专题2.4 圆周角（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题2.4 圆周角 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆周角的定义 1 知识点梳理02：圆周角定理及其推论 2 知识点梳理03：解题方法与技巧 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：圆周角的概念辨析及简单运算 3 考点2：圆周角定理 4 考点3：同弧或等弧所对的圆周角相等 6 考点4：半圆（直径）所对的圆周角是直角 7 考点5：90度的圆周角所对的弦是直径 8 考点6：已知圆内接四边形求角度 10 考点7：求四边形外接圆的直径 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 17 知识点梳理01：圆周角的定义 1、顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2、圆心角与圆周角的区别与联系 知识点梳理02：圆周角定理及其推论 1、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2、推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. （2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 3、推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 4、推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 5、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O是四边形的外接圆. 6、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 7、如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 推论①：圆的内接四边形的对角互补. 推论②：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据． 知识点梳理03：解题方法与技巧 1.在解答圆周角有关问题时，如果题目中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形结合勾股定理来求解相关角度，长度等问题. 2.解决圆周角和圆心角的计算和证明问题时,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理. 3.圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，所以掌握相对应的性质是解题的关键！． 4.圆内接四边形的对角互补性质在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化，比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 5.学习圆心角和圆周角后要学会相关辅助线的做法，比如见直径要想到构造圆周角等 考点1：圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 【变式训练1】（2023·甘肃酒泉·三模）把下面的语句还原成图形： 作图区域： (1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角； (2)是中的一条弧，且． 【变式训练2】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 考点2：圆周角定理 【典例精讲】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，的半径为5，，则弦的长为（    ） A． B．10 C． D．8 【变式训练1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在正方形中，连接，为中点，为上一点，连接，，满足，延长交于点，连接，若，则用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，已知点M在x轴上，与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点，C是上一点，且，，． (1)求圆心M的坐标； (2)求四边形的面积； (3)如图2，过点C作弦交于点E，当时，请直接写出的长 ． 考点3：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，为直径，弦分别与半径相交，且． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【变式训练1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，是弦，于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式训练2】（24-25九年级上·福建莆田·期中）规定：将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，图1是锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆． 如图2，要在四个村庄，，，修建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），请用尺规在图上作出中转站所建位置，请简要说明理由． 考点4：半圆（直径）所对的圆周角是直角 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形的顶点，，均落在格点上．点是小正方形一边的中点，连接．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)线段的长等于___________； (2)以线段为直径作，试确定圆心的位置； (3)在线段上找一点，满足． 【变式训练1】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是的弦，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，请在图中作一个矩形； (2)在图2中，为的中点，请以为底作一个等腰三角形． 考点5：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 【变式训练1】（2025·江西宜春·模拟预测）如图，已知点A，B在圆上，以为边在圆内作正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1中作出圆的一条直径； (2)在图2中作出圆内接正方形． 【变式训练2】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）小慧爷爷家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、．为了响应“建设美丽乡村，共建美好家园”的号召，小慧爷爷想要修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． (1)请你帮小慧爷爷把花坛的位置画出来；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若中米，米，，试求这个圆形花坛的面积． 考点6：已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 【变式训练1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式训练2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 考点7：求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【变式训练2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 1.（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 2．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·青海·中考真题）如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，已知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点M在上，点N在上，点P在上，点Q在上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 5．（2025·四川南充·中考真题）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是 ．（填写序号） 基础夯实 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，是上的点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，点、、是上的三点，已知，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，，点的坐标为，为第三象限内上一点，，则的半径为 ． 4．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在的内接五边形中，，则 ． 5．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知点C是半圆AB的中点，直径，点D是上的动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，A，B，C是上的三个点，若为，，则的度数为 ． