专题03 二次函数的图像变化五类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题03 二次函数的图像变化五类综合题型 典例详解 类型一、二次函数的旋转 类型二、二次函数的翻折 类型三、二次函数的平移 类型四、二次函数的对称 类型五、二次函数做分母的特殊变化 压轴专练 类型一、二次函数的旋转 二次函数旋转 180°的核心规律 抛物线旋转180°后，形状不变（二次项系数绝对值不变），开口方向相反（二次项系数符号改变），且对应点关于旋转中心对称。 坐标变换本质： 若点P(x, y)绕某点O(m, n)旋转180°后得到点P'(x', y')，则O是P和P'的中点， 满足： 即旋转后点的坐标(x', y')与原坐标(x, y)的关系为：x' = 2m - x，y' = 2n - y。 旋转 90°（开口方向变为水平）规律： 原抛物线（开口竖直）旋转 90° 后变为 “水平抛物线”（开口向左或向右），不再是 y 关于 x 的二次函数，而是 x 关于 y 的二次函数。 点(x, y)旋转 90°后坐标变为(y, -x)（顺时针）或(-y, x)（逆时针）； 表达式需通过坐标替换推导。 例1．（2024九年级·全国·期末）如图，抛物线交轴于点（点在点右侧），交轴于点．将抛物线绕点旋转，得到抛物线，它与轴的另一个交点为点，顶点为点．若四边形为矩形，则应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标及矩形的性质和中心对称的性质．由矩形性质得，即可求解． 【详解】解：令，得， ， 令，得， ， ，， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 故选：． 变式1-1．（22-23九年级上·浙江·周测）将抛物线以点为中心，顺时针方向旋转，得到一个新的图象，如图，若是图象上的两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据函数图像解答即可． 【详解】解：由图象可知，若，则． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，数形结合是解答本题的关键． 变式1-2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）抛物线绕原点O旋转所得抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案． 【详解】解：将化为顶点式，得， 抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线的解析式是， 化为一般式，得， 故答案为：． 变式1-3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线；交x轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的基本规律，结合题意确定函数图象变化规律是解题关键．根据确定，，的解析式为，图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，计算，判定m与时的函数值相等，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的解析式为， 根据题意，得函数图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等， ∵， ∴m与时的函数值相等， 当时，， 故答案为：． 类型二、二次函数的翻折 常见特殊直线的翻折（简化计算） 对于特殊直线（如水平、垂直、y=x等），对称点坐标可简化，无需套用一般公式： 1. 关于垂直直线x = m翻折（竖直直线） 对称原理：点(x, y)关于x = m的对称点为(2m - x, y)（横坐标变为2m - x，纵坐标不变）。 翻折后函数：将原函数中的x替换为2m - x，即y = f(2m - x) 示例：原函数y = x2，关于x = 1翻折后为y = (2 × 1 - x)2 = (2 - x)2。 2. 关于水平直线y = k翻折（水平直线） 对称原理：点(x, y)关于y = k的对称点为(x, 2k - y)（纵坐标变为2k - y，横坐标不变）。 翻折后函数：将原函数中的y替换为2k - y，即2k - y = f(x) → y = 2k - f(x) 示例：原函数y = x2，关于y = 1翻折后为y = 2 ×1 - x2 = 2 - x2 3. 关于直线y = x翻折（一、三象限角平分线） 对称原理：点(x, y)关于y = x的对称点为(y, x)（横纵坐标互换）。 翻折后函数：将原函数中的x与y互换，即x = f(y) 示例：原函数y = x2，关于y = x翻折后为x = y2。 例2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图， 当时，，解得，，则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故选：B． 变式2-1．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，函数 的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误． 【详解】解：函数的对称轴为直线， ∴，即，结论①正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入：，解得， ∴函数的解析式为，其顶点坐标为， ∴函数在段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论②正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点， 联立得：，这个方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式， 解得， ∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数，都有，即，结论④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：A． 变式2-2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为：． 类型三、二次函数的平移 平移规律 (基于顶点移动)： 左右平移： h 控制。左加右减 于 x。 向左平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h - m ➔ 新函数：y = a[x - (h - m)]² + k = a(x - h + m)² + k 向右平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h + m ➔ 新函数：y = a[x - (h + m)]² + k = a(x - h - m)² + k 上下平移： k 控制。