专题12 圆的面积及扇形-2025年新六年级数学暑假自学课（人教版）

2025年新六年级数学暑假自学课 专题12 圆的面积 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：圆的面积及应用 【典例分析01】 如图，将一个直径8厘米的圆形剪拼成一个近似的长方形。长方形的长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【变式训练01】圆的直径扩大到原来的两倍，它的半径和面积也就扩大到原来的两倍。( ) 【变式训练02】在一个长12厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【变式训练03】一个钟表的时针长8厘米，分针长10厘米，从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是( )，分针尖端走过的路程是( )。 【变式训练04】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【变式训练05】如图，李大爷靠墙用铁丝网围了一块半圆形菜地，铁丝网长12.56米，菜地的面积是多少平方米？ 知识点二：圆环的面积 【典例分析02】一个圆形花坛的半径是4米。 （1）花坛的面积是多少平方米？ （2）在花坛的周围铺一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【变式训练01】李明同学经过细心观察，发现不同车上的雨刷形状并不都是一样的。某款车上安装的雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净。如下图所示，李明测量了一下，这款车上雨刷摆臂长度50厘米，胶条长度30厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少？ 【变式训练02】杭州亚运主题公园的童星岛有一个互动踩踏钢琴，形状是一个环形，是在直径是8米的圆外面，围一圈2米宽的环形琴键，求环形琴键面积。 知识点三：圆中方和方中圆 【典例分析03】分别求图形中阴影部分的面积。（两个圆的直径都是4cm。） （1）                          （2） 【变式训练01】如图三个图形的阴影部分相比较，（     ）。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 【变式训练02】如图，把一个折叠方桌的桌面四边撑开，就成了圆桌，圆桌的半径是1米。折叠方桌和圆桌的面积比是（     ）。 A．4∶π B．π∶4 C．2∶π D．π∶2 【变式训练03】求阴影部分的面积。 【变式训练04】在一个面积是8平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 知识点四：含圆的组合图形的面积 【典例分析04】如图，直角三角形ABC的三条边长分别为6厘米、8厘米、10厘米，三个顶点A，B，C分别是三个半径相等的圆的圆心，阴影部分面积是多少？ 【变式训练01】图中四边形ABCD是平行四边形，BC是半圆的直径，O是圆心，求阴影部分面积。（单位：厘米） 【变式训练02】求下面图形中阴影部分的面积。 【变式训练03】计算下面阴影部分的面积。（单位：cm） 【变式训练04】求阴影部分的面积。 知识点五：扇形的认识 【典例分析05】下面图（     ）的涂色部分是扇形。 A． B． C． D． 【变式训练01】扇形有（     ）对称轴。 A．无数条 B．一条 C．没有 【变式训练02】下面图形中哪些角是圆心角？在（    ）里画“√”。 知识点六：画扇形 【典例分析06】画一个半径为2cm，圆心角为60°的扇形。 【变式训练01】①画一个直径是4厘米的圆。 ②再在圆中画一个圆心角是80°的扇形。 三、课后巩固 1．下面的图形中，（    ）是圆心角。 A． B． C． 2．用4个圆心角都是90°的扇形，一定可以拼成一个圆。( ) 3．半径是2厘米的圆，周长和面积一定相等。( ) 4．甲圆的半径是2分米，乙圆的半径是3分米，甲圆和乙圆直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。 5．用圆规画一个周长为50.24厘米的圆，圆规两脚间的距离是( )厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 6．周长相等的两个圆面积一定相等。( ) 7．把一个直径是20厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照图的样子拼起来，拼成图形的周长比原来圆的周长增加( )cm。 8．一个钟面上时针长2cm，分针长3cm，从6时到12时，分针针尖走过的路程是( )，时针扫过的面积是( )。 9．