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，． (1)若，求证：． (2)若，，且．请用含，的代数式表示的大小． 8．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是的直径，、两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 9．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，过点作直线的平行线； (2)在图2中，过点作直线的垂线． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 培优拔高 11．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的外接圆，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知圆内接四边形，则可能为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，是的直径，，点C是的中点，则（   ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交的外接圆于两点．若，，则的度数为 ． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，则的度数为 ． 16．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，是正方形的外接圆，点为上任意一点，连接，，则 ． 17．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 18．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是等边三角形的外接圆，是上一点． (1)填空：______度，______度； (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 19．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 20．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，是的直径，点A在上且． (1)如图1，点D为直径上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点D为外一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)若点D为上一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 圆周角 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆周角的定义 1 知识点梳理02：圆周角定理及其推论 2 知识点梳理03：解题方法与技巧 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：圆周角的概念辨析及简单运算 3 考点2：圆周角定理 7 考点3：同弧或等弧所对的圆周角相等 13 考点4：半圆（直径）所对的圆周角是直角 17 考点5：90度的圆周角所对的弦是直径 21 考点6：已知圆内接四边形求角度 25 考点7：求四边形外接圆的直径 29 中考真题 实战演练 33 难度分层 拔尖冲刺 38 基础夯实 38 培优拔高 47 知识点梳理01：圆周角的定义 1、顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2、圆心角与圆周角的区别与联系 知识点梳理02：圆周角定理及其推论 1、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2、推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. （2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 3、推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 4、推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 5、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O是四边形的外接圆. 6、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 7、如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 推论①：圆的内接四边形的对角互补. 推论②：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据． 知识点梳理03：解题方法与技巧 1.在解答圆周角有关问题时，如果题目中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形结合勾股定理来求解相关角度，长度等问题. 2.解决圆周角和圆心角的计算和证明问题时,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理. 3.圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，所以掌握相对应的性质是解题的关键！． 4.圆内接四边形的对角互补性质在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化，比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 5.学习圆心角和圆周角后要学会相关辅助线的做法，比如见直径要想到构造圆周角等 考点1：圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】（1）根据直径所对的圆周角是直角，解得直角三角形的性质，角的平分线，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据垂径定理，勾股定理，圆的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，的半径 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的性质，熟练掌握定理和圆的性质是解题的关键． 【变式训练1】（2023·甘肃酒泉·三模）把下面的语句还原成图形： 作图区域： (1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角； (2)是中的一条弧，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）画非直径的弦，在优弧上取点C，连接，，即可解答； （2）在上取一点D，以为半径画弧，交于点E，即可． 【规范解答】（1）解：如图，和为所作； 作图区域：        （2）解：如图，在上取一点D，以为半径画弧，交于点E，根据等弦对等弧，可得，即为所作， 作图区域：    【考点评析】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解乘基本作图，逐步操作即可． 【变式训练2】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【答案】40°、20°、100° 【思路引导】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【规范解答】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【考点评析】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 考点2：圆周角定理 【典例精讲】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，的半径为5，，则弦的长为（    ） A． B．10 C． D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接、，，根据圆内接四边形的性质和已知条件求出，根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【规范解答】解：连接、，， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴， 故选：A． 【变式训练1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在正方形中，连接，为中点，为上一点，连接，，满足，延长交于点，连接，若，则用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接，先证明，得到，，，进而得到，证明中点共圆，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：连接，如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故选：C． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，圆周角定理等知识，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式训练2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，已知点M在x轴上，与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点，C是上一点，且，，． (1)求圆心M的坐标； (2)求四边形的面积； (3)如图2，过点C作弦交于点E，当时，请直接写出的长 ． 