卷3 第二章 一元二次方程 上分专题（3） 根的判别式和根与系数的 关系的综合应用-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 上分专题（三） 根的判别式和根与系数的 关 系的综合应用 重难上分 攻克难点 4 类型1 求方程中字母的值 类型2 解决存在性问题 类型3 解决几何问题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 求方程中字母的值 母题学方法 上分攻略 1.［2024北京东城区二模］若关于的一元二次方程 的两 个实数根的差等于2，则实数 的值是_______． 3或 【解析】由题意可知方程 有两个不相等的实数根， ，解得.设关于 的一元二次方程 的两个实数根为，，则 ， ，， ， ，，， ，解得 或．故答案为3或 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 7 子题练变式 2.［2025河北石家庄裕华区校级月考，中］已知关于 的一元二次方程 ． （1）若方程有两个不相等的实数根，则 的范围为______． 【解析】 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （2）若，是这个方程的两个实数根，且，则 _____． 【解析】,是关于的一元二次方程 的两个实数根， ，, , ，，即 ，解 得.故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.［2024北京顺义区期末］已知关于的一元二次方程 . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根. 【证明】， 方程总有两个不相等的实数根. （2）若方程的一个根是1，求 的值及方程的另一个根. 【解】设方程的另一个根为.由根与系数的关系得 ， 解得， 方程的另一个根为 . ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.［2025河北保定莲池区校级月考］已知，是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根． （1）求 的取值范围. 【解】，是关于的一元二次方程 的两个不相等的 实数根，，且，解得且 . （2）［中］若是正整数，求实数 的整数值． 【解】由根与系数的关系得， ， . 是正整数，是整数，或，解得或 （舍去）， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 11 类型2 解决存在性问题 母题学方法 上分攻略 根据方程根的情况确定参数的取值范围：由方程根的情况确定根的判别式与0的大 小关系，列出关于参数的不等式求解； 根据根与系数的关系解决参数的存在性问题：根据根与系数的关系得到关于 , 的等式，再根据题意求解即可.求出字母的取值范围后，要注意二次项 系数不能为0且该一元二次方程有实数根. 5.［2024山东烟台蓬莱区期中］已知关于的方程 . （1）若方程有实数根，求 的取值范围. 【解】当时，方程为 ，方程有实数根. 当时，方程为一元二次方程， ， 解得的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （2）［偏难］是否存在这样的实数，使方程的两根， 满足 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由. 【解】存在.根据题意得， . ， ， 解这个方程得.经检验, 是分式方程的解. 又且， 存在实数，使方程的两根,满足 ，此 时 . 1 2 3 4 5 6 7 8 14 子题练变式 6.［2024黑龙江大庆质检］已知关于的一元二次方程 有两 个不相等的实数根. （1）求 的取值范围. 【解】 一元二次方程 有两个不相等的实数根, ，，解得且 . 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （2）［偏难］是否存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求 出 的值；若不存在，说明理由. 【解】不存在.理由：假设存在实数 ，使方程两实数根的倒数和等于0， 设方程的两根为，，则， ， ， 即且，解得 . 又， 不存在实数 ，使方程两实数根的倒数和等于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 16 类型3 解决几何问题 母题学方法 上分攻略 利用根与系数的关系求出和 ，再利用方程根的判别式结合几何图形的 性质解决相关问题. 7.已知，是关于的一元二次方程 的两个实数根. （1）若，求 的值. 【解】根据题意得，解得 .由根与系数的关 系得， ，即 ， ，整理得 ，解得，， 的值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （2）［中］已知等腰的一边长为7，若，恰好是 另外两边的长， 求这个三角形的周长. 【解】分两种情况讨论：①当腰长为7时， 是一元二次方程 的一个根.令 ，代入方程得 ，整理得，解得 ， .当时，，解得，而 ，故 舍去；当时，，解得，此时 ，能构 成三角形， 三角形的周长为.②当底边长为7时， .由（1） 得，方程化为，解得，而 ，故舍去.综 上，这个三角形的周长为17. 1 2 3 4 5 6 7 8 18 子题练变式 8.已知关于的一元二次方程为常数 . （1）若方程的两根为菱形相邻的两边长，求 的值. 【解】 方程的两根为菱形相邻的两边长， 此方程有两个相等的实数根， ，即，整理得，解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 19 （2）［偏难］是否存在满足条件的常数 ，使该方程的两根等于边长为2的菱形的 两对角线长？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 【解】不存在.理由如下：设菱形的两对角线长为， . 该方程的两根是菱形的两对角线长， ， . 菱形的两对角线互相垂直平分， 由勾股定理得，整理得 ， ，即，解得 . ，，， , 不存在满足条件的常数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 20 $$