如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。 10．求下面图形中阴影部分的周长和面积。   11．如下图所示，张大爷利用一面墙，用篱笆围了一个直径10米的半圆形鸡舍。 （1）围成这个鸡舍至少要多长的篱笆？ （2）这个鸡舍的面积是多少平方米？ （3）如果将这个半圆形鸡舍的直径增加2米，这个鸡舍的面积将扩大多少平方米? 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【典例分析01】 12.56 50.24 【分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，；圆的面积公式：面积S＝，据此求解即可。 【详解】3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（厘米） 3.14× ＝3.14× ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 将一个直径8厘米的圆形剪拼成一个近似的长方形。长方形的长是12.56厘米，面积是50.24平方厘米。 【变式训练01】× 【分析】同一个圆中，直径是半径的2倍，即d＝2r，圆面积，据此判断即可。 【详解】d＝2r，则：圆的直径扩大到原来的两倍，它的半径也扩大到原来的两倍； ，则：圆的直径扩大到原来的两倍，它的面积扩大到原来的＝4倍。 故答案为：× 【变式训练02】18.84 28.26 【分析】根据题意，在长方形中画一个最大的圆，则这个最大圆的直径等于长方形的宽；根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝，代入数据计算，分别求出这个圆的周长和面积。 【详解】圆的周长： 3.14×6＝18.84（厘米） 圆的面积： 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 这个圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。 【变式训练03】 100.48平方厘米/100.48平方厘米 376.8厘米/376.8cm 【分析】从中午12时到下午6时，时针转了0.5圈，又因时针长8厘米，即时针所经过的圆的半径是8厘米，利用圆的面积公式S＝，即可求出时针所扫过的面积； 从12时到下午6时，分针正好转了6圈，又因分针长10厘米，即分针所经过的圆的半径是10厘米，从而利用圆的周长公式即可求出分针走过的路程。 【详解】3.14××0.5 ＝200.96×0.5 ＝100.48（平方厘米） 2×3.14×10×6 ＝62.8×6 ＝376.8（厘米） 即，时针扫过的面积是100.48平方厘米，分针尖端走过的路程是376.8厘米。 【点睛】解答此题的关键是明白，从中午12时到下午6时分针和时针转的圈数，再根据圆的面积公式与周长公式解决问题。 【变式训练04】47.44平方米 【分析】如图： 观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积＝长方形的面积－圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝，代入数据计算即可。 【详解】长方形草地的面积： 10×6＝60（平方米） 能吃到草的面积（圆的面积）： 3.14×× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 无法吃到的草地面积： 60－12.56＝47.44（平方米） 答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。 【点睛】画出图形帮助理解题意，先分析出羊能吃到草的面积是一个圆的面积，进而得出羊无法吃到的草地面积是由哪些图形面积相加或相减得到，再根据图形的面积公式解答。 【变式训练05】25.12平方米 【分析】铁丝网长就是圆周长的一半，圆的周长公式，由此可知：，据此代入数据求出半圆形菜地的半径，再根据圆的面积公式解答即可。 【详解】12.56×2÷3.14÷2 ＝25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 3.14×÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方米） 答：菜地的面积是25.12平方米。 【典例分析02】（1）50.24平方米 （2）28.26平方米 【分析】（1）根据圆的面积公式：S＝，代入数据，求出花坛的面积； （2）求这条小路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【详解】（1）3.14× ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：花坛的面积是50.24平方米。 （2）3.14×[－] ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这条小路的面积是28.26平方米。 【变式训练01】3297平方厘米 【分析】由图可知，内圆半径是50－30＝20（厘米），外圆半径为50厘米，整个圆环的面积为3.14×（502－202），再除以2即可解答。 【详解】50－30＝20（厘米） 3.14×（502－202）÷2 ＝3.14×（2500－400）÷2 ＝3.14×2100÷2 ＝6594÷2 ＝3297（平方厘米） 答：这种雨刷能刷到的面积是3297平方厘米。 【变式训练02】62.8平方米 【分析】根据环形的面积公式，先求，用8除以2即可，再用加2得到R，代入数据计算即可得解。 【详解】3.14×[－] （平方米） 环形琴键面积是62.8平方米。 【典例分析03】（1）3.44平方厘米；（2）4.56平方厘米 【分析】（1）观察图形可知，正方形的边长与圆的直径相等；阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；根据正方形的面积公式S＝，圆的面积公式S＝，代入数据计算求解； （2）如下图，正方形的一条对角线把这个正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积； 根据圆的面积公式S＝π，求出圆的面积；再用圆的面积减去正方形的面积，即是阴影部分的面积。 【详解】（1）4÷2＝2（cm） 4×4－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（） 阴影部分的面积是3.44。 （2）4÷2＝2（cm） 3.14×22－4×2÷2×2 ＝3.14×4－8÷2×2 ＝12.56－8 ＝4.56（） 阴影部分的面积是4.56。 【变式训练01】C 【分析】“正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝”，据此分别计算出三个图形的周长和面积，再比较即可解答。 【详解】设正方形的边长为a，则圆的直径为a： 第一个图形阴部部分的周长：πa＋2a，面积：－π； 第二个图形阴部部分的周长：πa，面积：－π； 第三个图形阴部部分的周长：πa＋4a，面积：－π； 所以，三个图形的阴影部分相比较，周长不相等，面积相等。 故答案为：C 【变式训练02】C 【分析】如下图，用一条对角线把方桌平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是方桌的面积； 根据圆的面积公式S＝，求出圆桌的面积； 再根据比的意义，写出折叠方桌和圆桌的面积比即可。 【详解】方桌的面积： （1×2）×1÷2×2 ＝2×1÷2×2 ＝2（平方米） 圆桌的面积：π×12＝π（平方米） 折叠方桌和圆桌的面积比是2∶π。 故答案为：C 【变式训练03】10.26平方厘米 【分析】阴影部分面积＝圆面积－三角形面积×2，圆面积＝πr2，三角形面积＝底×高÷2。看图，圆的直径是6厘米，用直径除以2求出半径。三角形的底和直径相等，高和半径相等。将数据代入公式，先分别求出圆的面积，三角形面积的2倍，再利用减法求出阴影部分的面积。 【详解】3.14×（6÷2）2－6×（6÷2）÷2×2 ＝3.14×32－6×3÷2×2 ＝3.14×9－18 ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 【变式训练04】6.28平方厘米 【分析】根据题意，在一个正方形内画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长；可以设圆的半径是r厘米，则正方形的边长是2r厘米； 已知正方形的面积是8平方厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，据此列出方程，求出圆的半径的平方，即r2的值；再根据圆的面积公式S＝，求出这个圆的面积。 【详解】解：设圆的半径是r厘米，则正方形的边长是2r厘米。 2r×2r＝8 4r2＝8 r2＝8÷4 r2＝2 圆的面积：3.14×2＝6.28（平方厘米） 答：这个圆的面积是6.28平方厘米。 【典例分析04】14.13平方厘米 【分析】三角形内角和180°，阴影部分可以拼成一个半圆，看图可知，圆的半径＝AB长度÷2，根据半圆面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×÷2 ＝3.14×9÷2 ＝14.13（平方厘米） 阴影部分面积是14.13平方厘米。 【变式训练01】71.5平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝，代入数据解答即可。 