【答案】(1) (2)128 (3) 【思路引导】对于（1），连接，设半径为r，根据题意表示，再根据勾股定理求出，进而求出，可得答案； 对于（2），连接交于点N，先求出，再根据得出答案； 对于（3），连接，先说明是等腰直角三角形，可得，再根据勾股定理求出，，然后根据得出答案. 【规范解答】（1）解：连接，设半径为r， ∵点， ∴， ∴. 在中，， ∴， 则， ∴圆心M的坐标为； （2）解：如图所示，连接交于点N， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. 在中，， ∴， ∴, ∴. ∵M，N分别是的中点， ∴. ∵为的直径， ∴， ∴, ∴. 所以四边形的面积是128； （3）解：. 如图所示，连接， ∵， ∴ ， ∴，且， ∴， ∴，则是等腰直角三角形. ∵， 根据勾股定理，得， 作于点T， 由（2）得， 根据勾股定理，得，， ∴. 故答案为：. 【考点评析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，中位线的定义和性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法，作出辅助线是解题的关键. 考点3：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，为直径，弦分别与半径相交，且． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系是解题的关键． （1）利用弧和弦的对应关系，得出，即可得出结论； （2）利用弧和圆周角的关系得出的度数，最后根据弧的度数再求圆心角即可． 【规范解答】（1）证明：∵为直径， ， ∵， ∴， ， 即， ∴； （2）解：∵， ∴的度数为， ∴的度数为， 的度数为， ∴的度数为． 【变式训练1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，是弦，于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（）连接，过点作于，则，由圆周角定理和等腰三角形的性质可得，即得，得到，进而可证，得到，即可求证； （）连接，由得，即得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程求出即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式训练2】（24-25九年级上·福建莆田·期中）规定：将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，图1是锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆． 如图2，要在四个村庄，，，修建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），请用尺规在图上作出中转站所建位置，请简要说明理由． 【答案】作图见解析 【思路引导】分别作线段、的垂直平分线，两垂直平分线交于点即可． 【规范解答】解：如图，分别作线段、的垂直平分线，两垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，则为的外接圆， 此中转站应建在的外接圆圆心处． 理由：由图（1）知：若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆， ∵，， ∴是锐角三角形， ∴其最小覆盖圆为的外接圆，设为， 设直线与交于点，，连接， ∵， ∴， ∴点在内，从而也是四边形的最小覆盖圆， ∴中转站建在的外接圆圆心处，符合题中要求． 【考点评析】本题考查三角形外接圆的性质，解题的关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆是解题的关键． 考点4：半圆（直径）所对的圆周角是直角 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形的顶点，，均落在格点上．点是小正方形一边的中点，连接．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)线段的长等于___________； (2)以线段为直径作，试确定圆心的位置； (3)在线段上找一点，满足． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）利用勾股定理求解； （2）利用网格特征作出的中点O， （3）取的中点H，连接交于点，连接，延长交于点P，点P即为所求． 【规范解答】（1）解：, 故答案为：； （2）解：如图，点即为所作； 理由：取点，连接，与交于点， ∵是直径， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，即点为圆心； （3）解：如图，点P即为所求． 理由：在和中， ∴， ∴， ∴点是的中点， 连接，设交于点，连接并延长交于点， 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又， ∴． 【考点评析】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及圆周角定理，勾股定理，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识点． 【变式训练1】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论． 【规范解答】解：连接，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练2】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是的弦，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，请在图中作一个矩形； (2)在图2中，为的中点，请以为底作一个等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】本题考查直径所对圆周角为，矩形的判定，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）连接并延长交圆于C，连接，由直径所对圆周角为知，同理构造三个角为的四边形即为所求矩形； （2）连接，利用圆半径相等可得所求等腰三角形． 【规范解答】（1）解：连接并延长交圆于C，连接并延长交圆于D，连接，则四边形为矩形． 理由：为直径， 为直径， ∴四边形为矩形． （2）连接，则是以为底的等腰三角形． 理由：都为圆半径， ， 是以为底的等腰三角形． 考点5：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）延长交圆于点E，连接即可求解； （2）延长，交于点F，连接交于点O即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，即为与互余的角． ∵ ∴是圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵为的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴即为与互余的角； （2）如图所示，点O即为所求． ∵ ∴ ∴点D在线段的垂直平分线上 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点F在线段的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴，即点O是中点． 【考点评析】此题考查了无刻度直尺作图，圆中所对的弦是直径，等边三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，三角形内角和定理以及等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式训练1】（2025·江西宜春·模拟预测）如图，已知点A，B在圆上，以为边在圆内作正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1中作出圆的一条直径； (2)在图2中作出圆内接正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了用无刻度直尺作图，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，90度角对的弦是直径，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握它们是解题的关键． （1）延长交圆于点C，连接即可； （2）依（1）作法作出圆的两条直径，两直径交于点O，连接并延长交圆于点G，连接并延长交圆于点H，则四边形为所作． 【规范解答】（1）解：如图，延长交圆于点C，连接， 由于，根据直角对的弦是直径， 则是所作的圆的直径； （2）解：作出圆的两条直径，两直径交于点O，连接并延长交圆于点G，连接并延长交圆于点H，则四边形为正方形． 由（1）知，是圆的两条直径，则O是圆心， 由正方形的性质知， ∴； ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，且是圆内接正方形． 【变式训练2】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）小慧爷爷家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、．为了响应“建设美丽乡村，共建美好家园”的号召，小慧爷爷想要修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． (1)请你帮小慧爷爷把花坛的位置画出来；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若中米，米，，试求这个圆形花坛的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平方米 【思路引导】本题主要考查了三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，及90度的圆周角所对的弦是直径，然后利用勾股定理求半径，从而求圆的面积． （1）想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．