卷6 上分专题（二） 全等三角形模型-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（华东师大版2024）

数 学 八年级上册 华东师大版 1 2 上分专题（二） 全等三角形模型 重难上分 攻克难点 3 类型1 平移模型 类型2 对称模型 类型3 角平分线模型 类型4 一线三等角模型 类型5 手拉手模型（旋转模型） 类型6 倍长中线模型 类型7 截长补短模型 类型8 半角模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 类型1 平移模型 母题学方法 上分攻略 把沿着某一条直线平移，所得到的与 全等. 1.［2025河北石家庄月考］如图，已知 ， ，.若，，则 的长为 ( ) B A.4 B.3.5 C.3 D.2.5 【解析】因为，，，所以 ，所 以，所以 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 类型2 对称模型 母题学方法 上分攻略 若将两个三角形沿着某一条直线折叠后，直线两边的三角形能够完全重合，则称 这两个三角形为对称型全等三角形，此类图形中要注意隐含条件，即公共边或公 共角相等.（此模型下的图形不一定要涉及折叠,只是两个全等的三角形像是由折叠 构成的） 2.［2024浙江杭州拱墅区期中］如图，在 中， ，，，与相交于点 . （1）求证： . 【证明】，， . 在和 中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 （2）若 ，求 的度数. 【解】， ， ， ， ， 的度数是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 类型3 角平分线模型 母题学方法 上分攻略 角平分线模型的核心体现在“等角”与“等距”：既平分原角为两等角，又保证角平 分线上任意一点到角两边的距离相等.当过角平分线上一点向角两边作垂线 , 时，结合公共边及等距条件，可通过或 直接证得 .应用时还有两种变形：（1）过角两边上的对称点作垂线构造全等 （垂中间）；（2）利用对称性截取等线段. 基本模型 常见模型 __________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ 3.［2025江西宜春期末］如图，平分，点在上，且 ， ，垂足分别为，，点在上,连结,,且，判断 与 的数量关系________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 【解析】平分，，， , ，.在和 中， ，.在 和 中，， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 子题练变式 4.［2025重庆万州区期末］如图所示，在 中， ，平分，为线段上一动点，为边 上 一动点，当的值最小时， 的度数是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】在上截取，连结，如图（1）.平分 ， ， .又 ， ，，， 当,, 在同一 直线上，且时，的值最小，即的值最小.在 内,过 点作于点，交于点，如图（2）. ， ， .故选D. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 类型4 一线三等角模型 母题学方法 上分攻略 三个相等的角在同一直线上，称为一线三等角模型（若相等的角为直角则可称为 一线三垂直模型），利用三等角关系可找到三角形全等所需的角相等条件 （如 ）. _______________________________________________ ____________________________________________________ 锐角一线三等角 钝角一线三等角 _____________________________________________________________________________ 一线三垂直 续表 5.如图，在中，，，，三点都在直线 上， 并且有 ，若， ， 则 ___. 7 【解析】 ， ， ，.在与 中， ， ， ， , .故答案为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 子题练变式 6.［2024吉林长春期末］在中， ，，直线经过点 ， 且于，于 . 图（1） （1）当直线绕点 旋转到图（1）的位置时，求证： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 ① . 【证明】， ， ， ， ， . 在和 中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ② . 【证明】，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 图（2） （2）当直线绕点 旋转到图（2）的位置时，求证： . 【证明】， ， ， 在 和 中， ,， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 图（3） （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出 ， ， 之间的等量关系. 【解】， ， ， 在 和 中， ，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 类型5 手拉手模型（旋转模型） 母题学方法 上分攻略 将一个三角形绕着某一个公共顶点旋转一定角度后与另一个三角形完全重合，则 称这两个三角形为旋转型全等三角形.（此模型下的图形不一定要涉及旋转,只是两 个全等的三角形像是由旋转构成的） 基本模型 常见模型 ____________________________ ________________________________________________________________________ 7.［2024山东济宁任城区期中］如图，的两条高， 交于点 ，.若，，则 的面积为___. 【解析】的两条高，交于点 ， ， ，.在和 中， ，, ， ，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 子题练变式 8.［2024四川广元期末］如图，在，中， ， ，，点，，在同一直线上，连结.