专题03 绝对值与相反数重难点题型专训（6个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题03 相反数与绝对值重难点题型专训 （6个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 化简多重符号 题型三 相反数与数轴的结合 题型四 求一个数的绝对值 题型五 绝对值的化简问题 题型六 绝对值的非负性 题型七 绝对值的几何意义 题型八 绝对值的其他应用 题型九 有理数的大小比较 题型十 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义（动点） 拓展训练四 绝对值的几何意义（最值） 拓展训练五 绝对值的其他应用综合 知识点一：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（2025·广西·模拟预测）5的相反数是（   ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数．根据相反数的定义，数值相等但符号相反的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：5的相反数是． 故选：A 2．（24-25七年级上·云南昆明·期末）若a的相反数是7，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题关键． 直接利用互为相反数的定义求解即可． 【详解】解：a的相反数是7，则a的值是：． 故答案为：． 知识点二：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（2025·广东中山·模拟预测）（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查有理数的化简，根据题意可知同号得正，异号得负，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·云南临沧·期中）化简= ． 【答案】16 【分析】本题考查了多重符号化简，解题关键根据相反数的意义化简即可． 【详解】解：， 故答案为：16． 知识点三：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可得． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】> 【分析】本题考查了有理数比较大小，掌握多重符合化简，绝对值的性质化简，有理数比较大小的方法是解题的关键． 先化简，再根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为： ． 知识点四：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东湛江·期末）计算的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉相关性质是解题的关键．根据化简绝对值即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）如果，那么a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，即一个数的绝对值等于它本身， ∴这个数是非负数，即， ∴， 故答案为：． 知识点五：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知，则、的值是（   ） A．， B．，为任意值 C．， D．为任意值，， 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，掌握几个非负数的和等于，则每个非负数都为这个性质是解题的关键．根据绝对值和完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川资阳·期中）若则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值非负性的知识，解题的关键是掌握绝对值非负性的应用，根据题意，则，解出，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点六：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）一实验室检测A、B、C、D四个零件的质量（单位∶克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的零件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：，，，， 又， 从轻重的角度看，最接近标准的是选项B中的零件． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级上·四川眉山·单元测试）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 【答案】五 【分析】根据题意可知：质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的． 【详解】解:依题意,有 |−0.6|＜|+0.8|＜|−2.5|＜|−3.5|＜|+5| 由于“绝对值越小,距离标准越近” 所以质量接近标准的是五号排球． 【点睛】本题考查了正数与负数，解题的关键是熟练的掌握正数与负数的相关知识． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如果a与互为相反数，那么a等于是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据的相反数是，即可解答． 【详解】解：∵的相反数是，与互为相反数， ∴， 故选：B． 1．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）自主创新是我们攀登世界科技高峰的必由之路．全海深自主遥控潜水器“海斗一号”填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；5G移动通信技术率先实现规模化应用，数字经济蓬勃发展……硬核的成就、喜人的数据，见证着制造强国建设的铿锵步履．中国科学技术大学利用“墨子号”科学实验卫星，首次实现在地球上相距1200公里的两个地面站之间的量子态远程传输，对于人类构建全球化量子信息处理和量子通信网络迈出重要一步，如果a与1200互为相反数，那么a的值为（　　） A．1200 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】∵a与1200互为相反数， ∴a的值为． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）7的相反数是 ，是 的相反数，相反数是它本身的数是 ． 【答案】 / 0 【分析】本题考查相反数的定义，理解相反数的定义是解答的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】7的相反数是，是的相反数，相反数是它本身的数是0． 故答案为：，，0． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）用“”与“”表示一种法则：，如，则 ． 【答案】2023 【分析】本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律．根据新定义得到，，再计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：． 4．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）（1）分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 【答案】（1）7，；（2） 【分析】本题考查了相反数，解题关键是明确只有符号不同的两个数互为相反数． （1）根据相反数的意义求解即可； （2）根据相反数的意义求解即可． 【详解】解：（1）的相反数是7，的相反数是； （2）因为2.4与互为相反数， 所以a的值是． 