即分别作三边的垂直平分线的交点就是圆心的位置； （2）解直角三角形求出圆的半径，再根据圆的面积公式计算． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作的花坛的位置； （2）解：∵， ∴是直径， ∵米，米， ∴米， ∴外接圆的半径为10米， ∴小明家圆形花坛的面积为（平方米）． 考点6：已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 【答案】(1)＜；证明见解析 (2)不成立；；证明见解析 (3) 【思路引导】（1）四边形为圆O的内接四边形，则，在中，，即可求解； （2）延长交圆O于点E，则，在中，，即可求解； （3）延长交于E，求得，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：连接， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，，理由： 延长交圆O于点E，连接， 则， 在中，， ∴， 即； （3）解：延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准圆内接四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点． 【变式训练1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）连接，先根据圆周角定理的推论得到，进而可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出的度数； （2）由题意可知四边形是的内接四边形，可得，根据等边对等角结合三角形内角和求出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【考点评析】本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式训练2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 【答案】4 【思路引导】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答， 【规范解答】解：连接，如图，    ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 考点7：求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【答案】 【思路引导】连接，，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【规范解答】解：连接，，， 在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，，， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． ∴ 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角等知识，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【答案】 【思路引导】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论． 【规范解答】解：，， ， 四边形四点共圆． 当为直径时，最大， ． ， ，，， ， ． ， 在中，由勾股定理，得 ， ． ， ， ． 当点与顶重合时，最小．作于点．    ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， 即． 的取值范围是：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键． 【变式训练2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【规范解答】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 1.（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质． （1）取格点，连接，根据得到； （2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，即为所求： 2．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【规范解答】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 3．（2025·青海·中考真题）如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解． 【规范解答】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，已知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点M在上，点N在上，点P在上，点Q在上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析；（2）见解析． 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，圆周角定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质． （1）四边形是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）分别作的中垂线，得到点，连接，作的中垂线，得到的中点，以为圆心，的长为半径画圆，与的交点即为点； 【规范解答】解：（1）四边形是矩形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， ， ， ，即， 同理可得：， ∴四边形是矩形； （2）由（1）可知：， 故分别为的中点，点在以为直径的圆上， 同理：点分别为的中点，点在以为直径的圆上， 如图，即为所求． 5．（2025·四川南充·中考真题）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④． 【规范解答】解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故①结论正确， ∵，， ∴，故②结论错误； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． 基础夯实 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，是上的点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查同弧所对的圆周角的关系，解题的关键是掌握：同弧所对的圆周角相等．据此解答即可． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，点、、是上的三点，已知，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可． 【规范解答】解： 与都对，且， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，，点的坐标为，为第三象限内上一点，，则的半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及推论是解题关键． 连接，根据圆内接四边形的性质求得，可得，通过含角的直角三角形的性质求得，根据圆的基本知识即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ， 为的直径， 、、、四点共圆， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 的半径为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在的内接五边形中，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，连接，根据圆内接四边形的性质，结合同弧所对的圆周角相等，进行求解即可． 【规范解答】解：连接，则： ∵的内接五边形， ∴四边形为的内接四边形， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知点C是半圆AB的中点，直径，点D是上的动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题可先确定点的轨迹，再根据圆外一点到圆上点的距离最值求解的最小值． 【规范解答】解： ∵， ∴． 取的中点，连接，连接，连接． ∴， ∵点是半圆的中点，是直径， ∴，． ∴由勾股定理，且， ∵， ∴，即，， ∴， ∴． ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴． ∵点在以为圆心，为半径的圆上， ∴的最小值为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理、圆的轨迹问题以及勾股定理，熟练掌握点的轨迹确定方法和利用圆外一点到圆上点的距离最值求解是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，A，B，C是上的三个点，若为，，则的度数为 ． 【答案】40 【思路引导】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．连接，，利用圆周角定理将用表示出来，再根据平行线的性质将用表示出来，从而根据等腰三角形的性质将用表示出来，进而根据三角形内角和定理将用表示出来，最后根据列方程并求出的值即可． 