【详解】（10＋10×2）×10÷2－3.14×× ＝30×10÷2－3.14×100× ＝150－78.5 ＝71.5（平方厘米） 阴影部分的面积是71.5平方厘米。 【变式训练02】28.26平方厘米 【分析】根据题意可知小圆的直径为，大圆的半径为，进而可知大半圆的面积，小半圆的面积，最后利用大半圆的面积减去小圆的面积即可解答。 【详解】 （） 下面图形中阴影部分的面积。 【变式训练03】15.44 【分析】由图可知，阴影面积＝梯形面积−圆的面积。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。已知梯形的高和上底都是圆的半径，所以梯形的高是4 cm，上底也是4 cm。求出圆的面积。最后用梯形面积减去圆的面积即可，据此解答。 【详解】 （） （） （） 阴影部分的面积为15.44 。 【变式训练04】41.12 【分析】观察图形可知，空白部分是4个半径为（8÷2）cm的圆，可以组成一个圆；4个半径为（8÷2）cm的圆，合起来是3个圆；所以阴影部分的面积＝正方形的面积－4个圆的面积＋4个圆的面积＝正方形的面积＋2个圆的面积，根据正方形的面积公式S=，圆的面积公式S＝，代入数据计算求解。 【详解】圆的直径、正方形边长：8÷2＝4（cm） 圆的半径：4÷2＝2（cm） 4×4＋3.14×22×2 ＝16＋3.14×4×2 ＝16＋25.12 ＝41.12（） 阴影部分的面积是41.12。 【点睛】利用面积转化的方法，将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的组合面积是解决本题的关键。 【典例分析05】D 【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；据此解答。 【详解】A．弧两端的线段不是半径，所以涂色部分不是扇形； B．弧两端的线段不是半径，所以涂色部分不是扇形； C．弧两端的线段不是半径，所以涂色部分不是扇形； D．符合扇形的定义，所以涂色部分是扇形。 故答案为：D 【变式训练01】B 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【详解】扇形有1条对称轴，如图： 故答案为：B。 【点睛】明确轴对称图形的特点是解答本题的关键。 【变式训练02】见详解 【分析】根据圆心角的定义判断即可，即顶点在圆心的角叫做圆心角。 【详解】根据圆心角的定义判断如下： 【点睛】顶点是否在圆心上是判断圆心角的关键。 【典例分析06】见详解 【分析】画圆时根据“圆心定位置，半径定大小”即可画出符合要求的圆，画扇形的二要素是半径和圆心角的度数。先画出圆，再画一个圆心角为60°，半径为2cm的扇形。据此画图即可。 【详解】如图： 【点睛】此题主要考查画圆及扇形的方法，属于知识和基本功。 【变式训练01】见详解 【分析】①圆的直径为4厘米，则半径为4÷2＝2厘米，根据画圆的方法，以2厘米为半径，画出圆即可； ②在圆中先画出一条半径，以此为边，圆心为顶角，用量角器量出80°，再画出另一条半径即可。 【详解】4÷2=2（厘米） ①②作图如下： 【点睛】此题的解题关键是掌握画圆和扇形的作图方法。 三、课后巩固 1．A 【分析】顶点在圆心的角叫圆心角，据此分析。 【详解】 A．顶点在圆心，是圆心角； B．顶点不在圆心，不是圆心角； C．顶点不在圆心，不是圆心角。 故答案为：A 2．× 【分析】一个圆形可以平均分成4个半径相等、圆心角都是90°的扇形。4个圆心角都是90°的扇形，它们的半径不一定相等，不一定可以拼成一个圆形，据此解答。 【详解】由分析可知：用4个圆心角都是90°且半径相等的扇形，一定可以拼成一个圆。题目中未说明4个扇形半径是否相等，因此不一定能拼成一个圆。 故答案为：× 【点睛】扇形的大小不仅与圆心角有关，也与扇形的半径有关。 3．× 【分析】根据圆的周长和面积公式，先分别求出周长和面积，再根据周长和面积的定义解题即可。 【详解】周长：2×3.14×2＝12.56（厘米） 面积：3.14×22＝12.56（平方厘米） 从数值上看，12.56＝12.56，但是周长的单位是长度单位，面积的单位是面积单位，周长和面积是两个意义完全不同的量，所以不能说半径是2厘米的圆，周长和面积一定相等。 故答案为：× 【点睛】本题考查了圆的周长和面积，掌握周长和面积的公式，以及周长和面积的意义是解题的关键。 4． 2∶3 2∶3 4∶9 【分析】直径＝半径×2，分别求出甲圆和乙圆的直径；再根据比的意义：用甲圆的直径∶乙圆的直径；根据圆的周长的公式：周长＝π×半径×2，分别求出甲圆的周长和乙圆的周长，再用甲圆周长∶乙圆周长；根据圆的面积公式：S＝，分别求出甲圆的面积和乙圆的面积，再用甲圆的面积∶乙圆的面积，化简，即可解答。 【详解】（2×2）∶（3×2） ＝4∶6 ＝（4÷2）∶（6÷2） ＝2∶3 （π×2×2）∶（π×3×2） ＝（4π）∶（6π） ＝（4π÷2π）∶（6π÷2π） ＝2∶3 （π×）∶（π×） ＝（4π）∶（9π） ＝（4π÷π）∶（9π÷π） ＝4∶9 甲圆的半径是2分米，乙圆的半径是3分米，甲圆和乙圆直径之比是2∶3，周长之比是2∶3，面积之比是4∶9。 