专题02 求二次函数解析式八类题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题02 求二次函数解析式八类题型 典型详解 类型一、待定系数法求二次函数的一般式 类型二、用交点式求二次函数解析式 类型三、顶点式求二次函数解析式 类型四、求二次函数平移后的解析式 类型五、已知对称轴和点的坐标求解析式 类型六、与几何结合的综合题 类型七、抛物线问题，求解析式 类型八、二次函数的一般应用，求解析式 压轴专讲 类型一、待定系数法求二次函数的一般式 题型特征：题目明确给出二次函数图像上三个不同点的坐标（如(,)、（,)、(,)），无特殊点（顶点、与 x 轴交点等）。 解题思路：设解析式为一般式：y = ax2 + bx + c（a≠0）；将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组；解方程组，求出a、b、c的值；代入一般式，得到解析式。 变式情况：有些题目给出的解析式会会有两个或一个未知的系数，对应给到二次函数经过的点坐标也会有两个或一个，这样只需要将坐标代入一般式，得到关于未知系数的一次方程（组），只需要解出方程，即可得到解析式 例1．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可得， ，解得：， ∴二次函数解析式为， 、∵， ∴图象的开口向上，不符合题意； 、当时，， 解得：，， ∴图象与轴的一个交点坐标为，符合题意； 、图象的对称轴是直线，不符合题意； 、∵，图象的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 故选：． 变式1-1．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标： (2)填空：要使该二次函数的图象与x轴有交点，应把图象沿y轴至少向下平移 个单位， 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的顶点式、二次函数图象的平移变换等知识点，灵活运用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）分别将点A、B的坐标代入解析式得到关于a、c的方程组求解可得到a、c的值，即可得到二次函数的解析式；再将解析式化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）设把图象沿y轴向下平移m个单位表示出平移后的解析式，根据写出的解析式，找出顶点坐标，然后根据二次函数的图象与x轴有交点，得到关于m的不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把分别代入， 得：，解得： ∴该二次函数的解析式为：； ∵。 ∴该二次函数的顶点坐标。 （2）解：设把图象沿y轴向下平移m个单位，则平移后的解析式为：， 此时二次函数的顶点坐标为 ∵该二次函数的图象与x轴有交点， ∴抛物线的顶点在x轴上或x轴下方， ∴，即， ∴应把图象沿y轴至少向下平移2个单位． 故答案为：2. 变式1-2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过两点． (1)求b和c的值． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)；2 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）把利用待定系数法，求出b、c的值即可求解； （2）根据二次函数的性质，可得该函数图象的对称轴为直线，开口向上，再求出当时和当时y的值，即可得出y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过两点， ∴， 解得， 即b的值为，c的值为2； （2）解：由（1）得：二次函数的解析式为 ， ∴该函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵，且， ∴当时，该函数取得最大值9； 当时，该函数取得最小值， ∴当时，y的取值范围是． 类型二、用交点式求二次函数解析式 题型特征：抛物线与 x 轴的两个交点坐标（如(,)和(,)）；抛物线与 x 轴交点的两个横坐标；抛物线与 x 轴只有一个交点（即顶点在 x 轴上，此时= )，交点式可写为 y = a(x -)2，本质是顶点式的特殊情况）。 解题步骤： 1.（以两个不同交点为例）确定交点横坐标(,)和(,) 2. 从题目中提取抛物线与 x 轴交点的横坐标。代入交点式，设解析式： 根据和  写出解析式：y = a(x - )(x - ) 3. 找 “第三个点” 的坐标，求 a 的值 例2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4，连接交y轴于点C，连接，，点E是抛物线上一动点，的面积与的面积相等，则点E的横坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的面积问题，解方程，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．先利用待定系数法分别求得抛物线、直线、直线、直线的解析式，然后过点D作轴，交直线于点G，过点E作轴，交直线于点F，根据求得面积，接着设，则，求得，结合解答即可． 【详解】解：∵抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4， ∴抛物线的对称轴为直线， 故顶点， 设抛物线的解析式为 ∴， 解得， 故 ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点D作轴，交直线于点G，过点E作轴，交直线于点F， ∵， ∴点的横坐标为，且点在直线：上， ∴当时，， ∴ ∴， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点E是抛物线上一动点，点在直线直线：上， ∴设，则， 则， ∴， 整理，得或 故或 解得或无解 故． 故点E的横坐标为或， 故答案为：或． 变式2-1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先根据待定系数法求出二次函数的解析式； （2）先求出的值，根据二次函数图象的对称性及已知表格可求得点B、A、C的坐标，再过B作轴，过C作，垂足为D，过A作，垂足为E，如图，则D、E的坐标可求，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：根据二次函数图象的对称性，设该二次函数的解析式为， ∵点是图象上一点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为，即； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，， ∴m的值为3； 根据二次函数图象的对称性及已知表格可得点B、A、C的坐标分别是、、， 过B作轴，过C作，垂足为D，过A作，垂足为E，如图所示． 则D、E的坐标分别为、． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的图象与性质以及三角形的面积等知识，属于基本题型，熟练掌握以上基本知识是解题关键． 变式2-2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)； (3)的取值范围为． 