【规范解答】解：如图，连接． 设，则， ， ， ， ， ， 为， ， ， ， ． 故答案为：40． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，． (1)若，求证：． (2)若，，且．请用含，的代数式表示的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了三角形的内角和定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． （1）根据三角形的内角和结合题意，得，根据圆内接四边形的性质可得，推得，即可求证； （2）根据圆内接四边形的性质得、，推得，，根据三角形的内角和定理即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是的直径，、两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)5 【思路引导】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由是的直径，得到，由，再利用直角三角形的性质即可求出的度数； （2）连接，根据圆周角定理得到，结合，推出是等边三角形，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径为5． 9．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，过点作直线的平行线； (2)在图2中，过点作直线的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，以及平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，则直线即为直线，由圆周角定理可得，即，而，则； （2）连接，并延长交于点，过点的直线即为直线，由圆周角定理可得，那么，则，而，则． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 10．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角，三角形内角和定理等知识，属于基础题． （1）连接，则，由等腰三角形的性质即可证得结论成立； （2）由等腰三角形的性质及，可求得等腰三角形的两个底角的度数，再直径对的圆周角是直角，得，由即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 培优拔高 11．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的外接圆，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 由圆周角定理得：． 故选：D． 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知圆内接四边形，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的内角和为，对角互补进行计算判定即可． 【规范解答】解：A、， ， ∴对角不互补，不符合题意； B、， ， ∴对角不互补，不符合题意； C、， ，， ∴对角互补，符合题意； D、， ， ∴对角不互补，不符合题意； 故选：C ． 13．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，是的直径，，点C是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据平角求角度数是解题的关键．利用圆心角、弧、弦的关系，结合直径所对圆心角为平角的性质来求解的度数． 【规范解答】解：， 是的直径， ， ， 点C是的中点， ， ，且， ， ． 故选：B． 14．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交的外接圆于两点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了垂径定理的推理，圆周角定理，三角形内角和定理，由垂直平分可得为直径，，设的外接圆的圆心为， 连接，由三角形内角和定理得，进而可得，又可得，最后根据平角的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：∵垂直平分， ∴为直径，， 设的外接圆的圆心为， 连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为. 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，则的度数为 ． 【答案】或 【思路引导】此题主要考查了圆周角定理以及圆有关的概念，利用圆周角定理、圆弧、弧所对的弦的关系，进而得出，进而得出答案． 【规范解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 以A为圆心长为半径画弧可得点D，再连接即可， ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可得：； 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，是正方形的外接圆，点为上任意一点，连接，，则 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，首先求出，然后得到是四边形的外接圆，然后根据圆内接四边形的性质求解即可． 【规范解答】如图所示，连接 ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵是正方形的外接圆，点为上任意一点， ∴是四边形的外接圆， ∴． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 【答案】 【思路引导】首先利用等弧对等弦得到，从而得出，再根据三角形内角和定理求得的度数，然后利用圆内接四边形的性质确定答案即可． 【规范解答】解：解： ， ， ∴ ∴ ∵，四边形内接于， ∴ 【考点评析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，难度不大． 18．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是等边三角形的外接圆，是上一点． (1)填空：______度，______度； (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)60；60 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的内接四边形的性质，能够熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据等边三角形性质得出，然后根据圆周角定理即可得出答案； （2）延长至E，使，连接，如图所示：证明，可得，证明是等边三角形，即可得出结论． （3）过点E作于点F，求解，，可得，进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）证明：延长至E，使，连接，如图所示： ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵, ∴是等边三角形， ∴； （3）解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴. 19．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了网格作图，垂径定理，三角形中位线的性质，等弧对等角，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键； （1）连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，根据垂径定理即可得出； （2）根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则，即可求解． 【规范解答】（1）如图，连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，则； （2）如图，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延长交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则； 理由如下，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 根据，则是的中位线，则； 20．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，是的直径，点A在上且． (1)如图1，点D为直径上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点D为外一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)若点D为上一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【思路引导】（1）圆周角定理得到，证明，得，证明，最后根据勾股定理可得结论； （2）如图2，延长交于E，连接，证明，得，最后根据勾股定理可得结论； （3）如图3，过点A作交的延长线于点E，连接，证明，最后根据勾股定理可得结论． 【规范解答】（1）解：，证明如下： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图2，延长交于E，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，过点A作，交的延长线于点E，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查圆周角定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$