3.1.1 二次根式的概念及性质-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（湘教版2024）
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教辅
内容正文：
数 学
八年级上册 XJ
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第3章 二次根式
3
3.1
二次根式的概念及性质
课时1 二次根式的概念及性质
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基础
知识点1 二次根式的概念
1.下列各式：；；；；； ；
；； 中，二次根式有( )
B
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
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【解析】是二次根式；的被开方数小于0，不是二次根式； 不符
合二次根式的概念,不是二次根式；，因为，所以 ，所
以，被开方数小于0，不是二次根式；，因为 ，所以
，被开方数大于0,是二次根式；，因为 ，所以
，所以,被开方数大于0，是二次根式； 是二次根式；
，当时不是二次根式；，当,即 时，不是二次根
式.故选B.
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易错警示
判断二次根式时无需化简，不能因为 就说它不是二次根式.
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2.［2024上海浦东新区期中］下列各式中，一定是二次根式的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】A、B、C选项，被开方数可能为负数，二次根式无意义，故错误；D选项，
可以变形为，被开方数一定为正数，所以 一定为二次
根式.
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知识点2 二次根式有意义的条件
3.［2024湖南长沙期中］下列各数中，使得有意义的 的值是( )
A
A.1.5 B. C. D.
【解析】由题意得，，解得 ，所以只有A选项符合题意，故选A.
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4.若 有意义，则 的值是___.
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【解析】由题意可知解得所以 .
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5.［2025湖南邵阳期中］下列二次根式中，当 取何值时，各式有意义？
（1） ；
【解】根据二次根式有意义的条件可得，解得，所以 时，
有意义.
（2） ；
【解】根据二次根式有意义的条件可得.因为,所以 ,所
以为全体实数时， 有意义.
（3） .
【解】根据二次根式有意义的条件可得 0,解得 .根据分式有意义的
条件可得，解得，所以且时， 有意义.
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归纳总结
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；分式有意义的条件是分母不为零.
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知识点3
6.［2025山东菏泽期末］ 的算术平方根是( )
C
A.7 B. C. D.
【解析】，7的算术平方根是 ，故选C.
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7.［2025湖南衡阳质检］____, ___．
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【解析】 ,
.
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知识点4
8.若，则 满足的条件是( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为，所以，即 ，故选A.
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9.［2025湖北孝感期中］化简： _______．
【解析】因为，所以 ，所以
．故答案为 ．
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10.［2025四川乐山期末］已知实数, 在数轴上的位置如图所示，则化简
的结果为______．
【解析】观察数轴得，所以， ,所以
，
故答案为 .
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刷易错
易错点 利用化简时，不考虑被开方数 的范围致错
11.求代数式的值，其中 .以下分别是小亮和小芳的解
答过程.
小亮：原式 .
小芳：原式 .
（1）______的解法是错误的.
小芳
【解析】因为，所以,所以 ，故
小芳的解法是错误的，故答案为小芳.
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（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：__________.
【解析】错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： .
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（3）求代数式的值，其中
【解】.因为 ，所
以 ，所以原式
，即代
数式 的值是2 027.
易错警示
化简时，不能错误地得出，必须正确地得出，再根据 的范
围去绝对值.
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提升
1.［2025上海长宁区期中，中］化简 得( )
A
A.2 B. C. D.
【解析】依题意得，，所以，所以 ，故选A.
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2.［2025湖南娄底期末，较难］若等式
在实数范围内成立，其中，，是两两不同的实数，则 的值是( )
B
A.3 B. C.2 D.
思路分析
根据二次根式的性质，得到，，， ，
推出，，得到，代入等式即可求出，进而推出 ,
,再把 代入代数式即可求出答案.
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【解析】由二次根式的性质可得，，， ，
.由和可以得到.由和
可以得到，所以，所以，所以，即 .由于
，，是两两不同的实数，所以，.将 代入原式得,原式
.故选B.
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3.［中］已知，满足等式，则 __.
思路分析 二次根式双重非负性的应用
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4.［2025湖南株洲期末，中］已知是正整数， 是整数，则满足条件的所
有 的值为_______.
9,7,1
【解析】
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5.［2025辽宁沈阳期末，中］若，则 的取值范围是______．
【解析】因为，所以，所以 ，所以
，故答案为 ．
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6.［2025湖南湘潭期中，中］已知,满足 ，
，则 的值为____.
【解析】因为，当时， 不成立，所
以,则，解得.因为 ，所以
或0，解得或，所以.故答案为 .
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7.［中］若 满足关系式
，则 _____.
201
【解析】由题意可得所以所以 ，①
所以，所以 ，
，③ 联立①②③，解得所以 的值为201.故答案
为201.
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8.［2025福建福州质检，较难］【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个
连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方．
推理说明：
解：设，是连续的正整数 .
令，所以 ，
所以对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方．
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【类比猜想】 （1）小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是
较小数的平方．请你推理说明；
【解】设，是连续的正整数.令 ，所以
，所以任意两个连续正整数的乘积与
较小数的差是较小数的平方.
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【深入思考】 （2）若， 为两个连续奇数，
，，试推理说明 一定是偶数．
【解】因为，为两个连续奇数，，所以 ，所以
， 所以 ，
所以 一定是偶数．
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刷素养 走向重高
9.核心素养 运算能力［难］先观察下列等式，再回答下列问题：
① ；
② ；
③ .
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（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
【解】 .
验证： .
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（2）请你按照上面各等式反映的规律，计算： （仿照上面三个等式写出
过程）；
【解】 .
（3）请你用含 为正整数)的式子表示上面各等式反映的规律.
【解】 为正整数).
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