上加下减。 向上平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k + n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k + n) 向下平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k - n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k - n) 解题关键： 先找到顶点式或求出顶点坐标。 平移时紧紧抓住顶点的变化。对于标准式 y = ax² + bx + c，可以先配方法或直接用顶点公式求出顶点坐标 (h, k)，再应用平移规律。 例3．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小． (3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)； (3)点的纵坐标． 【分析】（1）依题得出点坐标后可推得点坐标，结合抛物线对称轴可知点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入即可得解； （2）由推出，即可判断点比点距离对称轴更近，结合二次函数的图象与性质即可得解； （3）设平移后顶点，平移后抛物线解析式为，令，可得点的纵坐标，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：依题得：当时，， 即， ， 则， 抛物线的对称轴为直线，，两点关于对称轴对称， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 抛物线的表达式为； （2）解：， ， 即点比点距离对称轴更近， 由（1）得，，抛物线开口向下，有最大值， ； （3）解：设平移后顶点，则平移后抛物线解析式为， 平移后的抛物线与轴的交点为， 令，则点的纵坐标， 对于任意都有， ， 点的纵坐标． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质、二次函数的平移，解题关键是结合二次函数图像与性质解题． 变式3-1．（24-25九年级下·云南·期中）已知函数． (1)若此函数与x轴只有一个公共点且过点，求函数的解析式； (2)若，将此抛物线向上平移c个单位得到新的抛物线，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题、二次函数与不等式的关系、二次函数的图象与性质， （1）令得，，由题意得根的判别式为0求得，再把点代入求得，即可求解； （2）由题意得，把代入得，利用函数图象可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：令得，， ∵此函数与x轴只有一个公共点， ∴， ∴， ∵此函数图象过点， 把点代入得，， ∴函数的解析式为； （2）解：，理由如下：由题意得，， ∵时，； ∴， ∴，即， ∵， ∴抛物线开口向上，， ∴ ∵对称轴，画草图如下： ∵当时，， ∴，即， ∴， ∴． 变式3-2．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)长度的有最大值为，点 (3)或 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）先求出点C、D的坐标，然后再运用待定系数法求得直线的解析式，设P点坐标为，则，再表示出线段的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答； （3）由，设平移后的解析式为，再根据平移后的抛物线过点可求得t，进而确定平移后的抛物线解析式，然后分点位于x轴的上侧与下侧，设出M点的坐标，根据等腰直角三角形性质求出x的值即可确定M点坐标即可． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，， ，解得： 抛物线的解析式为； （2） ， ，， 设直线的解析式为， 则，解得 ， 同理：直线的解析式为， 设P点坐标为， 则， ， ， ， ∴当时，长度的有最大值为，点． （3）， 如图，设平移后的解析式为， ∵当平移后的新抛物线经过时停止平移，得到新抛物线， ，解得：或（舍弃）， ∴平移后的新抛物线的解析式为， ①当M点位于x轴上侧时，过点M作轴， 设， ， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（舍去）， ； 当M点位于x轴下侧时，过点M作轴， 设， ， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（负数舍去）， ， 综上所述符合条件的点的坐标或． 类型四、二次函数的对称 1. 关于 x 轴对称对称规律： 顶点变化：原顶点(h, k)→对称后顶点(h, -k)； 系数变化：a变为-a（开口方向相反）。 表达式推导： 若原函数为顶点式y = a(x - h)2 + k，对称后为：y = -a(x - h)2 - k 若原函数为一般式y = ax2 + bx + c，对称后为：y = -ax2 - bx - c 2. 关于 y 轴对称对称规律： 顶点变化：原顶点(h, k)→对称后顶点(-h, k)； 系数变化：a不变（开口方向不变）。 表达式推导： 若原函数为顶点式y = a(x - h)2 + k，对称后为：y = a(x + h)2 + k 若原函数为一般式y = ax2 + bx + c，对称后为：y = ax2 - bx + c 3. 关于原点对称（中心对称）对称规律： 顶点变化：原顶点(h, k)→对称后顶点(-h, -k)； 系数变化：a变为\(-a\)（开口方向相反）。 表达式推导： 若原函数为顶点式y = a(x - h)2 + k，对称后为：y = -a(x + h)2 - k 若原函数为一般式y = ax2 + bx + c，对称后为：y = -ax2 + bx - c 4. 关于直线x = m对称（竖直直线）对称规律： 顶点变化：原顶点(h, k)→对称后顶点(2m - h, k)（横坐标满足h' = 2m - h，纵坐标不变）； 系数变化：a不变（开口方向不变）。 表达式推导： 若原函数为顶点式y = a(x - h)2 + k，对称后为：y = a(x + h - 2m)2 + k 5. 关于直线y = n对称（水平直线）对称规律： 顶点变化：原顶点(h, k)→对称后顶点(h, 2n - k)（纵坐标满足\(k' = 2n - k\)，横坐标不变）； 系数变化：a变为-a（开口方向相反）。 表达式推导： 若原函数为顶点式y = a(x - h)2 + k，对称后为：y = -a(x - h)2 + (2n - k) 例4．