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据图象可设二次函数的解析式为，且过点，然后利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求出的取值范围； （）由二次函数的解析式为，当时，时，有最小值，然后分别求出当时和当时，的值，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据图象可设二次函数的解析式为，且过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：根据图象可知，当时，； （3）解：由二次函数的解析式为， 当时，时，有最小值， 当时，，当时，， ∴的取值范围为． 类型三、顶点式求二次函数解析式 当题目中出现以下信息时，优先用顶点式： 1. 直接给出顶点坐标（如 “顶点为（2，5）”）； 2. 给出对称轴和最值（如 “对称轴 x = -1，最大值为 3”→ 顶点为 (-1, 3)）； 3. 已知顶点和抛物线上另一个点（非顶点，用于求 a）； 4. 隐含顶点信息（如 “抛物线与 y 轴交点为最高点”→ 顶点在 y 轴上，即 (h = 0)）。 解题 “三步法” 步骤 1：确定顶点坐标((h, k)若直接给顶点，直接提取； 若给对称轴和最值：对称轴x = h，最值= k。 步骤 2：设顶点式解析式 代入 h, k，得到含参数 a 的表达式：y = a(x - h)2 + k 易错点：若 h 为负数（如 (h = -2)，则 x - h = x - (-2) = x + 2)，即解析式为 y = a(x + 2)2 + k（符号易出错，务必注意！）。 步骤 3：代入 “另一个点” 求 a题目必给抛物线经过的非顶点坐标(, )，代入解析式解出 a，再写出最终式。 例3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，正确设出二次函数的解析是解题的关键．根据题意可设二次函数的顶点式，再用待定系数法即可求得． 【详解】解：设二次函数顶点式， 顶点为， 二次函数的图像过点， ． 故答案为：． 变式3-1．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数的图像过点，顶点为，求函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．先设二次函数的顶点式为，再将点代入求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵二次函数的顶点为， ∴这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过点， ∴， 解得， ∴，即． 变式3-2．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是多少； (3)已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)二次函数最大值与最小值的差是9 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）直接用待定系数法求即可； （2）由抛物线开口向上，有最小值，最小值为，计算当时，，当时，，再进一步求解即可； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定的范围即可． 【详解】（1）解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 图象经过点， ， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）解：∵，顶点坐标为，， ∴抛物线开口向上，有最小值，最小值为， ∵， 当时，， 当时，， ∴当时，函数最大值为，最小值为， 此时二次函数最大值与最小值的差是9； （3）解：如图，此函数大致图象如下    由，当时，，此时点为， 由图知时，交点只有一个， ， 当时，图中也符合只有一个交点，即顶点． 该函数图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为或． 类型四、求二次函数平移后的解析式 平移规律 (基于顶点移动)： 左右平移： h 控制。左加右减 于 x。 向左平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h - m ➔ 新函数：y = a[x - (h - m)]² + k = a(x - h + m)² + k 向右平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h + m ➔ 新函数：y = a[x - (h + m)]² + k = a(x - h - m)² + k 上下平移： k 控制。上加下减。 向上平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k + n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k + n) 向下平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k - n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k - n) 解题关键： 先找到顶点式或求出顶点坐标。 平移时紧紧抓住顶点的变化。对于标准式 y = ax² + bx + c，可以先配方法或直接用顶点公式求出顶点坐标 (h, k)，再应用平移规律。 例4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的平移问题．根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，将原抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，即可确定平移后的解析式． 【详解】解：把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是， 故选：B 变式4-1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．掌握平移规律是解题的关键． 根据图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位， 所得的抛物线的解析式为， 即．（方法不唯一） 故答案为：． 类型五、已知对称轴和点的坐标求解析式 题型 1：已知对称轴、1 个点的坐标和最值（或顶点纵坐标） 特征：给出对称轴 x = h、1 个点  (, )，以及函数的最值（即顶点纵坐标 k）。 步骤： 1. 由对称轴确定 h，由最值确定 k，设顶点式：\(y = a(x - h)^2 + k\)； 2. 将已知点 (, )代入解析式，解出 a； 3. 代入 a、h、k，得到最终解析式。 题型 2：已知对称轴和 2 个点的坐标 特征：给出对称轴 x = h 和 2 个不同点 (, )、 (, )（这两个点可能关于对称轴对称，也可能不对称）。 步骤： 1. 由对称轴确定 h，设顶点式：y = a(x - h)2 + k（含未知参数 a、k； 2. 