请写出， 的位置 关系与数量关系，并证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 25 【解】，.证明： ， ，.在和 中， , ， ， ， , ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 类型6 倍长中线模型 母题学方法 上分攻略 当所求线段不在同一个三角形中时，可以相应地延长线段构造全等，将已知线段 转移到同一个三角形中.常见的方法是“倍长中线法”，将三角形的中线延长一倍， 以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题. 基本模型 常见模型 ___________________________ ___________________________________________________________________________ 9.［2025河北保定期中］如图，已知是的中线，点 在 的延长线上，，，求证： ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28 【证明】如图,延长至，使,连结.因为是 的中线，所以 .又因为，，所以 ，所以 ，.因为，所以.因为 ，所以 ，即.又因为 ， ，所以,所以.因为 ，所以 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 子题练变式 10.［2025江苏宿迁月考］如图，在长方形中，是中点，在边 上， 若，则 ___. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 【解析】如图,延长，交于点.因为在长方形 中， ，，是中点,所以， .在 和中，所以 ， 所以，，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以，所以 ， 所以 ，故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 类型7 截长补短模型 母题学方法 上分攻略 截长法 补短法 已知：平分，在 上截取 ，连结 . 结论： 已知：平分,延长至点 ，使 ，连结 . 结论： _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 11.阅读下面的材料，然后按要求解答问题. 截长补短法是初中数学几何题中一种常见的方法,在证明线段的和、差、倍、分等 问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，再 证明剩余的线段与另一条线段相等．补短法：延长较短线段与较长线段相等，再 证明延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 （1）如图（1）,在中，， ，是 的角平分线， 交边于点．求证： ． 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 图（1） 【证明】如图（1），在上截取，连结.因为是 的角平分线，所以.在和 中， 所以 ，所以 ，.因为，所以 .又因 为 ,所以 .在中， ，所以 ,所以，所以 ,所以 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 请用补短法解决问题 （2）如图（2），在中，，是 的角平分线．求证： ． 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 图（2） 【证明】如图（2），延长到，使，连结 . 因为是的角平分线，所以 .在 和中， 所以 ，所以 .因为 ，，所以，所以 ，所以 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 类型8 半角模型 母题学方法 上分攻略 半角模型常见的图形有正方形、等边三角形等.解题思路：①通过旋转，将半角或 组合成为“半角”的两边的两个三角形合并成一个 新的三角形；②证明新三角形与半角形成的三角形全等；③通过全等的性质得出 线段之间的数量关系，从而解决问题. ________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 正方形含半角 12.［2024北京东城区期中］在四边形中， ， ， ，分别是边，上的点，且 ，求 ，， 之间有何数量关系. 图（1） （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图 （1）， . 小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连结 . 请你在图（1）中添加上述辅助线，并补全下面的解题思路. 解题思路：先证明________；再证明 _______，即可得 出，， 之间的数量关系为______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 图（1） 【解析】添加辅助线如图（1）所示，延长到点，使 ， 连结 ， ， ，， ， ， ，即， ， ，.故答案为， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 图（2） （2）请你借鉴小王的方法探究图（2），当 时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成 立，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 图（2） 【解】成立.证明：如图（2），延长至，使 ， 连结 ， ， .在和 中， , ， ， , ，.在与 中，, , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 （3）如图（3），若，分别是边， 延长线上的点，其他已知条件不变， 此时线段，， 之间的数量关系为______________.（不用证明） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 图（3） 【解析】如图（3）,在上截取，使 ，连结 ， ， .在与 中， ， ， ， ， ， ， ，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 $$