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”． 例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为； ②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是； ③函数关于直线的“和睦点”纵坐标d满足：，m的取值范围是或 ④已知，，函数关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有2个公共点，则的取值范围是． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形结合是解题的关键．①根据“友好函数”的定义即可求解，②，再根据的取值范围即可得到的范围，③根据题意得出，解不等式，即可求解；④当过“和睦点”时，为临界点情况，当过的顶点时，此时与线段只有个公共点，找出临界值代入求解即可． 【详解】解：①， 顶点，它关于直线 的对称点为， “和睦函数”为， 两个函数图象关于直线 对称， 其交点必在直线 上，将代入中，， “和睦点”坐标为；故①正确； ②由题意得， ， 关于的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为， 当 时，有最小值， 当 时，，当 时，， ；故②错误； ③依题意可得 ∵， ∴ ∴或 解得：或，故③正确 ④如图， 当过“和睦点”时，为临界点情况， 当时，， 即， 解得： 则当时，与线段只有个公共点； 当过的顶点时，此时与线段只有个公共点， 当时，， 即， 解得：； 综上，的取值范围为：或，故④错误， 故答案为：②④． 变式4-1．（24-25八年级上·广东中山·期末）定义：若函数图像上存在点，，且满足，则称为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，，则函数的“域差值”为 (1)点，在的图像上，“域差值”，求的值； (2)已知函数，求证该函数的“域差值”； (3)点为函数图像上的一点，将函数的图像记为，将函数的图像沿直线翻折后的图像记为当两部分组成的图像上所有的点都满足“域差值”时，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先把两点坐标代入反比例函数解析式中求出的值，再由，列方程解答即可； （2）设函数图象上存在点，，且满足，，求出的值，进而得到，求出的范围即可证明结论； （3）当两部分组成的图象上所有的点满足“域差值”时，则，可得，对于函数的图象沿直线翻折后的图象即为：，根据定义求出m的范围，即可解答． 【详解】（1）解：点，在的图象上， ， “域差值”， ，即， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，均是方程的解， 的值为或； （2）证明：设函数图象上存在点，，且满足， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 即， 故该函数的“域差值”； （3）解：如图所示， 点为函数图象上的一点， ， 由（2）得：， 当的图象上所有的点都满足“域差值”时， 则， 解得：， ∴如图，当时，函数的图象上所有的点都满足“域差值”； 设是函数图象上的一点，则在的图象上， ∴对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为， ∵的图象上所有的点都满足“域差值”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，。 【点睛】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想，解题的关键是正确理解题意并运用新定义解决问题． 变式4-2．（2025·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，在函数S的图象上任找一点P，总能在函数T的图象上找到一点Q，使得点P与点Q关于直线对称，我们把函数S与函数T称为关于直线的对称函数，点P与点Q关于直线互为对称点，直线称为函数S和函数T的对称轴．例如点在函数的图象上，点在函数的图象上，点P与点Q关于x轴（直线）对称，函数与函数关于x轴（直线）互为对称函数． (1)函数关于直线的对称函数是 ； (2)若函数与函数是关于直线的对称函数，求这两个函数的对称轴； (3)若函数是函数关于对称轴直线的对称函数． ①当时，求函数关于对称轴直线的对称函数； ②已知点，点，当函数的图象与线段有且只有一个交点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或． 【分析】（1）设是函数的图象上一点，则可知点在函数关于直线的对称函数的图象上，据此可得答案； （2）设点是函数图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为，根据题意可得点在函数的图象上，据此求解即可； （3）①设点是函数的图象上一点，则 点一定在函数关于直线的对称函数的图象上，设是函数的图象上一点，则点一定在函数关于直线的对称函数的图象上，据此可求出； ②同理可求出；在中，当时，，分别求出当点恰好在函数的图象上时，当抛物线的顶点坐标恰好在线段上时，当点恰好在线段上时，当点恰好在函数的图象上时，四种情况下m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设是函数的图象上一点， ∵关于直线的对称点的坐标为， ∴点在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为； （2）解；设点是函数图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∵函数与函数是关于直线的对称函数， ∴点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴这两个函数的对称轴为； （3）解：①设点是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为； 设是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为， 综上所述，； ②设点是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为； 设是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为， 综上所述，； 在中，当时，， 如图3-1所示，当点恰好在函数的图象上时， ∴， 解得； 如图3-2所示，当抛物线的顶点坐标恰好在线段上时， ∴， 解得； 如图3-3所示，当点恰好在线段上时，则，解得； 如图3-4所示，当点恰好在函数的图象上时， ∴， 解得； 综上所述，当函数的图象与线段有且只有一个交点时，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于根据轴对称的性质得到对应函数的对称函数． 