将两个点的坐标分别代入顶点式，得到关于 a、k 的二元一次方程组； 3. 解方程组求出a、k，代入顶点式得解析式。 例5．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记相关结论即可求解； （1）令，则；得到抛物线与轴的交点为；推出；根据抛物线的对称轴是直线，推出，即可求解； （2）根据抛物选的开口方向和对称轴，即可判断； 【详解】（1）解：令，则； ∴抛物线与轴的交点为； ∴； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：； ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线． ∵且， ∴ 故答案为： 变式5-1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； 【答案】(1) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用． （1）运用待定系数法求解即可； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ∴， ∴ 将，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 变式5-2．（2025·内蒙古包头·三模）已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 【答案】(1)，D点坐标为； (2)点Q的坐标为； (3)，四边形的最短周长为． 【分析】（1）根据点，点，抛物线的对称轴为可得关于，，的方程组，解方程求得，，的值，从而得到二次函数的解析式，再将点代入二次函数的解析式，得到关于的方程，求得的值，从而求解； （2）先求得，点的坐标，过点作，根据相似三角形的判定和性质可得，由于，配方后即可得到有最大值时，点的坐标； （3）根据待定系数法得到直线的解析式为：，过点作关于轴的对称点，即，再连接交对称轴于，轴于，由条件可知，点、是关于对称轴对称，则，得到四边形的最短周长为时直线的解析式为：，进而得到满足条件的点和点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，，， 即二次函数的解析式为：． ∵点在抛物线上，即， ∴点的坐标为； （2）解：令，即，解得：，， ∴点，的坐标分别是，． 如图，过点作，垂足为点，设点坐标为，即， ∵， ∴与相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，即点的坐标为； （3）解：如图，由，两点可求得直线的解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， 过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于点，交轴于点，再连接， 由条件可知，点、关于对称轴对称，即 即四边形的周长， 故四边形的最短周长为：． ∵点，在直线上上， ∴直线的解析式为：， ∴存在满足条件的点、，点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识．综合性很强，难度较大，解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法． 类型六、与几何结合的综合题 核心思路 分析几何条件：提取图形中的几何信息（如线段长度、角度、面积、对称性、全等 / 相似关系等）； 转化为坐标信息：将几何量转化为坐标系中关键点的坐标（如交点、顶点、端点等），必要时设未知数表示坐标； 选择解析式形式：根据已知点的数量和特征，选择一般式（3 个点）、顶点式（顶点 + 1 个点）、交点式（与 x 轴交点 + 1 个点）； 列方程求解：代入坐标列方程（组），求出解析式参数，验证是否符合几何条件（注意多解情况）。 例6．（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 【答案】(1) (2)见解析； (3)，的最大值是20 【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可； （3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为， 将点代入解析式可得，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）证明：将直线与抛物线联立可得， 整理得； ∴， 直线与抛物线没有交点； （3）解：由题意得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴点G和点D关于抛物线对称轴对称， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称， 由（1）可得抛物线对称轴为直线， ， ，． ，即与的函数关系式是 当时，的值最大，的最大值是20． 变式6-1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)抛物线的解析式为______________； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定点C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）先确定点，则，然后用t表示出矩形的周长，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线所对应的函数表达是为： 当时，，则， 将O、C、E三点坐标代入函数表达式得： ， 解得：， 故抛物线所对应的函数表达式为：； （2）解：由（1）得：抛物线表达式为：， 则，，， ∵， ∴， 设矩形的周长为C， ∴， 化简得：， ∴， ∵． ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值是． 变式6-2．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在轴上，点，在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，矩形的性质，函数思想求最大值； （1）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入可求出的值，即可写出抛物线的解析式； （2）设点，用含的代数式表示出矩形的周长，用函数的思想求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积； 解题关键是用含的代数式表示出矩形的周长并用函数的思想求最大值． 【详解】（1）解：在抛物线中， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入，得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴点到对称轴的距离为，点到轴的距离为：， 由抛物线的对称性可得， ∴矩形的周长为：， 即， ∵， ∴当时，矩形周长存在最大值， 此时， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为． 类型七、抛物线问题，求解析式 拱桥、喷水（如喷泉、水流）等问题是二次函数在实际生活中的典型应用，其核心是将物体的轮廓或运动轨迹抽象为抛物线（二次函数图像），通过建立坐标系、确定关键点坐标，进而求解函数解析式并解决具体问题（如高度、距离等）。