卷4 第二章 一元二次方程 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 卷4 第二章提优验收卷（B卷） 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.［2025河南濮阳校级月考］若关于的方程 是一元二次方程， 则 的值是( ) B A.2 B. C.2或 D.0 【解析】 关于的方程是一元二次方程， 解得 ，的值为 ．故选B. 时间： 满分：120分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.［2025河北保定校级月考］根据下表可以确定关于的方程 的解 的取值范围是( ) … … 4 5 6 … … 13 5 … 5 13 … D A. B.或 C.或 D.或 【解析】由表格数据可知，和5时，， 和4时， ， 关于的方程 的解的取值范围是 或 ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.［2025山东德州期末］已知是关于的一元二次方程 的一 个根，则 的值为( ) B A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】根据题意，把代入，得 ，即 ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.新考法［2025安徽宿州月考］老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式解一元 二次方程.规则是每人只能看到前一人传过来的式子，完成一步计算后交给下一位 同学， ，依次进行，最后完成计算．如图，接力中自己负责的一步出现错误的 是( ) C A.小明 B.小丽 C.小红 D.小亮 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 【解析】，方程左右两边同时除以2可得 ， 故小明负责的一步正确；由等式的基本性质可得 ，故小 丽负责的一步正确；所以， ， ，故小红负责的一步出现错误；解,得 , ,故小亮负责的一步正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.［2025江西吉安校级月考］2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运 动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式.据了解，本次比赛采用单循环赛 制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，那么一共有多 少支球队参加比赛？设一共有 支球队参加比赛，根据题意可列方程是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意，得 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.［2024黑龙江绥化中考］小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小 影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程 中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和 ．则原来的方程是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】设原来的方程为.由题意，得 ， ，所以， ，所以原来的方程为 ，则 ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.［2025江苏南京鼓楼区校级月考，中］若关于的方程，其中 在数轴上的位置如图所示，则此方程的根的情况是( ) C （第7题图） A.无法确定 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 【解析】由题意，得.由数轴，得，， 方程有两个不相等的实数根，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第8题图） 8.［2025内蒙古赤峰期中，中］如图是一个三角点阵，从上向 下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点， ， 第行有个点，则前 行的点数之和不可能是( ) B A.55 B.95 C.78 D.120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】由题意得前行的点数之和为.若前 行的 点数之和为55，则，解得或 （舍），所以前10行的 点数之和为55，故A选项不符合题意；若前 行的点数之和为95，则 ，解得，不是整数，所以不存在前 行的点数之和 为95，故B选项符合题意；若前行的点数之和为78，则 ，解得 或 （舍），所以前12行的点数之和为78，故C选项不符合题意；若 前行的点数之和为120，则，解得或 （舍），所 以前15行的点数之和为120，故D选项不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9.［2024浙江宁波模拟,中］如图，在中，已知 ， ， .以点为圆心，长为半径画圆弧，交于点；以点为圆心， 长 为半径画圆弧，交于点，连接,则下列线段的长一定是关于 的一元二次方 程 的一个根的是( ) A （第9题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】 ，， ， ， ， ，解得，, 线段 的长是关于的一元二次方程 的一个根.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 10.新定义试题［2025四川成都校级月考,难］若关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方 程为“倍根方程”．下列关于“倍根方程”的说法：①方程 是“倍根方 程”；②若，满足，则关于的方程 是“倍根方程”；③若 关于的方程是“倍根方程”，则 ,其中正 确的个数为( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】 ① ，，或 ，解得 ，， 方程 不是“倍根方程” 错 误 ② ，，解得 ， ，， 关于的方程 是“倍 根方程” 正 确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 ③ 由,得,. 是“倍根方 程”，或.当时， ，此时 ;当时， ，此时 正 确 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025北京海淀区期中］将关于的一元二次方程 化成 的形式，则 ___． 2 【解析】，， 将关于 的 一元二次方程化成的形式，， ， ，， ，故答案为2． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 12.开放性试题［2024吉林四平一模］请填写一个常数，使得关于 的方程 _________________ 有两个不相等的实数根． 1（答案不唯一） 【解析】设常数为，，且关于 的方程有两个不相等的实数根， ， ．故答案为1（答案不唯一）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 13.跨学科问题［2025广东梅州五华期中］如图，根据物理学规律，如果把一个物 体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位： ） 为．根据物理学规律，物体经过_____ 落回地面．（结果保留小数点 后两位） 2.45 【解析】根据物体落回地面，可得，解得 （舍）， ，因此物体经过 落回地面．故答案为2.45． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.［2025广东深圳南山区期中］设，是一元二次方程 的 两个根，则 的值为_______． 【解析】,是一元二次方程的两个根， ， ，．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 15.［2025安徽合肥模拟，偏难］小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方 式让更多人注意到，设计了如下转发规则：小夏将倡议书发表在自己的微博上， 然后邀请自己的个好友转发，每个好友转发后，各自又邀请 个互不相同的好友 转发.已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则 的值为____． 12 【解析】依题意，得，解得， （不合题意，舍 去）．故答案为12． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 16.［2025浙江宁波月考，难］通过下列方法可将 转化为方程 ，我们规定：方程为 的还原方程． . 去分母，得 , 移项，得 , 两边平方，得 , 整理，得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （1） 的还原方程是_______________． 【解析】，去分母，得，移项，得 ，两边平方， 得，整理，得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）若，则代数式 ___． 5 【解析】，移项，得，两边平方，得 ，整理， 得， ， ， ． 故答案为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025北京西城区月考］（8分）解方程： （1） ． 