类型五、二次函数做分母的特殊变化 当二次函数作为分母时的分式函数，需要考虑几点 1. 分母不为0，需要解相应一元二次方程的根 2. 函数的值，由分母的取值范围反推。 3. 图像特征 渐近线： 垂直渐近线：分母为零的点（即方程ax2 + bx + c = 0 的实根）； 水平渐近线：当 x 越大时，分母二次函数ax2 + bx + c 函数值的绝对值越趋近于无穷大，即水平渐近线为 y 越趋近于0。 单调性： 需结合分母的单调性分析： 若分母在某区间递增且为正，则分式在该区间递减； 若分母在某区间递减且为负，则分式在该区间递增（需注意符号对单调性的影响）。 例5．（2025·湖北宜昌·模拟预测）为了研究函数的性质，小妍用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … … … 1 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象在x轴上方； ③该函数图象有最高点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是（ ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象及性质即可求解，能从表格和图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点在该函数图象上，原结论正确； ∵， ∴该函数图象在轴上方，原结论正确； ∵， ∴， ∴， ∴该函数图象有最高点，原结论正确； 由图象可得， 图象关于对称，且当时，取最大值， ∵， ∴，原结论错误； 若将该函数图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，原结论正确； ∴正确的结论是， 故选：B． 变式5-1．（2025·湖北武汉·三模）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把代入函数解析式求出的值即可判断①；由绝对值的性质可得即不管取何值，始终有，即可判断②；根据表格对应的数值可判断③；根据二次函数的性质可判断④；画出图象可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点在函数的图象上，故①正确； 当时，， 当时，， 即不管取何值，始终有， ∴函数的图象一定不经过第四象限，故②正确； 由表知，函数的图像关于直线对称，即关于轴对称，故③错误； ∵当时，，随的增大而减小， ∴点，，若，则，故④正确； 由②可知，， 画函数图象如下： 当时，， 由图象可知，当直线与函数的图象有个公共点时，，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 变式5-2．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）关于函数的图像和性质，下列五个结论∶ ①点在函数图像上； ②图像关于直线对称； ③在函数图像上，若，则； ④若，在函数图像上，则当时，； ⑤若方程有两个不相等的实数解，则或． 其中正确的结论是 (填写序号) ． 【答案】①②⑤ 【分析】把代入到中，求出对应的函数值即可判断①；令，当或时，当时，，根据函数关于直线对称，可得函数关于直线对称，据此可判断②；当时，，则离对称轴越远，函数值越小，可求出，据此可判断③；当时，此时随x增大而减小，则y随x增大而增大，当时，此时随x增大而增大，则y随x增大而减小，据此可判断④；可求出当或时，，当时，，结合函数图象可得当或时，直线与函数有两个交点，据此可判断⑤． 【详解】解：在中，当时，， ∴点在函数图像上，故①正确； 令，当或时， 当时，， ∴函数关于直线对称， ∴函数关于直线对称，故②正确； 当时，， ∴此时函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， 在中，当时， ∵， ∴当时，， ∵， ∴y随增大而减小， 当时，，当时，， ∴，则，故③错误； 当时，，此时随x增大而减小，则y随x增大而增大， 当时，此时随x增大而增大，则y随x增大而减小， ∴当时，不一定成立，故④错误； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵当或时，此时， 当时，，此时， 函数的图象如图所示， 由函数图象可知，当或时，直线与函数有两个交点， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴； ∴若方程有两个不相等的实数解，则或，故⑤正确， 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；，如此进行下去，直至得，若在第段抛物线上，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴图象与轴交点坐标为：，， ∴， ∵将绕点旋转得，交轴于点； ∴，同理可得， ， ∴，，，， ∴第段抛物线解析式为， 则当时，，解得：，， ∴点，在第段抛物线上， ∴第段抛物线可以看作第解析式为，向右平移个单位， ∴点，向右平移个单位， ∴对应点的坐标为，， ∴的值为或， 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）将抛物线绕其顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的变换，将一般式转化为顶点式，根据题意，得到新的抛物线的顶点与原抛物线的顶点相同，开口方向相反，求出新的解析式即可． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴将抛物线绕其顶点旋转后，新的抛物线的解析式为：； 故答案为： 3．（2015·江苏盐城·一模）如图，二次函数y=x（x-2）（0≤x≤2）的图象，记为C1，它与x轴交于O、A1两点；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C2016．若P(4031，m)在第2016段图象C2016上，则m= ． 【答案】1． 【详解】试题分析：求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线C14平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C14的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解． 