以下是详细的解题步骤和典型例题： 一、解题核心思路 建立平面直角坐标系： 根据物体形状或运动轨迹，选择合适的原点和坐标轴（原则：使关键点坐标简单，减少计算量）。 常见建系方式： 以抛物线的顶点（如拱顶、水流最高点）为原点； 以抛物线与地面的交点为原点（如拱桥的一端、喷水的起点）； 以对称轴为 y 轴（若图形对称，可简化解析式）。 确定关键点坐标： 从题目中提取关键信息，转化为坐标系中的点坐标： 拱桥：拱顶（顶点）坐标、桥面跨度（与 x 轴交点坐标）、某点的高度等； 喷水：喷水起点（抛出点）、最高点（顶点）、落地点（与 x 轴交点）等。 设二次函数解析式： 根据顶点是否已知，优先选择顶点式y = a(x - h)2 + k，若已知与 x 轴交点，也可选择交点式y = a(x - )(x - )。代入坐标求解析式： 将关键点坐标代入解析式，求出参数a（及(h, k)，若未知），确定函数表达式。 解决具体问题： 利用解析式求特定位置的高度、距离，或判断某点是否在轨迹上（如 “某物体能否通过拱桥”）。 例7．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，点B的坐标为，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半，即2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴这个抛物线的解析式为， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2米， 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度增加了米， 故选：C． 变式7-1．（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的有（   ） ①此抛物线的解析式是 ②篮圈中心的坐标是 ③此抛物线的顶点坐标是 ④篮球出手时离地面的高度是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解题的关键．对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数关系式为． ， ∴篮圈中心在抛物线上，故选项②正确； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，拋物线的顶点坐标是．故选项①正确，选项③错误； 设篮球出手时离地面的高度是. 令中， 可得． 可知篮球出手时离地面的高度是.故选项④错误． 则说法正确的有①②， 故选：C． 变式7-2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．先建立直角坐标系，求出函数解析式，根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 【详解】解：先以所在直线为轴建立直角坐标系，二次函数的图像过，设抛物线的解析式为， ， ， 抛物线解析式为：， 当时，， 当时，， 桶高米，设可以摆放个桶 ， 解得， 故至少要摆个桶， 故答案为：． 类型八、二次函数的一般应用，求解析式 二次函数模型的构建步骤（通用流程） 明确问题中的变量： 确定自变量（通常设为x，如长度、时间、数量等）和因变量（通常设为y，如面积、利润、高度等）。 分析变量之间的数量关系： 根据实际问题的背景（如几何公式、利润公式、运动规律等），找到y与x之间的等量关系。 建立二次函数解析式： 结合数量关系列出函数表达式，化简为标准形式（一般式y = ax² + bx + c、顶点式y = a(x - h)² + k等），并注明自变量x的取值范围（需符合实际意义，如长度为正、数量为整数等）。 利用二次函数性质解决问题： 根据解析式分析函数的最值、增减性等，结合实际问题需求（如求最大值、最小值、特定值对应的变量等）得出结论。 例8．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 变式8-1．（18-19九年级下·山东·课后作业）某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 【答案】（1）；（2）万元；（3）万元． 【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)= 10(1＋x)² ；(2)把x的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可. 【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)² ； (2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)² =14.4万元； (3) 依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+ 10(1＋x)²=36.4(万元). 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解． 变式8-2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种馒头的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5角．设这种馒头的单价为角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为角． (1)求与之间的函数表达式； (2)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当每个馒头单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大．最大利润为角． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的最值问题，能够根据题意找出等量关系，列出方程是解决此类题目的关键． （1）设每个馒头的利润为角，根据馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个，可知卖出的馒头个数为个；根据：利润=单个馒头利润×卖出馒头数量，可列出关系式； （2）将函数一般式转化为顶点式，求最值即可． 【详解】（1）解：每个馒头的利润为角，卖出的馒头个数为个 ∴， 即． （2）， ∴当时，y的最大值为 ∴当每个馒头单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大．最大利润为角． 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … 0 1 2 3 … y … 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是______，______，______； (2)求二次函数的表达式； 【答案】(1)，0； (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，二次函数的图象和性质等知识．掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由表格数据知，顶点坐标为，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，即可得出，即可求出n． （2）由待定系数法即可求解； 【详解】（1）解∶由表格数据知，顶点坐标为∶，即对称轴为直线 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故， 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称， 则， 解得： 故答案为∶ ，0； （2）解∶设抛物线的表达式为∶ ， 将代入上式得∶ ， 则． 故抛物线的表达式为∶ ； 2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的图象经过点和 (1)求该二次函数的解析式． (2)求该二次函数图象与x轴的另一个交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，因式分解法解一元二次方程. （1）把点和代入求解即可； （2）令，即，因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】（1）把点和代入， 得， 把代入，得， 解得， 所以该二次函数的解析式为． （2）令，即， 分解因式得， 则或， 解得，， 所以该二次函数图象与轴的另一个交点坐标为． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解； （2）令，解方程即可求得、点坐标； （3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， ∴设抛物线解析式为 代入，得 解得： ∴ （2）解：当时， 解得： ∴， （3）解：∵， 根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为． 4．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1) 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）由待定系数法即可求解； 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点， 设抛物线解析式为， 把代入抛物线可得， ， 解得， 抛物线解析式为； 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，点平移的性质，二次函数的图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）由（1）知二次函数的表达式为分别令求出，，结合图形即可解答； （3）根据题意分为当时，当时，当时，结合二次函数的最大值与最小值的差为，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵点，，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后， ∴点，的对应点坐标为， 由（1）知二次函数的表达式为， 令， 解得：， 令， 解得：， 如图：当点经过点时，恰好与的图象有交点， 则； 如图，当点经过点时，恰好与的图象有交点， 则； 综上，时，恰好与的图象有交点； （3）解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ①当时，即时， 二次函数的最大值为，最小值为， ∴， ∴(不合题意，舍去)； ②当时， 二次函数的最大值为，最小值为，或最大值为， ∴或， ∴或(不合题意，舍去)；或(不合题意，舍去)； 当时， 二次函数的最小值为，最大值为， ∴， ∴(不合题意，舍去)； 综上，n的值为． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，嘉琪在枯水期测得河道宽度米．河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为米．以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． 解决如下问题： (1)求河道轮廓的函数解析式，并求此时最大水深为多少米？ (2)在丰水期，测得水面到的距离为米． ①求此时水面截痕的长； ②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点E处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小球飞行轨迹的形状保持不变，要想让小球飞到河岸（即点A右侧）上，求嘉琪的小船至少要向右划行多少米？ 【答案】(1)，最大水深为米 (2)①米②至少要向右划行米 【分析】（1）过作轴交于，结合题意及抛物线的性质得，，设，将的坐标代入，求出最小值，即可求解； （2）①当时，解方程，即可求解； ②的中点为，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为，可得，，由对称性得，可设小球的轨迹抛物线的解析式为， 设向右划行米，小球落到点得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴交于， ， 由抛物线的对称性得， ， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ； 当时， ， 最大水深为（米）， 抛物线的解析式为，最大水深为米． （2）解：①水面到的距离为米， 当时， ， 解得：，， （米）， 答：此时水面截痕的长米； ②解：如图，的中点为，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为， ， 由①得， 小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过、， 、关于小球轨迹所在抛物线的对称轴对称， ，， ， 可设小球的轨迹抛物线的解析式为， ， 解得：， ， 设向右划行米，小球落到点， ， 将代入得： ， 解得：，， 故嘉琪的小船至少要向右划行米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数的性质，理解题意，能熟练利用待定系数法，二次函数的性质进行求解是解题的关键． 7．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）已知某桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式； (2)某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度． 【答案】(1) (2)桥拱下水面的宽度为 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点A，C的坐标，然后代入求解即可； （2）根据水面高度先求出点E，F的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，再最后求出的长． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴ ， 由题意得， 解得，． ∴点E的坐标为，点的坐标为， ∴， 答：桥拱下水面的宽度为． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某超市销售一种高档蔬菜“莼菜”，其进价为16元．