【经典例题二 化简多重符号】 【例2】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的性质处理； 【详解】解：A. ，原化简错误，本选项不合题意； B. ，原化简错误，本选项不合题意； C. ，化简正确，本选项符合题意； D. ，原化简错误，本选项不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查相反数性质，掌握相反数的性质是解题的关键． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）（1） ；                 （2） ； （3） ；             （4） ． 【答案】 8 6 【分析】本题考查了符号的化简，同号得正，异号得负． 根据化简符号的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 3．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）化简： （1）是的相反数，则 ； （2） ； （3） ． 【答案】 -2.5 3.5 【分析】（1）根据相反数的定义求解即可； （2）根据相反数的定义求解即可； （3）根据相反数的定义求解即可； 【详解】解：（1）是的相反数，则-2.5； （2）3.5； （3）. 故答案为：（1）-2.5；（2）3.5；（3） 【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 4．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【经典例题三 相反数与数轴的结合】 【例3】（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）如图，数轴上点表示的数的相反数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，求一个数的相反数；根据数轴知点P表示的数为2，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知，数轴上点P表示的数为2，则其相反数为． 故选：C． 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）数轴上、两点（点在点左侧）之间的距离为8，且点与点表示的数互为相反数，则点表示的数为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的有理数表示、两点距离及相反数，根据题意可得A、B到原点的距离都为4，再结合点在点左侧，进而可求解． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数互为相反数，且A，B间的距离为8， ∴A、B到原点的距离都为4， ∵点在点左侧， ∴点B表示的数为， 故选：C． 2．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题．      （1）如果点A，表示的数互为相反数，那么点表示的数是 ； （2）如果点，表示的数互为相反数，那么点D表示的数是 【答案】 【分析】本题考查了有理数与数轴，相反数意义，解题的关键是根据题意找准各点表示的数． （1）根据数轴可知，，结合题意可知表示的数为，从而可求得点表示的数； （2）同理（1），可知表示的数为，从而可求得点D表示的数． 【详解】解：（1）由图可知：，， 点A，表示的数互为相反数， 表示的数为， 表示的数为， 故答案为：； （2）由图可知：，， 点，表示的数互为相反数， 表示的数为， 表示的数为， 故答案为：； 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，点表示的数是1，一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数为 ．    【答案】0 【分析】本题主要考查了相反数、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．首先确定点表示的数是，再根据“向右移动，加；向左移动，减”的原则，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数， ∵点表示的数是1， ∴点表示的数是， 一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度， 此时该点表示的数为， 再向左移动4个单位长度到达点， 则点表示的数为． 故答案为：0． 4．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）如图，数轴上点A和点B表示的数互为相反数． (1)标出数轴上的原点O； (2)把，，，各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)数轴表示见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数及利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握用数轴表示有理数的方法及数轴上点的特点是解题的关键． （1）根据相反数的定义得到点O的位置即可， （2）根据在数轴表示有理数的方法表示出有理数，再根据数轴上点的特点即可比较大小． 【详解】（1）解：∵点A和点B表示的数互为相反数，且相距个单位长度， ∴原点在点的右边个单位长度处，如图所示； （2）解：，， 在数轴上表示为： 用小于号连接为：． 【经典例题四 求一个数的绝对值】 【例4】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）8的绝对值是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数绝对值的求解能力，运用实数绝对值的性质进行求解． 【详解】解：， 故选：A． 1．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的值等于（    ） A．8 B．−2或−8 C．8或−8 D．2或−2 【答案】B 【分析】由绝对值得到的值，即可求出答案． 【详解】解：由于，， 故， 当时，符合题意，此时； 当时，，不符合题意； 当时，符合题意，此时； 当时，，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查绝对值的计算，熟练掌握绝对值知识点是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）绝对值小于6的所有整数的积是 ． 【答案】0 【分析】找出所有绝对值小于6的整数，求出之积即可． 【详解】解： 绝对值小于6的整数有：，， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了绝对值的求法，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如果，那么 ；如果 ，那么 ． 【答案】 3 【分析】根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， ； ， ， ， 故答案为：，3． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是明确绝对值是在数轴上，表示这个数的点到原点的距离． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）若，，，…，照此规律试求： (1)______； (2)计算； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）（2）（3）根据有理数的减法法则以及绝对值的意义计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【经典例题五 绝对值的化简问题】 【例5】（2025七年级上·云南·专题练习）下列各式中，化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、绝对值等知识点，掌握相关的定义是解答本题的关键． 根据相反数的定义和绝对值的定义化简即可解答． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的数从左到右越来越大，绝对值的化简和去括号，根据相关知识点一一计算，得到正确答案，解题的关键是要正确的去掉绝对值； 【详解】解：由数轴可知： ∴； ∴原式， ， ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·北京·期中）化简： 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的化简，根据多重符号的化简方法及绝对值的定义化简即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：，，，． 3．（24-25七年级上·广东汕头·期中）化简： ． 【答案】1 【分析】根据绝对值的定义即可得出答案，去掉绝对值再计算． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 【经典例题六 绝对值的非负性】 【例6】（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知m表示有理数，则一定是（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．零 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值．根据负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可得答案． 【详解】解：是有理数，则一定是0或正数， 故选：B． 2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）式子的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握此知识点是解此题的关键．根据绝对值的非负性知的最小值是0，得的最小值是2． 【详解】∵，， ∴， ∴的最小值是2． 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若与互为相反数，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题考查相反数，绝对值的非负性，有理数的混合运算，掌握新定义的法则，是解题的关键： （1）根据相反数的定义和绝对值的非负性，求出的值，再利用新运算的法则，进行计算即可； （2）根据两点间的距离求出的值，相反数的定义求出的值，再利用新运算的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，且A，B两点的距离是7， ∴或， ∵y是的相反数， ∴， ∴当时： ； 当时： ． 【经典例题七 绝对值的几何意义】 【例7】（24-25七年级上·山东青岛·期末）是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 1．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握a，b在数轴上对应点的位置得出a距离原点的距离比b距离原点的距离小是关键． 根据数轴判断出a距离原点的距离比b距离原点的距离小，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； （3）数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ； （4）根据以上规律，数轴上表示a和b的两点之间的距离= ． 【答案】（1）3，3；（2）3，3；（3）4，4；（4） 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （2）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （3）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （4）根据上面计算的结果，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了数轴及绝对值，熟知数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：（1）由题知， 数轴上表示2和5的两点之间的距离是：， 故答案为：3，3 （2）由题知， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：3，3 （3）由题知， 数轴上表示1和的两点之间的距离是：，． 故答案为：4，4 （4）根据以上规律可知， 数轴上表示a和b的两点之间的距离 故答案为： 【经典例题八 绝对值的其他应用】 【例8】（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 依据题干给出的定义分情况列式计算即可； 【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6， 则； 依次输入2，6，3， 则； 依次输入3，2，6， 则； 依次输入3，6，2， 则； 依次输入6，3，2， 则； 依次输入6，2，3， 则； 综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故选：C． 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……，以此类推，则的值为（    ） A． B．1011 C． D． 【答案】A 【分析】分别求出的值，观察其数值的变化规律，进而求出的值． 【详解】解：根据题意可得， ⋯． 观察其规律可得， 故选：A． 【点睛】本题考查了数的变化规律，通过计算前面几个数的数值观察其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 2．（2025七年级上·四川内江·专题练习）求的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．注意当的值不明确时，要分情况讨论是解题的关键． 根据绝对值均大于等于的性质，对的大小进行分情况讨论，去掉绝对值后，再进行比较大小，再求最小值． 【详解】解：当时，原代数式①； 当时，原代数式②； 当时，原代数式③； 据以上可得，且； 所以当时，原代数式取得最小值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）当满足 条件时，有最小值，这个最小值是 ． 【答案】 5 【分析】分，，三种情况计算． 【详解】当时， ； 当时， ； 当时， ； 故当时，有最小值，且最小值为5， 故答案为：，5． 【点睛】本题考查了分类思想，绝对值的化简，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 4．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 【经典例题九 有理数的大小比较】 【例9】（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列数中，比小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，是解决问题的关键．把、、、分别与比较大小，逐一判断即得． 【详解】A. ， ∵， ∴A不合题意； B. ， ∵， ∴B不合题意； C. ， ∵， ∴C不合题意； D. ， ∵， ∴D符合题意． 故选：D． 1．（24-25七年级上·重庆南川·期末）如表记录的是金佛山入冬以来连续四周的平均气温，请问周平均气温最低的是（    ） 记录周次 第一周 第二周 第三周 第四周 平均气温 A．第一周 B．第二周 C．第三周 D．第四周 【答案】D 【分析】根据①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数进行比较，进而可得答案． 【详解】解：-4＜-2＜0＜3， 因此第四周气温最低， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数比较大小的法则． 2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若、、、四个数满足，用“”表示、、、四个数的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据题意可设，得，进而可得的值，比较大小，即可求解． 【详解】解：设 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，首先化为，，根据，即可得出结果． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）画出数轴，并解答下列问题： (1)在数轴上表示下列各数： ，3，5， ，； (2)利用数轴比较上面各数的大小，并用“”连接． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）画出数轴，在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴，数轴从左往右越来越大，排序即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）按照大小排序如下：． 【点睛】此题考查了数轴问题，有理数的大小比较，解题的关键是画出数轴并根据数轴的性质排序即可． 【经典例题十 有理数大小比较的实际应用】 【例10】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）以下四个城市中某天平均气温最低的城市是（   ） 北京 哈尔滨 广州 上海 A．北京 B．哈尔滨 C．广州 D．上海 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键．根据有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：， 四个城市中某天中午12时气温最低的城市是哈尔滨． 故选：B． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如下表，检测四个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，某教练想从这四个排球中挑一个最接近标准的排球作为赛球，则应选（   ） 1号 2号 3号 4号 A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】C 【分析】本题考查有理数比较大小的实际应用，比较四个数的绝对值的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴最接近标准的排球为3号； 故选C． 2．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）如图，小康在超市买了4颗玻璃球，每个玻璃球在天平秤上称得的质量如下（其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，单位：）．从轻重的角度看，则质量最轻的球上标的数为 ．    【答案】 【分析】比较有理数大小即可求解． 【详解】解：∵， ∴质量最轻的球上标的数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正负数的含义，有理数的大小比较，掌握有理数大小比较法则是解本题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了新定义，有理数的大小比较，根据新定义判断即可． 【详解】根据表示大于的最小整数可得： ，结论①正确； ，则没有最小值，最大值为1，故②错误，③正确； 令，由，则可以表示成（为整数）的形式，故④正确； 若整数满足，则，则或，故⑤错误； 故答案为：①③④． 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）某仓库原有某种货物库存270千克，现规定运入为正，运出为负，一天中七次出入如表（单位：千克） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -30 +82 -19 +102 -96 +34 -28 (1)判断在第几次后库存量最大，说明相应理由． (2)求这一天最终库存量． (3)若运进货物与运出货物的装卸费都为每千克0.3元，问这一天装卸费需多少元？ 【答案】(1)四，理由见解析 (2)315 (3)117.3元 【分析】（1）根据表格数据即可求解； （2）根据表格数据相加计算即可求解； （3）根据总价=单价×数量计算即可求解． 【详解】（1）∵所有数据中+102最大 ∴在第四次纪录时库存最多． （2）． 答：最终这一天库存增加了45千克． （3） （元）． 答：这一天需装卸费用是117.3元． 【点睛】此题考查了正数和负数，有理数加减混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 【拓展训练一 相反数的结论综合】 1．（2025七年级上·四川眉山·模拟预测）下列说法：①若、互为相反数，则；②若，则、互为相反数；③若、互为相反数，则；④若，则、互为相反数．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的相关知识，熟知“分母为零时，分数无意义”是解题的关键．根据相反数的定义对各结论逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：①若、互为相反数，则，正确； ②若，则、互为相反数，正确； ③若、互为相反数，则，当时，该结论不成立，故③错误； ④若，则，故、互为相反数，正确． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）下列结论：①若，则；②若，则，③若，则，④若，则；⑤已知，，均为非零有理数，若，则的值为2或．其中，错误的结论是 （填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：或或或， 当时，原式； 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：②③④． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）学习了绝对值的概念后、我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，．根据以上阅读完成下面的问题： (1)________． (2)若有理数，则_______． (3)请利用你探究的结论计算下面的式子：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】此题考查了绝对值．熟练掌握绝对值的代数意义，相反数意义，有理数加减法法则，是解本题的关键． （1）原式利用绝对值的代数意义化简，计算，即可求出值； （2）判断的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算，即可求出值； （3）原式利用绝对值的代数意义化简，再根据有理数的加减法合并，最后计算即可求出值． 【详解】（1）， 故答案为：1； （2）∵, 即， ∴， 故答案为：； （3）原式 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若有理数a、b满足等式，则有理数a、b在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴和绝对值，由可知，，，所以，然后根据数轴上a和b的位置判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 只有选项C符合． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，正负数，绝对值，判断出，，是解题的关键． 根据数轴得到，，进一步判断出，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，， ， 故答案为： 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【答案】(1)3 (2)，3或 (3)3 (4)或3 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义．绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意直接求点A、B之间的距离即可； （2）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （3）由点在线段上，可得，计算求解即可； （4）由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点A、B之间的距离为， 故答案为：3； （2）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得：或， 故答案为：或3； （3）解：∵点在线段上， ， 故答案为：3． （4）解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3， 故答案为：或3． 