试题解析：令y=0，则x（x-2）=0， 解得x1=0，x2=2， ∴A1（2，0）， 由图可知，抛物线C2016在x轴上方， 相当于抛物线C1向右平移4×1006=4024个单位得到C2015，再将C2015绕点A2015旋转180°得C2016， ∴抛物线C2016的解析式为y=-（x-4030）（x-4032）=-（x-4030）（x-4032）， ∵P（4031，m）在第2016段图象C2016上， ∴m=-（4031-4030）（4031-4032）=1． 考点：二次函数图象与几何变换． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知抛物线． (1)当时，求的值； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，设抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，则的取值范围是 ． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质． （1）依据题意，由，结合，从而可以判断得解； （2）依据题意，，故可以得解； （3）依据题意，当时，抛物线G为，从而表示出H为，抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且，从而若当时，，结合二次函数的性质，，又抛物线H与x轴有交点，故，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，， 又∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：由题意，， ∴顶点坐标为：； （3）解：由题意，当时，抛物线G为， ∴把抛物线G向下平移个单位长度得到新抛物线H为， ∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且， 又当时，， ∴， ∵开口向下， ∴， 又∵抛物线H与x轴有交点， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·山东聊城·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求抛物线与x轴两交点之间的距离； (2)当时，函数y有最小值，求m的值； (3)当时，将函数图象向下平移a（）个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧），当时，求a的值． 【答案】(1)4 (2)或 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、图形的平移等，熟悉函数的性质和分类求解是解题的关键． （1）把代入得，得出，令，求出，，从而可求出抛物线与x轴两交点之间的距离； （2）当时，当时，函数在顶点时取得最小值，即可求解；当时，同理可解； （3）由题意得：，令，，设方程的两根为，由根与系数关系得，由可得，代入可求出，，把，代入可求出． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得：，， 所以，抛物线与x轴两交点之间的距离为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时， 当时，函数在顶点时取得最小值， ∴当时，y有最小值， 即， 解得：； 当时，则时，y取得最小值， 即， 解得：； 综上，或； （3）解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：， 当时，， 设方程的两根为，由根与系数关系得， ∵，且点A在的左侧， ∴， ∴， 代入得， 解得，， ∴， ，代入得， 解得，． 6．（2025九年级下·海南海口·专题练习）如图1，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①4；0②0 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，图象与轴交点问题，翻折变换，一元二次方程与二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据直线可求出点的坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）①求出抛物线的顶点坐标，对称轴以及点A的坐标，在范围内可求出最大值和最小值； ②分、和三种情况，分别求出最大值和最小值，根据列式求解即可； （3）求出翻折后的函数关系式，求出经过点A且与平行的直线的解析式和与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵, ∴, ∴当时最大值为4，最小值为0， 故答案为：4；0； ②∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，与关于对称轴对称，函数值相等， 分以下三种情况： （i）当时， 又∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或（舍去）； （ii）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， 此时，不满足题意舍去； （ⅲ）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或； 因为，则或都不符合题意，舍去； 综上，t的值为0， 故答案为：0； （3）解：根据题意得，翻折后的抛物线顶点坐标为， 设翻折后的抛物线解析式为， 把代入得， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设经过点A且与平行的直线的解析式为， 把代入得，， 解得，； 设与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式，则有： ， 整理得： ∴， ∴， ∴直线与这个新图象有4个公共点时，的取值范围． 7．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于和，与轴交于点，将沿直线作对称，得到抛物线．    (1)______，______，______； (2)求抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）； (3)直线与的另一个交点，，分别为线段，上任意一点（不与，，重合），作轴，轴，分别交，于点，，设的最大值为，的最大值为，求的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求出，值，可得抛物线的解析式，进而求得的值； （2）根据抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相同，抛物线与轴的另一个交点为即可得解； （3）分别求出，的值，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ， 解得：， 抛物线， 令，则， 解得：或， ， 故答案为：，，； （2）解：， 点， 将沿直线作对称，得到抛物线． 抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相同，抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，        设点，则点， ， 的最大值为， 设点，则点， ， 的最大值为， ． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，一次函数的应用，二次函数是应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 8．（2025·江西·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点，，且其顶点为． (1)求二次函数的解析式及图象的对称轴． (2)把二次函数的图象位于直线上方的部分向下翻折，将向下翻折后得到的部分与原二次函数图象位于直线下方的部分组合的图象记作图象，若直线（为常数）与图象有四个交点，从左到右依次记作，设点关于直线AB的对称点为点． ①求的取值范围； ②当为等边三角形时，求代数式的值． 【答案】(1)，直线 (2)①；② 【分析】本题考查二次函数与x轴交点坐标，二次函数的图象和性质，翻折的性质． （1）把，，代入 ，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）①由（1）可得顶点的坐标为，由翻折的性质可得点的坐标为，结合图象即可得出的取值范围； ②作，垂足为，由直线与交于两点，得，设，则，，，再根据等腰三角形的性质得关于m的方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，把，，代入 ， 得， 解得， 二次函数的解析式为， 而， 二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：①由（1）可得顶点的坐标为， 点与点关于直线对称， 点的坐标为， ； ②如图，作，垂足为， ， 折叠部分图象的解析式为， 即， 直线与交于两点， 则，即， 设， ， ， ， 是等边三角形， ， ，即， 解得（舍去），， ， ． 9．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若两个抛物线关于轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线的“对称抛物线”的解析式． (3)在（2）的条件下，是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． （1）将点代入，求出即可求解； （2）求出顶点的对称点为，设抛物线的解析式为，再将抛物线与x轴的交点为或代入，即可求解析式； （3）由题意可知，则，根据是第二象限内抛物线上的一个动点知-3＜x≤0，得，当时，W有最大值3． 【详解】（1）将点代入， ∴， 解得， ∴； （2）∵， ∴顶点为， ∴顶点关于x轴的对称点为， 设抛物线的解析式为，， ∵抛物线经过点或， ∴， ∴； （3）如图，    ∵点是第二象限内抛物线上的一个动点， 设M的横坐标为m，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为． 10．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）小星借助探究一次函数的图象与性质的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小星的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 3 4 3 4 3 0 m … ① ； ②方程有 个解． (2)①在平面直角坐标系内描点并画出该函数的图象； ②观察函数图象，写出符合函数 的一条性质． 【答案】(1)①；②2 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查函数图象，根据表格数据画出函数图象是解题的关键． （1）①将代入即可；②根据表格数据求解； （2）①根据表格数据描点、连线即可；②观察函数图象，从对称轴、最值、增减性、与轴交点个数等角度求解． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由表可知，当或时，， 因此方程有2个解， 故答案为：2； （2）解：①如图． ②答案不唯一： ．该函数图象关于y轴对称； ．该函数的最大值是4； ．当时，随的增大而增大； ．当时，随的增大而减小； ．当时，随的增大而减小； ．当时，随的增大而增大； ．该函数图象与轴有2个交点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数的图像变化五类综合题型 典例详解 类型一、二次函数的旋转 类型二、二次函数的翻折 类型三、二次函数的平移 类型四、二次函数的对称 类型五、二次函数做分母的特殊变化 压轴专练 类型一、二次函数的旋转 二次函数旋转 180°的核心规律 抛物线旋转180°后，形状不变（二次项系数绝对值不变），开口方向相反（二次项系数符号改变），且对应点关于旋转中心对称。 坐标变换本质： 若点P(x, y)绕某点O(m, n)旋转180°后得到点P'(x', y')，则O是P和P'的中点， 满足： 即旋转后点的坐标(x', y')与原坐标(x, y)的关系为：x' = 2m - x，y' = 2n - y。 旋转 90°（开口方向变为水平）规律： 原抛物线（开口竖直）旋转 90° 后变为 “水平抛物线”（开口向左或向右），不再是 y 关于 x 的二次函数，而是 x 关于 y 的二次函数。 点(x, y)旋转 90°后坐标变为(y, -x)（顺时针）或(-y, x)（逆时针）； 表达式需通过坐标替换推导。 例1．（2024九年级·全国·期末）如图，抛物线交轴于点（点在点右侧），交轴于点．将抛物线绕点旋转，得到抛物线，它与轴的另一个交点为点，顶点为点．若四边形为矩形，则应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 变式1-1．（22-23九年级上·浙江·周测）将抛物线以点为中心，顺时针方向旋转，得到一个新的图象，如图，若是图象上的两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1-2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）抛物线绕原点O旋转所得抛物线的函数表达式为 ． 