经市场调查发现：该商品的日销售量 是售价（元）的一次函数，其售价、日销售量对应值如表： 售价（元） 20 30 40 日销售量 80 60 40 (1)求关于的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)为多少时，当天的销售利润（元）最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当为38元时，当天的销售利润（元）最大，最大利润为968元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的性质，包括由待定系数法求解一次函数解析式，二次函数解析式的求解，正确表示出函数关系式是解决本题的关键． （1）设出一次函数解析式，由待定系数法将时，和时，代入一次函数解析式求解即可； （2）先由（1）中关于的函数表达式以及利润的概念表示出利润（元）与售价（元）的函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵该商品的日销售量（kg）是售价（元）的一次函数， ∴设该一次函数解析式为， ∵时，；时，， ∴， 解得， ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵该高档蔬菜进价为16元， ∴该高档蔬菜的利润为元， 由（1）知，关于的函数表达式为， ∴， 当时，当天的销售利润（元）最大，最大利润为968元． 9．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出方程； （2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵， ∴， 所以； （2）解： ， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵，对称轴是直线， ∴当时，； 即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，且经过点．求： (1)该抛物线的表达式； (2)求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，正确得出二次函数解析式是解题关键． （1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组，求解即可； （2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标即可； 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为． 11．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，，当时，，且，为两个连续偶数，求的值； (3)该抛物线与直线（为常数且）相交于，两点，且在的左侧．若在范围内，的取值恰好有3个整数值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，确定直线经过定点是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由二次函数性质可得当时，；当或时，；即可求出， 或，最后根据，为两个连续偶数确定具体的值即可； （3）先求出直线经过定点，再判断在抛物线上，即可得到直线与抛物线一个交点为，则或，据此分情况讨论，再根据在范围内，的取值恰好有3个整数值确定的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得或， ∵开口向下， ∴当时，；当或时，； ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴或， ∵，为两个连续偶数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴直线经过定点， ∵当时， ∴在抛物线上， ∵抛物线与直线（为常数且）相交于，两点， ∴或， 当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，则， 当时，，直线经过点时，，解得； 当时，，直线经过点时，，解得； ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值； 同理当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，； ∵， ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值． 12．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，点、、、在抛物线上，其横坐标分别为、、、，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)当点与抛物线的顶点重合时，求点的坐标； (3)当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标； (4)连接，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当的边与轴垂直时，点的纵坐标为12，点的纵坐标为26或点的纵坐标为26，点的纵坐标为44 (4) 【分析】本题考查了二次函数解析式求解、顶点坐标、函数增减性及与矩形的综合应用．解题的关键是熟练运用二次函数性质，结合几何条件转化为代数问题求解，注意分类讨论和边界情况分析． （1）代入两点坐标列方程，求解得解析式． （2）求顶点坐标确定m，代入解析式得F坐标． （3）分平行于x轴，求m后算纵坐标． （4）确定矩形对角线的中点横坐标，结合抛物线增减性与对称轴，求m范围． 【详解】（1）将代入抛物线得； 将）和代入抛物线方程，得，解得 ∴抛物线解析式为． （2）∵， ∴顶点坐标为， ∵点E与顶点重合，且E横坐标为， ∴，得． ∴点F横坐标为，代入抛物线解析式得， 即． （3）抛物线对称轴为．当的边与y轴垂直时，边平行于x轴． 若轴，则C纵坐标为2，代入抛物线得，解得（舍去）．此时E横坐标为，纵坐标为；F横坐标为，纵坐标为． 若轴，则D纵坐标为2，代入抛物线得，解得（舍去）．此时E横坐标为，纵坐标为；F 横坐标为 ，纵坐标为 ． ∴点E的纵坐标为12，点F的纵坐标为26或点E的纵坐标为26，点F的纵坐标为44． （4）抛物线开口向上，对称轴， ∵点C与点F的横坐标分别为， ∴矩形的中点横坐标为， 当矩形中点在对称轴左侧时，矩形内抛物线主要部分在左侧，且满足y随x增大而减小， ∴，解得， 结合，得（如图）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 求二次函数解析式八类题型 典型详解 类型一、待定系数法求二次函数的一般式 类型二、用交点式求二次函数解析式 类型三、顶点式求二次函数解析式 类型四、求二次函数平移后的解析式 类型五、已知对称轴和点的坐标求解析式 类型六、与几何结合的综合题 类型七、抛物线问题，求解析式 类型八、二次函数的一般应用，求解析式 压轴专讲 类型一、待定系数法求二次函数的一般式 题型特征：题目明确给出二次函数图像上三个不同点的坐标（如(,)、（,)、(,)），无特殊点（顶点、与 x 轴交点等）。 