【拓展训练三 绝对值的几何意义（动点）】 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知在数轴上有三点，点表示的数是，点表示的数是，是动点．若的最小值是5，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了两点之间的距离，绝对值的意义，解一元一次方程等知识，根据题意可知，当点C在之间时，有最小值，最小值为：，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当点C在之间时，有最小值， 最小值为：， ∴，或 解得：或， 故答案为：2或 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等． (1)则数轴上原点对着直尺上的刻度是　　，点A在数轴上表示的数是　　； (2)现有一个P点从A点向左以4个单位长度/秒的速度沿负半轴运动，Q点从B点向右以2个单位长度/秒的速度沿正半轴运动，将数轴沿着数轴上表示的点对折，问对折后P、Q两点何时相距2个单位长度； (3)数轴上一动点M直接写出点M到A、B之间（包括A、B两点）所有整数点的距离和的最小值为 ． 【答案】(1)5， (2)运动时间为1秒或3秒时，P、Q相距2个单位长度； (3)12 【分析】（1）根据题意得到原点是点A和点B的中点，进而列式求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列出一元一次方程求解即可； （3）根据题意得到当点M和原点重合时，点M到A、B之间（包括A、B两点）所有整数点的距离和最小，然后列式求解即可． 【详解】（1）根据题意可得， 数轴上原点对着直尺上的刻度是， 点A在数轴上表示的数是， 故答案为：5，； （2）设P点和Q点的运动时间为t， 根据题意可得， 当点P到的距离比点Q到的距离小2时， ， 解得； 当点P到的距离比点Q到的距离大2时， ， 解得． 综上所述，当运动时间为1秒或3秒时，P、Q相距2个单位长度； （3）根据题意可得， 当点M和原点重合时，点M到A、B之间（包括A、B两点）所有整数点的距离和最小， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，理解题意，正确进行计算是解题的关键． 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题，数轴上，若、两点分别表示数、，那么、两点之间的距离与，两数的差有如下关系：． 【问题解决】 如图，数轴上的点、分别表示有理数，． （1）、两点之间的距离为________； （2）点为数轴上一点，在点的左侧，且，则点表示的数是________； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，、两点间的距离为个单位长度？ （4）利用以上知识探索：直接写出当代数式有最小值时的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4） 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出结果即可； （2）根据点为数轴上一点，在点A的左侧，且，点A表示的数为，求出点C表示的数即可； （3）分两种情况，当点向右运动时，当点向左运动时，分别列出方程，解方程即可； （4）根据绝对值的几何意义，即可求解．． 【详解】（1）解：由题意可得， A，两点之间的距离为：； 故答案为：． （2）解：∵点为数轴上一点，在点A的左侧，且，点A表示的数为， ∴点表示的数为：； 故答案为：． （3）解：当点向右运动时， 根据题意，得：， 解得； 当点向左运动时， 根据题意，得：， 解得， 故当或时，，两点之间的距离为12个单位长度； （4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， ∴当时，， ∴当满足时，代数式有最小值为7． 【拓展训练四 绝对值的几何意义（最值）】 1．（24-25七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和，当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，即可解答； （2）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差，当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，即可解答． 【详解】解：∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和， ∴当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，最小值为． ∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差， ∴当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，最大值为． 故选：C 2．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． ∴的最大值为14，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 【答案】问题解决：（1）点与点之间的距离；（2）；关联运用：（1）；（2）；（3）或；（4）的值是一个定值时，的值为． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 问题解决：（1）的几何意义是点与点之间的距离； （2）根据距离公式可得； 关联运用：（1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值，已知，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）运用四：时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【详解】问题解决： 解：（1）的几何意义是点与点之间的距离， 故答案为：点与点之间的距离； （2）由题意得： 表示的数为，点在数轴上表示的数为， 则与之间的距离， 故答案为：； 关联运用： （1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为， 故答案为：； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值， 时，或， 故当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （4）运用四：点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 【拓展训练五 绝对值的其他应用综合】 1．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数以及绝对值的综合应用．解题的关键是熟练掌握求正负数的绝对值，比较有理数的大小． 求出四个选项中足球上面的数的绝对值，比较大小，超过或不足标准质量克数的绝对值越小越接近标准质量，可得答案． 【详解】解：A、 B、 C、 D、． ∵， ∴与标准质量偏差最小的是C． 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建莆田·期末）已知整数，，，，满足下列条件∶，，，，，(n为正整数)依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，计算出前几个数的结果，然后观察即可发现数字的变化特点，从而可以计算出的值． 【详解】， ， ， ， ， ， ， 由上可得，从第二个数开始，每两个为一组，依次出现，，，，，，，并且偶数个数的结果是这个数除以2的结果的相反数，奇数个数的结果与前面偶数个数的结果相同． 因为， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化类规律，解题的关键数明确题意，发现数字的变化特点． 