卷9 第13章 勾股定理 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（华东师大版2024）

数 学 八年级上册 华东师大版 1 2 卷9 第13章 基础诊断卷（A卷） 考查内容：勾股定理 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1. 在2025年哈尔滨亚冬会的滑冰场馆设计中，为了确保看台的结构 稳固，工程师需要规划几个三角形区域.工程师选用了不同长度的钢梁作为组建三 角形区域的材料，以下哪组钢梁的长度是勾股数，适合用于构建直角三角形区域 ( ) A A.5，12，13 B.4，6，8 C.7，8，14 D.12，24，25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5 【解析】A选项， ，所以5，12，13是勾股数，故该选项符 合题意；B选项， ，所以4，6，8不是勾股数，故该选项不符合 题意；C选项， ，所以7，8，14不是勾股数，故该选项不符合 题意；D选项， ，所以12，24，25不是勾股数，故该选项 不符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 上分总结 勾股数的相关结论 ①一组勾股数中的三个数必须是正整数，例如：，6，满足 ， 但是它们不都是正整数，所以它们不是勾股数.②一组勾股数扩大相同的整数倍得 到的三个数仍是一组勾股数.③记住常用的勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12， 13；7，24，25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025河北唐山路北区月考］如图，在水塔的东北方向 处 有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在, 间建一条直水管，则水管 的长为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为是东北方向，是东南方向，所以 .又 因为，，所以 ，所以 .故选D. 上分心得 方位角 东北方向即北偏东 的方向；东南方向即南偏东 的方向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025山西临汾期末］用反证法证明“在中，若，则 ”时， 应假设( ) D A. B. C. D. 【解析】用反证法证明命题“在中，若，则 ”时，第一步应 假设 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 上分技巧 反证法 运用反证法的关键是要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考 虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有 多种情况，则必须一一否定. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 4.［2025重庆八中月考］已知在中，，，分别是，， 的对边， 则下列条件中不能判断 是直角三角形的是( ) B A. B. C.，， D. 【解析】A选项，因为， ，所以 ， 所以 是直角三角形，故A选项不符合题意；B选项，因为 ， ，所以 ， 所以不是直角三角形，故B选项符合题意；C选项，因为， ， ，所以，所以 是直角三角形，故C选项不符合题意； D选项，设，，.因为 ，所以 ，所以 是直角三角形，故D选项不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 上分心得 判断直角三角形 判断直角三角形可以从角的方面，也可以从边的方面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 5.［2024山东菏泽月考］把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的4倍，若 得到的三角形仍然是直角三角形，则其斜边长( ) A A.扩大到原来的4倍 B.扩大到原来的8倍 C.不变 D.扩大到原来的12倍 【解析】设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为 ，那么根据勾股定 理得，两条直角边长扩大到原来的4倍后分别为， ，若扩大后的 三角形仍是直角三角形,则扩大后的斜边长的平方为 ,所以扩大后的斜边长为 ,即斜边长 扩大到原来的4倍，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第6题图） 6.新情境［2025广东佛山期末］意大利文艺复兴时期的著 名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”， 从而巧妙地证明了勾股定理.小明将两张全等的的纸片①和 ②拼在一起并挖出图（1）所示的六边形 ,可以看成 由两个正方形和两个全等的直角三角形组成.已知六边形 的面积为14， .小明将 B A.12 B.10 C.6 D.4 纸片②翻转后与①重新拼在一起,如图（2），其中 ，则四边形 的面积为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】，, 可设 ， 六边形的面积为14， , ,.由拼图过程可知四边形的面积正方形的面积 正方形的面积 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第7题图） 7.新考法［2025山西朔州月考］如图，学校有一块直角三角形 菜地， ， .为方便劳作，准备在菜地中 间修建一条小路.测量发现， ， ，，则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为.设，则 ，所以 ,.在 中，由勾 股定理得，即，解得 ，即 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 上分点拨 勾股定理中方程思想的运用 ①设未知数；②根据勾股定理建立方程；③解方程求得边长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第8题图） 8.［2025河南郑州第一中学月考，中］如图，，是直线 同侧 的两点，作点关于直线的对称点，连结.若点， 到直 线的距离分别为2和3，则线段与 之间的数量关系为 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】如图，作交的平行线于，作，垂足为 ，则易得 .因为点关于直线的对称点为点，点，到直线 的距离分别为2和3， 所以，，所以在中， ， 即.因为在中，， ，所以 ,即，所以 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 （第9题图） 9.［2025湖南衡阳月考，中］如图，高速公路上, 两点相距，, 表示两村庄，已知 ，，于， 于 .现要在上建一个服务站，使得， 两村庄到 服务站的距离相等，则 的长是( ) A A. B. C. D. 【解析】设，则.因为， ，所以 ， .由题意可知 ，所以，解得，所以 . 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 10.［2025江苏南京期末，偏难］如图（1）， ，， ， 分别以这个直角三角形的两直角边及斜边为边向外作正方形.如图（2），由图（1） 所作的两个小正方形向外分别作直角边之比为 的直角三角形，再分别以所得到 的直角三角形的直角边为边向外作正方形. ，按此规律，则图（6）中所有正方 形的面积和为( ) B 图（1） 图（2） 图（3） A.200 B.175 C.150 D.125 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 【解析】因为 ，，，所以 ,所以 ，所以题图（1）中正方形的面积和为 ，题图（2）中所有正方形的面积和为 ，题图（3）中所有正方形的面 积和为， ， 所以图（6）中所有正方形的面积和为 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025山西晋城期末］用反证法证明命题“三角形中至多有两个角大于 ”时， 应假设________________________. 