解题思路：设解析式为一般式：y = ax2 + bx + c（a≠0）；将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组；解方程组，求出a、b、c的值；代入一般式，得到解析式。 变式情况：有些题目给出的解析式会会有两个或一个未知的系数，对应给到二次函数经过的点坐标也会有两个或一个，这样只需要将坐标代入一般式，得到关于未知系数的一次方程（组），只需要解出方程，即可得到解析式 例1．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 变式1-1．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标： (2)填空：要使该二次函数的图象与x轴有交点，应把图象沿y轴至少向下平移 个单位， 变式1-2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过两点． (1)求b和c的值． (2)当时，求y的取值范围． 类型二、用交点式求二次函数解析式 题型特征：抛物线与 x 轴的两个交点坐标（如(,)和(,)）；抛物线与 x 轴交点的两个横坐标；抛物线与 x 轴只有一个交点（即顶点在 x 轴上，此时= )，交点式可写为 y = a(x -)2，本质是顶点式的特殊情况）。 解题步骤： 1.（以两个不同交点为例）确定交点横坐标(,)和(,) 2. 从题目中提取抛物线与 x 轴交点的横坐标。代入交点式，设解析式： 根据和  写出解析式：y = a(x - )(x - ) 3. 找 “第三个点” 的坐标，求 a 的值 例2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4，连接交y轴于点C，连接，，点E是抛物线上一动点，的面积与的面积相等，则点E的横坐标为 ． 变式2-1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 变式2-2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 类型三、顶点式求二次函数解析式 当题目中出现以下信息时，优先用顶点式： 1. 直接给出顶点坐标（如 “顶点为（2，5）”）； 2. 给出对称轴和最值（如 “对称轴 x = -1，最大值为 3”→ 顶点为 (-1, 3)）； 3. 已知顶点和抛物线上另一个点（非顶点，用于求 a）； 4. 隐含顶点信息（如 “抛物线与 y 轴交点为最高点”→ 顶点在 y 轴上，即 (h = 0)）。 解题 “三步法” 步骤 1：确定顶点坐标((h, k)若直接给顶点，直接提取； 若给对称轴和最值：对称轴x = h，最值= k。 步骤 2：设顶点式解析式 代入 h, k，得到含参数 a 的表达式：y = a(x - h)2 + k 易错点：若 h 为负数（如 (h = -2)，则 x - h = x - (-2) = x + 2)，即解析式为 y = a(x + 2)2 + k（符号易出错，务必注意！）。 步骤 3：代入 “另一个点” 求 a题目必给抛物线经过的非顶点坐标(, )，代入解析式解出 a，再写出最终式。 例3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 变式3-1．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数的图像过点，顶点为，求函数解析式． 变式3-2．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是多少； (3)已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 类型四、求二次函数平移后的解析式 平移规律 (基于顶点移动)： 左右平移： h 控制。左加右减 于 x。 向左平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h - m ➔ 新函数：y = a[x - (h - m)]² + k = a(x - h + m)² + k 向右平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h + m ➔ 新函数：y = a[x - (h + m)]² + k = a(x - h - m)² + k 上下平移： k 控制。上加下减。 向上平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k + n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k + n) 向下平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k - n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k - n) 解题关键： 先找到顶点式或求出顶点坐标。 平移时紧紧抓住顶点的变化。对于标准式 y = ax² + bx + c，可以先配方法或直接用顶点公式求出顶点坐标 (h, k)，再应用平移规律。 例4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为 ． 类型五、已知对称轴和点的坐标求解析式 题型 1：已知对称轴、1 个点的坐标和最值（或顶点纵坐标） 特征：给出对称轴 x = h、1 个点  (, )，以及函数的最值（即顶点纵坐标 k）。 步骤： 1. 由对称轴确定 h，由最值确定 k，设顶点式：\(y = a(x - h)^2 + k\)； 2. 将已知点 (, )代入解析式，解出 a； 3. 代入 a、h、k，得到最终解析式。 题型 2：已知对称轴和 2 个点的坐标 特征：给出对称轴 x = h 和 2 个不同点 (, )、 (, )（这两个点可能关于对称轴对称，也可能不对称）。 步骤： 1. 由对称轴确定 h，设顶点式：y = a(x - h)2 + k（含未知参数 a、k； 2. 将两个点的坐标分别代入顶点式，得到关于 a、k 的二元一次方程组； 3. 解方程组求出a、k，代入顶点式得解析式。 例5．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 变式5-1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； 变式5-2．（2025·内蒙古包头·三模）已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 类型六、与几何结合的综合题 核心思路 分析几何条件：提取图形中的几何信息（如线段长度、角度、面积、对称性、全等 / 相似关系等）； 转化为坐标信息：将几何量转化为坐标系中关键点的坐标（如交点、顶点、端点等），必要时设未知数表示坐标； 选择解析式形式：根据已知点的数量和特征，选择一般式（3 个点）、顶点式（顶点 + 1 个点）、交点式（与 x 轴交点 + 1 个点）； 列方程求解：代入坐标列方程（组），求出解析式参数，验证是否符合几何条件（注意多解情况）。 例6．（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 变式6-1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)抛物线的解析式为______________； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 变式6-2．