3.1.2 积的算术平方根及最简二次根式-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（湘教版2024）
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教辅
内容正文：
数 学
八年级上册 XJ
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第3章 二次根式
3
3.1
二次根式的概念及性质
课时2 积的算术平方根及最简二次根式
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基础
知识点1 积的算术平方根
1.［2025湖南常德期中］下列式子正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
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【解析】A选项，原式，故本选项错误．B选项，原式 ，
运算过程中，被开方数为非负数，故本选项错误．C选项，原式不能化简，故本选
项错误．D选项，原式 ，故本选项正确．故选D.
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2.［2025湖南怀化质检］计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
【解析】原式 ．故选C.
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3.若 成立，则( )
B
A.， B.， C., D.,
【解析】因为成立，所以， .故选B.
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4.设，，用含，的式子表示 ，则下列正确的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .
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5.［2025河南郑州期末］计算：
（1） ____;
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【解析】 .
（2） _____.
268
【解析】 .
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刷有所得
当被开方数是几个因数（或因式）积的形式时，把因数（或因式）中能写成完全
平方形式的写成完全平方形式，再开平方即可;当被开方数是和（或差）的形式时，
要把被开方数写成一个数或分解因式，再化简.
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知识点2 最简二次根式
6.［2024四川乐山期中］下列各式，，， ，
中，是最简二次根式的有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
归纳总结
最简二次根式的概念：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）.
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【解析】是最简二次根式；，不是最简二次根式； 是最
简二次根式；，不是最简二次根式； ，不是最简二
次根式，所以最简二次根式为①③，共2个.故选B.
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7. 开放性试题［2025四川自贡期中］写出一个二次根式，使这个二次根式
化成最简二次根式后，与 的被开方数相同，这个二次根式可以是_____________
_______________（写出满足条件的一个即可）．
（答案不唯一）
【解析】因为，所以满足题意．故答案为 （答案唯一）.
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8.［2025陕西西安期末］若，则二次根式 化为最简二次根式为
___________．
【解析】因为二次根式中，，所以 ，所以
，故答案为
．
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9.［2024湖南张家界期中］若是最简二次根式，则的值为___，
的值为____.
0
【解析】因为是最简二次根式，所以， ，所以
， .
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10.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进
行化简．
（1） ；
【解】 ,不是最简二次根式.
（2） ；
【解】 ,不是最简二次根式.
（3） ;
【解】 ,不是最简二次根式.
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（4） ;
【解】 ,不是最简二次根式.
（5） ；
【解】 ，不是最简二次根式.
（6） ；
【解】 ，不是最简二次根式.
（7） ；
【解】 是最简二次根式.
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（8） .
【解】 ，不是最简二次根式.
归纳总结
二次根式化成最简二次根式的步骤为“一分，二移，三化”：“一分”即将被开
方数的分子、分母都化成因数（或因式）的幂的形式；“二移”即把开得尽方的
因数（或因式）移到根号外；“三化”即把剩下的被开方数中的分母化去.
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11.［2025湖南郴州期末］已知，是整数，如果 是最简二次根式，求
的值及其平方根．
【解】因为是最简二次根式，所以，，解得 ，
，所以，所以的平方根为 ．
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提升
1.［2025上海长宁区期中，中］已知，那么 可化简为( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为，所以，所以 ，故选C.
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2.［2025河南洛阳质检，中］已知，，为整数，若 ,
,，则，， 的大小关系是( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为， ，
，所以，，，所以 ，故选D．
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3.［2025湖南邵阳期末，中］若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整
数 的值为___.
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【解析】因为为正整数，所以当时, 不是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式，所以二次根式 是最简二次
根式时，最小的正整数 的值为2，故答案为2．
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4.［中］已知为正整数，若 是整数，则根据
可知有最小值.设 为正整数，
若是大于1的整数，则 的最小值为___，最大值为____.
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【解析】
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5.［2025湖南长沙质检，中］若等式成立，则 的取值范围
是__________.
【解析】因为， ，所以
，即，所以 解得 .故答案为
.
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6.［中］先来看一个有趣的现象： .根号里的数2经过适
当地演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有
这一性质的数还有许多，如, 等.
（1）猜想： _ ___________________________________________，并验证
你的猜想.
【解】.验证:.
（2）请用只含一个正整数 的式子来表示含有上述规律的等式.
【解】 .
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（3）请你再写出1个具有“穿墙”性质的数.
【解】 .（答案不唯一）
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刷素养 走向重高
7.核心素养 运算能力［2025四川自贡期末，较难］我们知道，任意一个二次根式
为正整数)都可以进行这样的分解：，是正整数，且 .
在的所有这种分解中，如果最小，我们就称是 的最佳分解，
并规定：.例如可以分解成，或 ，显然
是的最佳分解，此时 .
（1）直接写出的最佳分解：_________， _ ___；
.
【解】可以分解为,,,，显然 是
的最佳分解，此时 .故答案为
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（2）若正整数，满足，，且，求
的值.
【解】因为，所以可设，其中 为正整数,所以
.因为，所以 .
因为，所以是一个正整数的平方数.因为 ，所以
，所以，所以 .
思路分析
（2）可设，其中为正整数.由 可得
，由可求出，进而可求出 的值.
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