变式1-3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线；交x轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为 ． 类型二、二次函数的翻折 常见特殊直线的翻折（简化计算） 对于特殊直线（如水平、垂直、y=x等），对称点坐标可简化，无需套用一般公式： 1. 关于垂直直线x = m翻折（竖直直线） 对称原理：点(x, y)关于x = m的对称点为(2m - x, y)（横坐标变为2m - x，纵坐标不变）。 翻折后函数：将原函数中的x替换为2m - x，即y = f(2m - x) 示例：原函数y = x2，关于x = 1翻折后为y = (2 × 1 - x)2 = (2 - x)2。 2. 关于水平直线y = k翻折（水平直线） 对称原理：点(x, y)关于y = k的对称点为(x, 2k - y)（纵坐标变为2k - y，横坐标不变）。 翻折后函数：将原函数中的y替换为2k - y，即2k - y = f(x) → y = 2k - f(x) 示例：原函数y = x2，关于y = 1翻折后为y = 2 ×1 - x2 = 2 - x2 3. 关于直线y = x翻折（一、三象限角平分线） 对称原理：点(x, y)关于y = x的对称点为(y, x)（横纵坐标互换）。 翻折后函数：将原函数中的x与y互换，即x = f(y) 示例：原函数y = x2，关于y = x翻折后为x = y2。 例2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，函数 的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 变式2-2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是 ． 类型三、二次函数的平移 平移规律 (基于顶点移动)： 左右平移： h 控制。左加右减 于 x。 向左平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h - m ➔ 新函数：y = a[x - (h - m)]² + k = a(x - h + m)² + k 向右平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h + m ➔ 新函数：y = a[x - (h + m)]² + k = a(x - h - m)² + k 上下平移： k 控制。上加下减。 向上平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k + n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k + n) 向下平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k - n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k - n) 解题关键： 先找到顶点式或求出顶点坐标。 平移时紧紧抓住顶点的变化。对于标准式 y = ax² + bx + c，可以先配方法或直接用顶点公式求出顶点坐标 (h, k)，再应用平移规律。 例3．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小． (3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围． 变式3-1．（24-25九年级下·云南·期中）已知函数． (1)若此函数与x轴只有一个公共点且过点，求函数的解析式； (2)若，将此抛物线向上平移c个单位得到新的抛物线，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由． 变式3-2．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 类型四、二次函数的对称 1. 关于 x 轴对称对称规律： 顶点变化：原顶点(h, k)→对称后顶点(h, -k)； 系数变化：a变为-a（开口方向相反）。 表达式推导： 若原函数为顶点式y = a(x - h)2 + k，对称后为：y = -a(x - h)2 - k 若原函数为一般式y = ax2 + bx + c，对称后为：y = -ax2 - bx - c 2. 关于 y 轴对称对称规律： 顶点变化：原顶点(h, k)→对称后顶点(-h, k)； 系数变化：a不变（开口方向不变）。 表达式推导： 若原函数为顶点式y = a(x - h)2 + k，对称后为：y = a(x + h)2 + k 若原函数为一般式y = ax2 + bx + c，对称后为：y = ax2 - bx + c 3. 关于原点对称（中心对称）对称规律： 顶点变化：原顶点(h, k)→对称后顶点(-h, -k)； 系数变化：a变为\(-a\)（开口方向相反）。 表达式推导： 若原函数为顶点式y = a(x - h)2 + k，对称后为：y = -a(x + h)2 - k 若原函数为一般式y = ax2 + bx + c，对称后为：y = -ax2 + bx - c 4. 关于直线x = m对称（竖直直线）对称规律： 顶点变化：原顶点(h, k)→对称后顶点(2m - h, k)（横坐标满足h' = 2m - h，纵坐标不变）； 系数变化：a不变（开口方向不变）。 表达式推导： 若原函数为顶点式y = a(x - h)2 + k，对称后为：y = a(x + h - 2m)2 + k 5. 关于直线y = n对称（水平直线）对称规律： 顶点变化：原顶点(h, k)→对称后顶点(h, 2n - k)（纵坐标满足\(k' = 2n - k\)，横坐标不变）； 系数变化：a变为-a（开口方向相反）。 表达式推导： 若原函数为顶点式y = a(x - h)2 + k，对称后为：y = -a(x - h)2 + (2n - k) 例4．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”． 例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为； ②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是； ③函数关于直线的“和睦点”纵坐标d满足：，m的取值范围是或 ④已知，，函数关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有2个公共点，则的取值范围是． 变式4-1．（24-25八年级上·广东中山·期末）定义：若函数图像上存在点，，且满足，则称为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，，则函数的“域差值”为 (1)点，在的图像上，“域差值”，求的值； (2)已知函数，求证该函数的“域差值”； (3)点为函数图像上的一点，将函数的图像记为，将函数的图像沿直线翻折后的图像记为当两部分组成的图像上所有的点都满足“域差值”时，求的取值范围． 