3．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【分析】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，数轴上点表示的数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，以及相反数，根据数轴得出数轴上点表示的数为，结合相反数的定义：只有符合不同的两个数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：数轴上点表示的数为， 则的相反数是2， ∴数轴上点表示的数的相反数是2， 故选A． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的加法，先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，； ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）下面各对数：与；与；与；与；与；与．其中，互为相反数的有（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义．根据相反数的定义，绝对值相等且符号不同的两个数互为相反数．逐一计算各对数的值并判断是否互为相反数即可． 【详解】解：与：，互为相反数； 与：两者相等，不互为相反数； 与：，互为相反数； 与：，两者相等，不互为相反数； 与：，两者相等，不互为相反数； 与：，互为相反数； 综上，符合条件的有3对， 故选A． 4．（24-25七年级上·四川简阳·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的性质，利用绝对值的意义，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 【详解】解：如图，根据题意，得， A、∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； B、∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； C、∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； D、根据题意，得， ∴， ∴， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，绝对值的意义，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键． 5．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 6．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 3 4 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值．只有符号不同的两个数互为相反数，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0；根据相反数，绝对值的定义进行解答即可． 【详解】解：的相反数是3， ． 故答案为：3；4． 7．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据的取值范围，结合绝对值的性质，可得，整理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）比较大小： ， ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，有理数的大小比较，根据负数的绝对值越大的数反而越小，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴； ∵，且， ∴； ∵，且， ∴， ∵且 ∴ 故答案为：，，， 9（2025·河北石家庄·模拟预测）若a，b互为相反数，则（1） ；（2）当，则 ． 【答案】 0 / 【分析】根据相反数的性质计算即可． 【详解】∵a，b互为相反数，则（1）0， 故答案为：0． （2）∵，则0-a= -()=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 10．（24-25七年级上·四川成都·期末）数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示O的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值x为 ． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查了数轴，绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 根据绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：∵表示数轴上x与1之间的距离，表示数轴上x与4之间的距离， ∴时，表示数x的点到表示数1和4的点之间的距离最小， ∴整数x为1，2，3，4， 故答案为：1，2，3，4 11．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）求下列各数的绝对值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)． 【答案】(1)6 (2)4.7 (3) (4)2024 (5)0 (6) 【分析】本题主要考查绝对值．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的定义即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 12．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比较有理数的大小，解题关键是熟练掌握比较有理数大小法则：正数>零>负数，两个负数，绝对值大的，反而小． （1）根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可； （2）先化简各数，再根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）解：，， 因为，所以， 即． 13．（2025七年级上·浙江·专题练习）已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，|c﹣5|＝0，求a，b，c的值各是多少？ 【答案】 【分析】根据题意可得|a﹣2|+|b﹣3|＝0，再根据非负数的性质可求得a、b以及绝对值的意义可求得c． 【详解】解：∵|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数， ∴|a﹣2|+|b﹣3|＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3， ∵|c﹣5|＝0， ∴c﹣5＝0，解得c＝5． 【点睛】本题考查了非负数的性质、互为相反数以及绝对值的意义，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解答本题的关键． 14．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数与绝对值重难点题型专训 （6个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 化简多重符号 题型三 相反数与数轴的结合 题型四 求一个数的绝对值 题型五 绝对值的化简问题 题型六 绝对值的非负性 题型七 绝对值的几何意义 题型八 绝对值的其他应用 题型九 有理数的大小比较 题型十 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义（动点） 拓展训练四 绝对值的几何意义（最值） 拓展训练五 绝对值的其他应用综合 知识点一：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（2025·广西·模拟预测）5的相反数是（   ） A． B．0 C．1 D．5 2．（24-25七年级上·云南昆明·期末）若a的相反数是7，则a的值是 ． 