三角形中三个角都大于 【解析】用反证法证明命题“三角形中至多有两个角大于 ”时，应假设三角形 中三个角都大于 .故答案为三角形中三个角都大于 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第12题图） 12.［2025吉林长春月考］如图，货车的高 ，卸货时后 面车厢挡板翻转至点在地面处，已知点，， 在一条 直线上，，经过测量知，则 ______. 【解析】由题意得， .设 ， 则.在中， ， 即，解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第13题图） 13.［2025江西南昌月考］如图，在中， ， ，，将折叠，使点与点重合，折痕为 ， 则 的周长为___. 7 【解析】因为在中， ，， ，所以 ，所以.因为 由 上分点拨 折叠问题 折叠前后折叠部分图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等. 翻折得到，所以，所以，所以 的周长 .故答案为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 14.［2025福建厦门外国语学校月考］如图，在边长为1的小正方形 组成的网格中，，，都在格点上，则 的度数为____. 【解析】如图，连结.因为 在边长为1的小正方形组成 的网格中，所以， ， ，所以， ，所以 是等腰直角三角形，且 ，所以 . 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （第15题图） 15.［2025陕西西安新城区月考，中］如图，长方形地面 的 长，宽，中间竖有一堵砖墙，高 . 一只蚂蚁从点爬到点 ，它必须翻过中间那堵砖墙，则它至少 要爬行____ . 15 【解析】如图，，连结 . 因为四边形是长方形，， ，所以 ， ，所以 ，所以 ，所 以蚂蚁从点爬到点至少要爬行 的路程.故答案为15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第16题图） 16.［2025云南昆明期中，偏难］如图，在等腰 中， ，，为的中线，垂直平分 交于点，则 __. 【解析】如图，连结.因为是的垂直平分线，所以 .因 为，，为 的中线，所以 ，，所以 ，所以 ，所以.设，则 . 由勾股定理得，所以，解得 ，所以 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.新考法［2025广东阳江月考］（8分）如图，直线 ，垂 足为，线段，，以点为圆心， 的长为半径画 弧，交直线于点.求 的长. 【解】因为，线段, ， 所以在中， ， 所以 .…………（5分） 由作图可知 ，…………（6分） 所以 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 18.［2024山东德州月考］（10分）如图，把一块直角三角形 土地其中划出一块三角形区域 后，测 得米，米，米， 米. （1）判断 的形状，并说明理由； 【解】 是直角三角形.…………（1分） 理由：因为 ，米，米，所以 ， 所以 米.…………（3分） 因为米，米，所以，所以 是直角三角 形.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）求图中阴影部分的面积. 【解】阴影部分的面积为 （平方米）.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 19.［2025河南周口月考］（10分）如图，在中， ， ， . （1）直接写出 的长； 【解】 的长为16.…………（4分） 因为 ，，，所以在 中， ，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）点在上，若，求 的长. 【解】因为,所以设，则 .…………（6分） 在中， ， 所以，解得 ， 所以 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 20.［2024山东潍坊潍城区期中］（12分）如图，一条南北走向的 高速公路经过县城，村庄位于高速公路西侧，村庄和县城 之间有一大型水库，无法直达.村村民需要乘车经公路 和高速 路段才能到达县城，为方便 村村民出行，县政府计划新修 （1）新公路是否为村庄 到高速公路最近的路？请通过计算加以说明. 【解】是.说明如下:， 是直角三 角形，且 ，， 新公路是村庄 到高速公路最近的 路.…………（5分） 一条公路.已知，千米，千米， 千米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）求村庄到县城的直线距离（即线段 的长）. 【解】设千米，则 千米.…………（7分） 在中，由勾股定理得， ，解得 .…………（11分） 答：村庄到县城 的直线距离为50千米.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 21.［2025陕西西安长安区月考］（12分）如图，解放广场的草坪 上有，，，， 五条小路，且 ，，， . （1）［中］求小路 的长度； 【解】在中， ，， ，由勾股定理得 ，所以 .…………（2分） 在中， ，， ，由勾股定理得 ，所以 . 所以小路的长度为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）［偏难］淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点 开始以 的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点 时停止，设小狗跑的时 间为.当小狗在小路上跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 【解】过作于，如图，则 的长为淇淇与小狗的 最近距离.…………（6分） 因为，所以 ， 所以 .…………（8分） 在中， ，，， 由勾股定理可得 ，所以. …………（10分） 所以此时小狗跑的路程为.因为小狗以 的速度奔 跑，所以小狗跑的时间为. 故淇淇与小狗的最近距离为，此时 的值为12.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 22.［2025山东济宁月考］（14分）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅 五”.这句话的意思是“如果直角三角形的两直角边长为3和4，那么斜边的长为5.”上 述记载表明了在中，如果 ，，， ，那么 ，， 三者之间的数量关系是_____________. 【解析】由题意可得， . 故答案为 ．…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 图（1） （2）［中］我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有 立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？” 译文为“今有一竖立着的木桩，在木桩的上端系有绳索，绳索从木桩顶 端顺木桩下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索后退，当绳索末 端离木桩根部8尺处时，绳索用尽.问绳索有多长？”示意图如图（1）所 示.设绳索的长为 尺，根据题意，可列方程为_________________. 【解析】因为绳索的长为尺，所以的长为 尺. 在中，由勾股定理得，即 ． 故答案为 ．…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （3）［难］如图（2），把长方形折叠，使点与点重合，点 的对应点为 点,折痕为，如果，，求 的长. 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【解】设，则 . 由折叠可知，， .…………（7分） 四边形 是长方形， ， , ， ， . 在中，由勾股定理得，即 ， 解得 , ， ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 如图，过点作于点，则 . 又 ， 四边形 为长方形， ， ， .…………（12分） 在中，由勾股定理得 ， （负值已舍去）,所以的长为 ．…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 $$