变式4-2．（2025·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，在函数S的图象上任找一点P，总能在函数T的图象上找到一点Q，使得点P与点Q关于直线对称，我们把函数S与函数T称为关于直线的对称函数，点P与点Q关于直线互为对称点，直线称为函数S和函数T的对称轴．例如点在函数的图象上，点在函数的图象上，点P与点Q关于x轴（直线）对称，函数与函数关于x轴（直线）互为对称函数． (1)函数关于直线的对称函数是 ； (2)若函数与函数是关于直线的对称函数，求这两个函数的对称轴； (3)若函数是函数关于对称轴直线的对称函数． ①当时，求函数关于对称轴直线的对称函数； ②已知点，点，当函数的图象与线段有且只有一个交点时，请直接写出m的取值范围． 类型五、二次函数做分母的特殊变化 当二次函数作为分母时的分式函数，需要考虑几点 1. 分母不为0，需要解相应一元二次方程的根 2. 函数的值，由分母的取值范围反推。 3. 图像特征 渐近线： 垂直渐近线：分母为零的点（即方程ax2 + bx + c = 0 的实根）； 水平渐近线：当 x 越大时，分母二次函数ax2 + bx + c 函数值的绝对值越趋近于无穷大，即水平渐近线为 y 越趋近于0。 单调性： 需结合分母的单调性分析： 若分母在某区间递增且为正，则分式在该区间递减； 若分母在某区间递减且为负，则分式在该区间递增（需注意符号对单调性的影响）。 例5．（2025·湖北宜昌·模拟预测）为了研究函数的性质，小妍用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … … … 1 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象在x轴上方； ③该函数图象有最高点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是（ ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 变式5-1．（2025·湖北武汉·三模）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是 ．（填写序号） 变式5-2．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）关于函数的图像和性质，下列五个结论∶ ①点在函数图像上； ②图像关于直线对称； ③在函数图像上，若，则； ④若，在函数图像上，则当时，； ⑤若方程有两个不相等的实数解，则或． 其中正确的结论是 (填写序号) ． 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；，如此进行下去，直至得，若在第段抛物线上，则 ． 2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）将抛物线绕其顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式是 ． 3．（2015·江苏盐城·一模）如图，二次函数y=x（x-2）（0≤x≤2）的图象，记为C1，它与x轴交于O、A1两点；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C2016．若P(4031，m)在第2016段图象C2016上，则m= ． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知抛物线． (1)当时，求的值； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，设抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，则的取值范围是 ． 5．（2025·山东聊城·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求抛物线与x轴两交点之间的距离； (2)当时，函数y有最小值，求m的值； (3)当时，将函数图象向下平移a（）个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧），当时，求a的值． 6．（2025九年级下·海南海口·专题练习）如图1，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 7．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于和，与轴交于点，将沿直线作对称，得到抛物线．    (1)______，______，______； (2)求抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）； (3)直线与的另一个交点，，分别为线段，上任意一点（不与，，重合），作轴，轴，分别交，于点，，设的最大值为，的最大值为，求的值． 8．（2025·江西·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点，，且其顶点为． (1)求二次函数的解析式及图象的对称轴． (2)把二次函数的图象位于直线上方的部分向下翻折，将向下翻折后得到的部分与原二次函数图象位于直线下方的部分组合的图象记作图象，若直线（为常数）与图象有四个交点，从左到右依次记作，设点关于直线AB的对称点为点． ①求的取值范围； ②当为等边三角形时，求代数式的值． 9．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若两个抛物线关于轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线的“对称抛物线”的解析式． (3)在（2）的条件下，是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，求的最大值． 10．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）小星借助探究一次函数的图象与性质的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小星的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 3 4 3 4 3 0 m … ① ； ②方程有 个解． (2)①在平面直角坐标系内描点并画出该函数的图象； ②观察函数图象，写出符合函数 的一条性质． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$