5． 8 200.96 【分析】圆规两脚间的距离是指这个圆的半径，由此利用圆的半径＝圆的周长÷3.14÷2和圆的面积S＝即可解答。 【详解】50.24÷3.14÷2＝8（厘米） 3.14×82＝200.96（平方厘米） 【点睛】此题考查了圆的周长和面积公式的灵活应用。 6．√ 【分析】根据圆周长公式：C＝2πr，已知周长相等，可求出两个圆的半径相等，根据圆面积公式：S＝，可确定两个圆的面积相等。据此解答。 【详解】根据分析可知，两个圆的周长相等，它们的面积一定相等。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了圆面积公式和圆周长公式的灵活应用。 7．20 【分析】由题意可知：把圆等分成若干（偶数）份剪开后，拼成的近似长方形的长近似于圆的周长的一半，长方形的宽近似于圆的半径。也就是拼成的近似长方形的周长比原来圆的周长增加了2条半径（或1条直径）。 【详解】20×1＝20（cm） 所以拼成图形的周长比原来圆的周长增加20cm。 8． 113.04cm/113.04厘米 6.28/6.28平方厘米 【分析】分针1小时走一圈，从6时到12时，分针走6圈。先根据圆的周长，用2×3.14×3求出分针走一圈的长度，再乘6求出从6时到12时，分针针尖走过的路程。 时针1小时走一大格，从6时到12时，时针走6个大格。先根据圆的面积，用3.14×22求出时针走一圈扫过的面积；再乘求出从6时到12时，时针扫过的面积。 【详解】2×3.14×3×6 ＝3.14×2×3×6 ＝3.14×（2×3×6） ＝3.14×36 ＝113.04（cm） 3.14×22× ＝3.14×4× ＝3.14×（4×） ＝3.14×2 ＝6.28（） 所以，分针针尖走过的路程是113.04cm，时针扫过的面积是6.28。 【点睛】此题考查了圆的周长、面积计算公式。解决此题关键是明确分针1小时走一圈，时针1小时走一大格。 9． 78.5 21.5 【分析】由题意可知：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，正方形的边长已知，于是利用圆的面积S＝，即可求出圆的面积；再用正方形的面积减去圆的面积，即可求出剩余部分的面积。 【详解】3.14× ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 这个圆的面积是78.5平方厘米。 10×10－78.5 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 余下部分的面积是21.5平方厘米。 【点睛】此题主要考查学生正方形与圆面积的计算能力，解答此题的关键是明白：正方形中最大圆的直径应该等于正方形的边长，即可求得圆面积和余下的面积。 10．35.4cm；31.4 41.12cm；6.88 【分析】如图所示，圆环的内直径是8cm，外直径是12cm，阴影部分周长等于内外圆周长的一半的和加上圆环宽度的2倍；利用圆环的面积公式求出整个圆环的面积，阴影面积等于圆环面积的一半。 如图所示，阴影部分周长是直径为4cm的圆的周长的2倍与正方形周长的和；正方形面积减去圆的面积是阴影面积的一半，求出一半阴影部分的面积乘2即可。 【详解】周长： （cm） 第一个阴影部分的周长是35.4cm。 面积： （） 第一个阴影部分的面积是31.4。 周长： （cm） 第二个阴影部分的周长是41.12cm。 面积： （） 第二个阴影部分的面积是6.88。 11．（1）15.7米；（2）39.25平方米；（3）17.27平方米 【分析】（1）圆周长＝3.14×直径，据此求出直径是10米的圆的周长，再将其除以2，即可求出围成这个鸡舍至少要多长的篱笆； （2）圆面积S＝，据此先求出直径是10米圆的面积，再将其除以2，即可求出鸡舍的面积； （3）根据（2）的求法，求出直径增加2米后鸡舍的面积，再利用减法求出这个鸡舍的面积将扩大多少平方米。 【详解】（1）3.14×10＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（米） 答：围成这个鸡舍至少要15.7米的篱笆。 （2）3.14×÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25（平方米） 答：这个鸡舍的面积是39.25平方米。 （3）10＋2＝12（米） 3.14×÷2 ＝3.14×36÷2 ＝56.52（平方米） 56.52―39.25＝17.27（平方米） 答：这个鸡舍的面积将扩大17.27平方米。 【点睛】本题考查了圆的周长和面积，熟记并灵活运用公式是解题的关键。 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$