7.卷5 第3章 二次根式 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 湘教版 1 2 卷5 第3章 基础诊断卷（A卷） 考查内容：二次根式 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意. 1.［2025重庆万州区校级期中］下列各式是二次根式的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项，被开方数 是负数，没有意义，故此选项不符合题意；B选项， 是二次根式，故此选项符合题意；C选项，被开方数 是负数，没有意义， 故此选项不符合题意；D选项，根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5 2.［2025陕西榆林期中］若二次根式有意义，则 的值可以为( ) A A.7 B.6 C.0 D. 【解析】要使二次根式有意义，则，解得，故 的值可以是7. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 3.［2024黑龙江绥化期末］下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 【解析】 选项 判断依据 结论 A 中被开方数含有分母 此选项不符合题意 B 中被开方数不含分母，不含开得尽方的因数 此选项符合题意 C 中被开方数可以开方 此选项不符合题意 D 中0.8是小数也是分数，即被开方数含有分母 此选项不符合题意 故选B. 上分点拨 最简二次根式应满足的条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 （1）被开方数中不含分母； （2）被开方数不含开得尽方的因数（或因式）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4.［2024广东深圳龙华区期末］下列运算中，正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，被开方数不同,不能合并，此选项错误；B选项，被开方数不同, 不能合并，此选项错误；C选项， ，此选项正确；D选项， ，此选项错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 5.［2024山东滨州期末］若，则 与1的关系是( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以，解得 .故选B. 上分技巧 二次根式的双重非负性 ①二次根式本身大于等于0；②二次根式的被开方数大于等于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 6.［2025河北保定月考］已知，则 的值为( ) D A.1 B. C. D. 【解析】因为，所以，，解得 ， ，所以 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 7.［2025湖南常德校级期中］已知，，计算 的 值，下列结果计算正确的是( ) A A.12 B.8 C. D. 【解析】因为， ，所以 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 8.［2024四川内江期中］已知，，则用含, 的式子表示为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 9.［2025湖南湘潭调研，中］用三块边长不同的正方形纸片甲、乙、丙和一个面积 为 的长方形纸片丁紧密拼接形成一个大长方形，如图.已知纸片丙的面积为2， 则纸片甲的边长为( ) B A. B. C.3 D. 【解析】因为纸片丙的面积为2，所以纸片丙的边长为，纸片丁的宽为 .因为 纸片丁的面积为，所以纸片丁的长为 ，所以纸片乙的边长为 ，所以纸片甲的边长为 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 10.分类讨论［2024浙江宁波奉化区期末，偏难］已知，， 表示取三个 数中最大的那个数，例如：当时，，，，， . 当，，时， 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】①当时，，此时，符合题意；②当 时， （负值已舍去），此时，不符合题意；③当 时， ，不合题意.故只有当时，，， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11.开放性问题［2025山西太原实验中学月考］若，都是无理数，且与 的和是 有理数，则____， ____________________________.（写出一组即可） （两个空答案均不唯一） 【解析】因为，所以，，故答案为， （两个空答案均不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 12.［2024贵州贵阳期中］已知最简二次根式与可以合并，则 的值为 ____. 【解析】因为最简二次根式与可以合并，所以与 是同类二次 根式，所以，解得，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 13.［2025四川达州月考］若，，则 的值 为___. 7 【解析】由题意得且，所以，所以 ， ，所以 ，故答案为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 14.［2025重庆江北区校级期末］若 ，化简 _____. 【解析】因为，所以 ，所以 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 15.跨学科问题［2024山东德州期末，中］电流通过导线时会产生热量，电流 单位：、导线电阻单位：、通电时间单位：与产生的热量单位： 满足.已知导线的电阻为 ，电流通过导线产生的热量，则 _ ___A. 【解析】因为，导线的电阻为 ，电流通过导线产生 的热量，所 以，所以，所以.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 16.［2025湖南常德校级月考，中］若，代数式的值为 ， 则当时，代数式 的值为___. 3 【解析】由题意可得，所以 ，所 以，所以，，所以， ，所以 当时， . 故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 17. ［中］如图，在长方形纸片上有一条数轴，其中点 表示的数为 ，点表示的数为，若先将纸片沿过点 且与数轴垂直的直线对折，再将对 折后的纸片沿过某点且与数轴垂直的直线折叠后使得点与点 重合，经过两次折 叠后，数轴上第2次折痕所表示的数是，则 的值为________. 或0 【解析】因为，两点间的距离为，所以第一次沿过点 且与数轴垂直的直 线对折后，与重合的点表示的数是 ，所以第二次对折时折痕与 数轴的交点表示的数为或，故答案为 或0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 18.［2025湖南岳阳调研，偏难］计算： ,其结果 为_________. 【解析】原式 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 19.［2024河南郑州期末］（6分）计算： （1） . 【解】原式 …………（1分） .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 （2） . 【解】原式 …………（3分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 （3） . 【解】原式 …………（5分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20.［2024四川德阳月考］（6分）已知， ，求下列代数式 的值. 【解】因为， ，所以 ， …………（1分） , .…………（3分） （1） ； 【解】 .…………（5分） （2） . 【解】 49.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 21.［2025河北廊坊安次区月考］（8分）如图，从一张面积为 的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为 的小正方形，将剩余 部分制作成一个底面为正方形的长方体盒子（无盖）. （1）求这个长方体盒子的底面边长；（结果用最简二次根式表示） 【解】由题意可知，大正方形的边长为 ，剪掉的四个小正方形的 边长为，所以这个长方体盒子的底面边长 .………… （4分） （2）求这个长方体盒子的体积. 【解】这个长方体盒子的体积为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 22.［2025湖南郴州期中］（8分）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川 消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆 形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式： ， 其中表示苔藓的直径（单位：厘米）， 代表冰川消失的时间（单位：年）. （1）计算冰川消失24年后苔藓的直径为多少厘米. 【解】当时， （厘米）. 答：冰川消失24年后苔藓的直径为 厘米.…………（4分） （2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【解】当时，，所以，所以 . 答：冰川约是在37年前消失的.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 23.［2025湖南长沙调研］（8分）小石根据前面学习积累的经验，想通过“由特殊 到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律. 下面是小石的探究过程，请补充完整： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 （1）具体运算，发现规律. 特例 ， 特例 ， 特例 ， 特例 ， 特例 _ _____.（填写运算结果） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 【解析】，故答案为 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 （2）观察、归纳，得出猜想. 如果为正整数，那么用含 的式子表示上述的运算规律为_ __________________. 【解析】由题意可得，故答案为. ………… （5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 （3）［中］试说明猜想成立. 【解】因为为正整数，所以左边 右边，即为正整数 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 24.探究性问题［2025上海浦东新区期末］（10分）我们在学习二次根式时，已经 熟悉了分母有理化及其应用,其实还有一种方法叫作“分子有理化”,与分母有理化类 似，分母和分子都乘分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式,例如： . 通过分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来解决一些二次根 式的最值问题.例如：比较和 的大小.做法如下： ， . 因为，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 再例如：求 的最大值.做法如下： 由，可知，而 ， 当时，分母有最小值，为2，所以 的最大值是2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 【应用】 （1）比较和 的大小； 【解】 ，…………（1分） .…………（2分） 因为，，所以 ， 所以 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 【拓展】 （2）［偏难］求 的最大值和最小值. 【解】由，，得 . .…………（6分） 当时，有最小值，为1，则有最大值，为1，此时 有最大值1，所以的最大值为 2.…………（8分） 当时，有最大值，为，则有最小值，为 ， 此时有最小值0，所以的最小值为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 $$