知识点二：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（2025·广东中山·模拟预测）（   ） A． B．2 C． D．1 2．（24-25七年级上·云南临沧·期中）化简= ． 知识点三：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）（   ） A． B． C．3 D． 2．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）比较大小： ．（填“”“”或“”） 知识点四：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东湛江·期末）计算的结果是（   ） A．0 B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）如果，那么a的取值范围为 ． 知识点五：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知，则、的值是（   ） A．， B．，为任意值 C．， D．为任意值，， 2．（24-25七年级上·四川资阳·期中）若则 ． 知识点六：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）一实验室检测A、B、C、D四个零件的质量（单位∶克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的零件是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·单元测试）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如果a与互为相反数，那么a等于是（　　） A． B．4 C． D． 1．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）自主创新是我们攀登世界科技高峰的必由之路．全海深自主遥控潜水器“海斗一号”填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；5G移动通信技术率先实现规模化应用，数字经济蓬勃发展……硬核的成就、喜人的数据，见证着制造强国建设的铿锵步履．中国科学技术大学利用“墨子号”科学实验卫星，首次实现在地球上相距1200公里的两个地面站之间的量子态远程传输，对于人类构建全球化量子信息处理和量子通信网络迈出重要一步，如果a与1200互为相反数，那么a的值为（　　） A．1200 B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）7的相反数是 ，是 的相反数，相反数是它本身的数是 ． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）用“”与“”表示一种法则：，如，则 ． 4．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）（1）分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 【经典例题二 化简多重符号】 【例2】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）（1） ；                 （2） ； （3） ；             （4） ． 3．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）化简： （1）是的相反数，则 ； （2） ； （3） ． 4．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题三 相反数与数轴的结合】 【例3】（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）如图，数轴上点表示的数的相反数为（ ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）数轴上、两点（点在点左侧）之间的距离为8，且点与点表示的数互为相反数，则点表示的数为（   ） A． B． C．4 D．8 2．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题．      （1）如果点A，表示的数互为相反数，那么点表示的数是 ； （2）如果点，表示的数互为相反数，那么点D表示的数是 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，点表示的数是1，一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数为 ．    4．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）如图，数轴上点A和点B表示的数互为相反数． (1)标出数轴上的原点O； (2)把，，，各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来． 【经典例题四 求一个数的绝对值】 【例4】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）8的绝对值是（   ） A．8 B． C． D． 1．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的值等于（    ） A．8 B．−2或−8 C．8或−8 D．2或−2 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）绝对值小于6的所有整数的积是 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如果，那么 ；如果 ，那么 ． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）若，，，…，照此规律试求： (1)______； (2)计算； (3)计算． 【经典例题五 绝对值的化简问题】 【例5】（2025七年级上·云南·专题练习）下列各式中，化简正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·北京·期中）化简： 3．（24-25七年级上·广东汕头·期中）化简： ． 4．（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【经典例题六 绝对值的非负性】 【例6】（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知m表示有理数，则一定是（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．零 2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）式子的最小值是 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若与互为相反数，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【经典例题七 绝对值的几何意义】 【例7】（24-25七年级上·山东青岛·期末）是（   ） A．2025 B． C． D． 1．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 4．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； （3）数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ； （4）根据以上规律，数轴上表示a和b的两点之间的距离= ． 【经典例题八 绝对值的其他应用】 【例8】（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……，以此类推，则的值为（    ） A． B．1011 C． D． 2．（2025七年级上·四川内江·专题练习）求的最小值是 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）当满足 条件时，有最小值，这个最小值是 ． 4．