【解】，，， ， ， 解得， .…………（4分） （2） . 【解】，，或 ，解得 ， .…………（8分） 【关键点拨】灵活选择解一元二次方程的方法，并准确计算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 18.［2025福建厦门思明区校级期中］（10分）已知关于 的一元二次方程 ，其中， 是常数． （1）若 ，试判断该一元二次方程根的情况. 【解】 ， …………（2分） ， ，即 ，…………（4分） 该一元二次方程有两个不相等的实数根.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点在直线上，求 的值． 【解】根据题意，得 0. 点关于原点的对称点为 ， ，即 .…………（7分） 把代入，得 ， 整理得 ， 解得，故 的值为4．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 【关键点拨】熟记一元二次方程根的判别式、关于原点对称的点的坐标特征和一 次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 19.新考法［2025山东日照期末］（10分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的 任务. 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现 在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学 家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程正数解的几何解 法．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．例如：解方程 ，即 ，首先构造如图（1）所示的图形，图中大正 方形的面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为 ，中 间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为 ，据此可得 原方程的正数解为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 图（1） 图（2） 任务： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （1）参照上述方法，下列三个构图 （每个小方格的边长均为1）中能够得到方程 的正数解的是_____________ ______（填序号）． ②…………（2分） 【解析】首先构造面积是 的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分 别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为 ，， 原方程的正数解为 ，故正确构图 为②．故答案为②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）［中］如图（2），在边长为1的小正方形组成的网格中设计出正确的构图求 方程 的正数解.（写出必要的思考过程） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【解】首先构造如图所示的图形， …………（6分） 图中大正方形的面积是 ，其中四个全等的小矩形面积分别为 ，中间的小正方形面积为 ， 大正方形的面积又可表示为 ， ， 原方程的正数解为 ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 【思路分析】仿照材料构图，图中大正方形面积是 ，其中四个全等的 小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为 ，即可解决问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 20.［2025安徽阜阳期末］（12分）如图，学校在教学楼后面规 划出一片区域用于搭建矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后 墙（可利用墙长为），中间及其他的边用总长为 的不 锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 的出口后，不锈钢栅栏状 （1）车棚长度为_________________________ . …………（2分） 【解析】由题意可知， ，故答案为 . 如“山”字．设车棚宽度为.（备注：距院墙 处，规划有机动车停车位） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）若车棚面积为 ，试求出车棚的长和宽． 【解】由题意得 ，…………（4分） 整理得，解得， （不符合题意，舍 去），…………（6分） . 答：车棚的长为<m></m>，宽为<m></m>.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （3）［中］若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为 的 自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【解】不能围成面积为 的自行车车棚.…………（8分） 理由如下：由题意得 ， 整理得 .…………（10分） ， 原方程无实数根， 不能围成面积为 的自行车车棚．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【关键点拨】找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 21.［2025河北衡水期中］（12分）某运动品牌店销售一款运动鞋， 已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能 售出200双.经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量 （双）与降低的价格 （元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出与 的函数关系式. 【解】由题设与的函数关系式为 .由题图可知其函数图象经过 点和 ， 将其代入，得 解得与的函数关系式为 …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （2）［中］若该店希望平均每天获得的利润达到8 910元，且优惠力度最大，则 每双运动鞋的售价应该定为多少？ 【解】由题意得 ， 整理得 ， 解得， .（5分） 当时，售价为 （元）； 当时，售价为 （元）. 优惠力度最大， 每双运动鞋的售价应该定为87元.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （3）［难］为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的 ，公司每天能否获得 9 000元的利润？若能，请求出每双运动鞋的售价；若不能，请说明理由． 【解】公司每天能获得9 000元的利润.…………（10分） 要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的 ， ， 解得， . 依题意，得 ， 整理得，解得 , （元）， 当每双运动鞋的售价为90元时，公司每天能获得9 000元的利润，且每双运动鞋 的利润不低于成本价的 ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【关键点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用和一元一次不等式的应用，根 据题意列出一元二次方程及一元一次不等式是解题关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 22.［2025广西月考］（14分）如图，在中， ， ， ．点从点开始沿边向点以的速度运动，与此同时，点 从 点开始沿边向点以的速度运动，当点运动到点 时，两点都停止运 动，设运动时间为 ． （1）填空：___，_______________________．（用含 的代数式表示） …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （2）［中］当的值为多少时，的面积等于 ？ 【解】由题意得,解得 当点运动到点 时，两点都停止运动， . 由题意得 ， ，解得， （不合题意，舍去）， 当的值为1时，的面积等于 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 （3）［难］是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的 ？如果 存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由． 【解】存在. 四边形的面积等于面积的， 的面积等于 面积的 ， ， ， 解得或.当时，；当时，，此时点 与点 重合，不合题意，舍去. 综上，的值为2时，四边形的面积等于面积的 ．…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 【关键点拨】本题考查了一元二次方程在三角形动点问题中的应用,正确理解题意 是解题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 $$