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在轴上，点，在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积． 类型七、抛物线问题，求解析式 拱桥、喷水（如喷泉、水流）等问题是二次函数在实际生活中的典型应用，其核心是将物体的轮廓或运动轨迹抽象为抛物线（二次函数图像），通过建立坐标系、确定关键点坐标，进而求解函数解析式并解决具体问题（如高度、距离等）。以下是详细的解题步骤和典型例题： 一、解题核心思路 建立平面直角坐标系： 根据物体形状或运动轨迹，选择合适的原点和坐标轴（原则：使关键点坐标简单，减少计算量）。 常见建系方式： 以抛物线的顶点（如拱顶、水流最高点）为原点； 以抛物线与地面的交点为原点（如拱桥的一端、喷水的起点）； 以对称轴为 y 轴（若图形对称，可简化解析式）。 确定关键点坐标： 从题目中提取关键信息，转化为坐标系中的点坐标： 拱桥：拱顶（顶点）坐标、桥面跨度（与 x 轴交点坐标）、某点的高度等； 喷水：喷水起点（抛出点）、最高点（顶点）、落地点（与 x 轴交点）等。 设二次函数解析式： 根据顶点是否已知，优先选择顶点式y = a(x - h)2 + k，若已知与 x 轴交点，也可选择交点式y = a(x - )(x - )。代入坐标求解析式： 将关键点坐标代入解析式，求出参数a（及(h, k)，若未知），确定函数表达式。 解决具体问题： 利用解析式求特定位置的高度、距离，或判断某点是否在轨迹上（如 “某物体能否通过拱桥”）。 例7．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的有（   ） ①此抛物线的解析式是 ②篮圈中心的坐标是 ③此抛物线的顶点坐标是 ④篮球出手时离地面的高度是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式7-2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶． 类型八、二次函数的一般应用，求解析式 二次函数模型的构建步骤（通用流程） 明确问题中的变量： 确定自变量（通常设为x，如长度、时间、数量等）和因变量（通常设为y，如面积、利润、高度等）。 分析变量之间的数量关系： 根据实际问题的背景（如几何公式、利润公式、运动规律等），找到y与x之间的等量关系。 建立二次函数解析式： 结合数量关系列出函数表达式，化简为标准形式（一般式y = ax² + bx + c、顶点式y = a(x - h)² + k等），并注明自变量x的取值范围（需符合实际意义，如长度为正、数量为整数等）。 利用二次函数性质解决问题： 根据解析式分析函数的最值、增减性等，结合实际问题需求（如求最大值、最小值、特定值对应的变量等）得出结论。 例8．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 变式8-1．（18-19九年级下·山东·课后作业）某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 变式8-2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种馒头的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5角．设这种馒头的单价为角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为角． (1)求与之间的函数表达式； (2)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？ 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … 0 1 2 3 … y … 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是______，______，______； (2)求二次函数的表达式； 2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的图象经过点和 (1)求该二次函数的解析式． (2)求该二次函数图象与x轴的另一个交点坐标． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 4．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，嘉琪在枯水期测得河道宽度米．河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为米．以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． 解决如下问题： (1)求河道轮廓的函数解析式，并求此时最大水深为多少米？ (2)在丰水期，测得水面到的距离为米． ①求此时水面截痕的长； ②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点E处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小球飞行轨迹的形状保持不变，要想让小球飞到河岸（即点A右侧）上，求嘉琪的小船至少要向右划行多少米？ 7．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）已知某桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式； (2)某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某超市销售一种高档蔬菜“莼菜”，其进价为16元．经市场调查发现：该商品的日销售量 是售价（元）的一次函数，其售价、日销售量对应值如表： 售价（元） 20 30 40 日销售量 80 60 40 (1)求关于的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)为多少时，当天的销售利润（元）最大？最大利润为多少？ 9．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 10．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，且经过点．求： (1)该抛物线的表达式； (2)求抛物线的顶点坐标． 11．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，，当时，，且，为两个连续偶数，求的值； (3)该抛物线与直线（为常数且）相交于，两点，且在的左侧．若在范围内，的取值恰好有3个整数值，求的取值范围． 12．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，点、、、在抛物线上，其横坐标分别为、、、，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)当点与抛物线的顶点重合时，求点的坐标； (3)当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标； (4)连接，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$