次骰子，移动后该棋子到D处的概率是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 46 （2）［中］掷2次骰子，求移动后该棋子恰好到 处的概率． 【解】列表如下： 第1次 第2次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 47 …………（6分） 共有36种等可能的结果，其中移动后该棋子恰好到处的结果有， ， ，， ，共5种，…………（11分） 移动后该棋子恰好到处的概率为 ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 【关键点拨】准确理解飞行棋移动规则是解题关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 49 21.［2024山东济南期中］（14分）某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付 方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾 客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信 息解答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 50 （1）随机调查的顾客有_____人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心 角的度数为_____________________． 200 …………（4分） 【解析】这次活动共调查了 （人），在 扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为 ，故答案 为200， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 51 【思路分析】用“支付宝”“现金”及“其他”支付方式的人数和除以<m></m>“银行卡”支付 所占百分比-“微信”支付所占百分比<m></m>可得总人数；用<m></m> 乘“现金”支付人数所占 百分比即可求解； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 52 （2）［中］将条形统计图补充完整． 【解】“微信”支付的人数为 ，“银行卡”支付的人数为 . 补全条形统计图如下： …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 53 【思路分析】分别求出“微信”支付和“银行卡”支付的人数，再将条形统计图补充 完整即可； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 54 （3）［中］若该商场有1 800名顾客，请你估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付 宝”支付． 【解】最喜欢“支付宝”支付的有 （名）. 答：估计该商场有405名顾客最喜欢“支付宝”支付.…………（10分） 【思路分析】用总人数乘对应百分比可得最喜欢“支付宝”支付的人数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 55 （4）［难］在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付 方式中选择一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择 同一种支付方式的概率． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 56 【解】将“微信”支付记为A、“支付宝”支付记为B、“银行卡” 支付记为C. 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种， 两人 恰好选择同一种支付方式的概率为 ．…………（14分） 【思路分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与 两人恰好选择同一种支付方式的结果，再利用概率公式即可求得答案． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$