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【经典例题九 有理数的大小比较】 【例9】（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列数中，比小的数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·重庆南川·期末）如表记录的是金佛山入冬以来连续四周的平均气温，请问周平均气温最低的是（    ） 记录周次 第一周 第二周 第三周 第四周 平均气温 A．第一周 B．第二周 C．第三周 D．第四周 2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若、、、四个数满足，用“”表示、、、四个数的大小关系为 ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）比较大小： ． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）画出数轴，并解答下列问题： (1)在数轴上表示下列各数： ，3，5， ，； (2)利用数轴比较上面各数的大小，并用“”连接． 【经典例题十 有理数大小比较的实际应用】 【例10】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）以下四个城市中某天平均气温最低的城市是（   ） 北京 哈尔滨 广州 上海 A．北京 B．哈尔滨 C．广州 D．上海 1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如下表，检测四个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，某教练想从这四个排球中挑一个最接近标准的排球作为赛球，则应选（   ） 1号 2号 3号 4号 A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 2．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）如图，小康在超市买了4颗玻璃球，每个玻璃球在天平秤上称得的质量如下（其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，单位：）．从轻重的角度看，则质量最轻的球上标的数为 ．    3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）某仓库原有某种货物库存270千克，现规定运入为正，运出为负，一天中七次出入如表（单位：千克） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -30 +82 -19 +102 -96 +34 -28 (1)判断在第几次后库存量最大，说明相应理由． (2)求这一天最终库存量． (3)若运进货物与运出货物的装卸费都为每千克0.3元，问这一天装卸费需多少元？ 【拓展训练一 相反数的结论综合】 1．（2025七年级上·四川眉山·模拟预测）下列说法：①若、互为相反数，则；②若，则、互为相反数；③若、互为相反数，则；④若，则、互为相反数．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）下列结论：①若，则；②若，则，③若，则，④若，则；⑤已知，，均为非零有理数，若，则的值为2或．其中，错误的结论是 （填写序号） 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）学习了绝对值的概念后、我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，．根据以上阅读完成下面的问题： (1)________． (2)若有理数，则_______． (3)请利用你探究的结论计算下面的式子：． 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若有理数a、b满足等式，则有理数a、b在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【拓展训练三 绝对值的几何意义（动点）】 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知在数轴上有三点，点表示的数是，点表示的数是，是动点．若的最小值是5，则的值为 ． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等． (1)则数轴上原点对着直尺上的刻度是　　，点A在数轴上表示的数是　　； (2)现有一个P点从A点向左以4个单位长度/秒的速度沿负半轴运动，Q点从B点向右以2个单位长度/秒的速度沿正半轴运动，将数轴沿着数轴上表示的点对折，问对折后P、Q两点何时相距2个单位长度； (3)数轴上一动点M直接写出点M到A、B之间（包括A、B两点）所有整数点的距离和的最小值为 ． 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题，数轴上，若、两点分别表示数、，那么、两点之间的距离与，两数的差有如下关系：． 【问题解决】 如图，数轴上的点、分别表示有理数，． （1）、两点之间的距离为________； （2）点为数轴上一点，在点的左侧，且，则点表示的数是________； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，、两点间的距离为个单位长度？ （4）利用以上知识探索：直接写出当代数式有最小值时的值． 【拓展训练四 绝对值的几何意义（最值）】 1．（24-25七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 2．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差是 ． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 【拓展训练五 绝对值的其他应用综合】 1．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建莆田·期末）已知整数，，，，满足下列条件∶，，，，，(n为正整数)依此类推，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，数轴上点表示的数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）下面各对数：与；与；与；与；与；与．其中，互为相反数的有（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 4．（24-25七年级上·四川简阳·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）的相反数是 ，的绝对值是 ． 7．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）已知，则的值为 ． 8．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）比较大小： ， ， ， ． 9（2025·河北石家庄·模拟预测）若a，b互为相反数，则（1） ；（2）当，则 ． 10．（24-25七年级上·四川成都·期末）数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示O的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值x为 ． 11．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）求下列各数的绝对值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)． 12．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 13．（2025七年级上·浙江·专题练习）已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，|c﹣5|＝0，求a，b，c的值各是多少？ 14．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $$