重难强化十六 带电粒子在组合场中的运动（复习讲义）（江苏专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

重难强化十六 带电粒子在组合场中的运动 目录 01 考情解码 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一 带电粒子在组合场中的运动 4 知识点1 组合场基本思路 4 知识点2 磁场与磁场组合 4 知识点3 电场与磁场组合 4 考向1 磁场与磁场组合 5 考向2 先电场后磁场 13 考向3 先磁场后电场 18 04 真题溯源·考向感知 24 常考考点 真题举例 磁场与磁场的组合 2024·辽宁·高考真题 2023·河北·高考真题 电场和磁场的组合 2025·河南·高考真题 2025·湖南·高考真题 2025·河北·高考真题 2025·山东·高考真题 2024·福建·高考真题 2024·浙江·高考真题 2024·北京·高考真题 2024·广东·高考真题 2024·山东·高考真题 2024·湖南·高考真题 2024·新疆·高考真题 考情分析： 1．高考对这部分内容的考查，以选择题和计算题的形式出现，通常情况下难度较大，经常以压轴题的形式出现。 2．从命题思路上看，考查方向为 基本知识考查：带电粒子在电场中的直线运动，带电粒子在电场中的偏转，带电粒子在磁场中的运动； 常见模型考查：磁场与磁场组合，电场和磁场组合； 与科技相结合：粒子加速度，电容器，人造核聚变。 复习目标： 目标一：掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路。 目标二：学会处理磁场和磁场组合、电场和磁场组合带电粒子运动问题。 考点一 带电粒子在组合场中的运动 知识点1 组合场基本思路 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示。 第3步：用规律 知识点2 磁场与磁场组合 1.磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 知识点3 电场与磁场组合 1.先电场后磁场 （1）带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图1。 图1 （2）带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图2。 图2 【注意】进入磁场的速度是离开电场的末速度，而非进入电场的初速度。 1.先磁场后电场 （1）进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图3甲所示)。 （2）进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)． 图3 考向1 磁场与磁场组合 例1 如图所示的直角坐标系，在横轴下方有一半径为R的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点。在的范围内沿y方向均匀分布着大量质量为m、电荷量为的带电粒子，它们以平行于x轴的相同初速度射入圆形磁场区域，均恰能由O点射入第一象限的矩形磁场区域OPQN内，矩形磁场区域的长度为其宽度的2倍。已知在矩形磁场区域内运动时间最长的粒子转过的圆心角为，两磁场区域的磁感应强度大小均为B，不计粒子重力。求： （1）粒子的初速度； （2）矩形磁场区域的宽度a； （3）从PQ边射出的粒子数与射入磁场的总粒子数的比。 【变式训练1】如图所示，直角坐标系中，有一平行于y轴长度为0.5L的线状离子源MN，M端在x轴上，坐标，离子源发射的正离子初速度大小均为，方向平行于x轴正方向，且发射的正离子沿MN均匀分布，每个离子质量为m，电荷量为q；在、区间内加一垂直于纸面向里，磁感应强度大小为的圆形边界匀强磁场，能使离子源发射的全部正离子经过原点O，不计离子重力及离子间的相互作用。 （1）求磁感应强度的取值范围； （2）若磁感应强度取最小值，在第一象限加垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在第二象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，已知。离子发射前，在y轴上放置长度为0.8L的探测板PQ，只有打到探测板左侧表面的离子才能被探测到。 ①求全部正离子经过原点O时与y轴正方向夹角的范围； ②若探测板下端Q纵坐标，求离子探测率（即探测板探测到的离子数占总离子数的比例）； ③若探测板位置在y轴上可变，Q端纵坐标满足，求离子探测率与的关系。 【变式训练2】（2023·江苏南京·三模）如图所示，空间有垂直于平面向里的两个匀强磁场，空间的磁感应强度大小为B，空间的磁感应强度大小为。原点O处有一个粒子源，同时射出两个速度大小均为、比荷均为的同种带正电粒子。沿y轴负方向的粒子记为A粒子，沿与x轴正方向的夹角为的粒子记为C粒子。不考虑粒子之间的碰撞和其他相互作用。求： （1）A粒子发射后，第二次经过x轴时距原点O的距离； （2）C粒子发射后，经过x轴射向空间所用的时间； （3）A、C两粒子均经x轴射向空间时恰好相遇所对应的k值。 考向2 先电场后磁场 例1 （2025·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在xOy坐标平面第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，在其它象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小相等。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的A点，以初速度沿着x轴负方向射入匀强电场，经过一段时间从P点与x轴负方向成角进入磁场，已知P点坐标，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，粒子重力忽略不计。求： (1)电场强度E大小； (2)磁感应强度B大小和粒子从离开A点至第二次到达x轴的时间t； (3)第四象限的磁感应强度增大为原来的k倍，放在x轴上图中Q点的粒子接收器能接收到粒子时k的值。 【变式训练1·变考法】（2025·江苏泰州·二模）如图所示，O点处有一粒子源，能够向xOy平面内各个方向射出质量为、电量为、初速度为的高能粒子。为了减小粒子对周围环境的影响，在以O为圆心，半径R1=0.04m处加上接地的网状电极，在内部产生沿半径方向的电场，使粒子的速度减小到。不计重力，不考虑粒子间的碰撞和相互作用力，粒子可以穿过网状电极。 (1)求网状电极和O点间电势差的大小U； (2)为了使粒子离开电场后，离O点的距离不超过R2=0.16m，可以紧贴网状电极在外侧施加垂直于xOy平面向里的范围足够大的匀强磁场（图中未画出），求磁场的磁感应强度B1的最小值； (3)为了使第一象限射出电场的粒子最终都能够沿y轴正方向运动，需要紧贴电场区域外施加垂直于xOy平面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度为。求满足要求的最小磁场区域边界上的点x坐标的最大值和y坐标的最大值。 【变式训练2·变考法】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）如图甲所示，在xOy平面内y轴的左侧有宽为L的电场区域，在电场区域的左侧有一加速电场，电压为U0，一质量为m，带电量为+q的带电粒子从A点飘入加速电场（忽略初速度），从x轴的P点（-L，0）进入电场区域，粒子进入电场区域时在电场区域加上图乙所示的与y轴平行的交变电场，（T未知），y轴正方向为电场的正方向，粒子经过交变电场后从y轴上的Q点（0，L）沿着x轴的正方向进入第一象限。在第一象限有一垂直纸面的圆形磁场区域，磁场变化规律如图丙所示，磁场变化周期为T0（忽略磁场突变的影响），粒子在t=0时刻进入磁场，且始终在磁场区域内运动。求： (1)经过P点时的速度v0； (2)交变电场的场强大小E0； (3)圆形磁场区域的最小面积S。 考向3 先磁场后电场 例1 （2025·江苏常州·二模）如图，水平放置的平行栅极板M带正电，N带负电，间距为d，电压，P处有一质量为m、电荷量大小为q的带负电离子，以v0速度沿着与竖直方向成角θ（未知）垂直磁场射向板M上方的匀强磁场B1区，经过匀强电场区域后进入N下方的匀强磁场B2区，恰好没从下边界Q射出，并刚好能直接返回到P处。已知磁场方向均垂直纸面向里，，下边界Q到极板N的距离为3d，离子在经过栅极板时均没有与栅极板相碰，不计离子重力。求： (1)离子进入板N下方磁场时速度v的大小； (2)sinθ的大小； (3)极板M上方磁场磁感应强度B1的大小。 【变式训练1·变考法】（2025·全国·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内，区域I（x<-L）内有方向垂直xOy平面向外的匀强磁场；区域II（-L<x<0）内有一平行纸面且大小、方向均未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从点a（-2L，-2L）沿y轴正方向、以大小为v0的初速度开始运动，从点b（-L，-L）沿x轴正方向进入区域II，粒子在电场中运动时间后，从坐标原点进入第一象限，第一象限内存在垂直xOy平面向里的磁场，该磁场内各点的磁感应强度大小B2与横坐标x满足B2=kx（k为大于0的常量）。不计粒子重力，求： (1)区域I内匀强磁场磁感应强度B1的大小； (2)区域II内匀强电场场强E的大小； (3)该粒子在第一象限内运动过程中与y轴的最大距离。 【变式训练2·变考法】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在的区域内有磁感应强度大小B = 4.0×10-4T、方向垂直于纸面向里的条形匀强磁场，其左边界与x轴交于P点；在x>0的区域内有电场强度大小E= 4N/C、方向沿y轴正方向的条形匀强电场，其宽度d = 2m。一质量m= 6.4×10-27kg、电荷量q =-3.2×1019C的带电粒子从P点以速度v = 4×104m/s，沿与x轴正方向成α=60°角射入磁场，经电场偏转最终通过x轴上的Q点（图中未标出），不计粒子重力。求： (1)带电粒子在磁场中运动时间； (2)当电场左边界与y轴重合时Q点的横坐标x； (3)若只改变上述电场强度的大小，要求带电粒子仍能通过Q点，讨论此电场左边界的横坐标x′与电场强度的大小E′的函数关系。 1．（多选）（2025·河北·高考真题）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 2．（多选）（2023·海南·高考真题）如图所示，质量为，带电量为的点电荷，从原点以初速度射入第一象限内的电磁场区域，在（为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（值有多种可能），可让粒子从射入磁场后偏转打到接收器上，则（    ）    A．粒子从中点射入磁场，电场强度满足 B．粒子从中点射入磁场时速度为 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到的距离为 D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 3.（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 4.（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    3 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难强化十六 带电粒子在组合场中的运动 目录 01 考情解码 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一 带电粒子在组合场中的运动 4 知识点1 组合场基本思路 4 知识点2 磁场与磁场组合 4 知识点3 电场与磁场组合 4 考向1 磁场与磁场组合 5 考向2 先电场后磁场 13 考向3 先磁场后电场 18 04 真题溯源·考向感知 24 常考考点 真题举例 磁场与磁场的组合 2024·辽宁·高考真题 2023·河北·高考真题 电场和磁场的组合 2025·河南·高考真题 2025·湖南·高考真题 2025·河北·高考真题 2025·山东·高考真题 2024·福建·高考真题 2024·浙江·高考真题 2024·北京·高考真题 2024·广东·高考真题 2024·山东·高考真题 2024·湖南·高考真题 2024·新疆·高考真题 考情分析： 1．高考对这部分内容的考查，以选择题和计算题的形式出现，通常情况下难度较大，经常以压轴题的形式出现。 2．从命题思路上看，考查方向为 基本知识考查：带电粒子在电场中的直线运动，带电粒子在电场中的偏转，带电粒子在磁场中的运动； 常见模型考查：磁场与磁场组合，电场和磁场组合； 与科技相结合：粒子加速度，电容器，人造核聚变。 复习目标： 目标一：掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路。 目标二：学会处理磁场和磁场组合、电场和磁场组合带电粒子运动问题。 考点一 带电粒子在组合场中的运动 知识点1 组合场基本思路 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示。 第3步：用规律 知识点2 磁场与磁场组合 1.磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 知识点3 电场与磁场组合 1.先电场后磁场 （1）带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图1。 图1 （2）带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图2。 图2 【注意】进入磁场的速度是离开电场的末速度，而非进入电场的初速度。 1.先磁场后电场 （1）进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图3甲所示)。 （2）进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)． 图3 考向1 磁场与磁场组合 例1 如图所示的直角坐标系，在横轴下方有一半径为R的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点。在的范围内沿y方向均匀分布着大量质量为m、电荷量为的带电粒子，它们以平行于x轴的相同初速度射入圆形磁场区域，均恰能由O点射入第一象限的矩形磁场区域OPQN内，矩形磁场区域的长度为其宽度的2倍。已知在矩形磁场区域内运动时间最长的粒子转过的圆心角为，两磁场区域的磁感应强度大小均为B，不计粒子重力。求： （1）粒子的初速度； （2）矩形磁场区域的宽度a； （3）从PQ边射出的粒子数与射入磁场的总粒子数的比。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设粒子在磁场区域内做匀速圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律，有 因为入射的粒子均由点进入第一象限，是磁聚焦模型，有 解得 （2）设在矩形区域内运动时间最长的粒子其速度方向与轴正方向夹角为，由题意知，其轨迹与边刚好相切，由几何关系得 解得 （3）由上问可解得 设在矩形区域内运动时间最长的粒子，其射入圆形磁场区域时的纵坐标为，由几何关系得 所求粒子占比为，代入数据得 【变式训练1】如图所示，直角坐标系中，有一平行于y轴长度为0.5L的线状离子源MN，M端在x轴上，坐标，离子源发射的正离子初速度大小均为，方向平行于x轴正方向，且发射的正离子沿MN均匀分布，每个离子质量为m，电荷量为q；在、区间内加一垂直于纸面向里，磁感应强度大小为的圆形边界匀强磁场，能使离子源发射的全部正离子经过原点O，不计离子重力及离子间的相互作用。 （1）求磁感应强度的取值范围； （2）若磁感应强度取最小值，在第一象限加垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在第二象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，已知。离子发射前，在y轴上放置长度为0.8L的探测板PQ，只有打到探测板左侧表面的离子才能被探测到。 ①求全部正离子经过原点O时与y轴正方向夹角的范围； ②若探测板下端Q纵坐标，求离子探测率（即探测板探测到的离子数占总离子数的比例）； ③若探测板位置在y轴上可变，Q端纵坐标满足，求离子探测率与的关系。 【答案】（1）；（2）①；②；③见解析 【详解】1）离子在圆形磁场中汇聚到O，离子运动圆周半径r等于圆形磁场的半径R，即 如图所示 所加圆形边界磁场的半径R满足 由洛伦兹力提供向心力得 联立可得 （2）若时，离子圆周运动的半径为 ①由 可得 即与y轴正方向的夹角范围 ②若，离子经过、两个磁场后在y轴方向上离O的距离，则有 临界1（如图2中轨迹①） 可得 临界2（如图2中轨迹②） 可得 上述表示出一个临界即得 ③，分成4个区间 i）当时 ii）当时 可得 则有 iii）当时 可得 则有 iv）当时，离子穿过O点后经过一个运动周期打到探测板左侧 可得 离子穿过O点后经过两个运动周期打到探测板左侧 可得 则有 【变式训练2】（2023·江苏南京·三模）如图所示，空间有垂直于平面向里的两个匀强磁场，空间的磁感应强度大小为B，空间的磁感应强度大小为。原点O处有一个粒子源，同时射出两个速度大小均为、比荷均为的同种带正电粒子。沿y轴负方向的粒子记为A粒子，沿与x轴正方向的夹角为的粒子记为C粒子。不考虑粒子之间的碰撞和其他相互作用。求： （1）A粒子发射后，第二次经过x轴时距原点O的距离； （2）C粒子发射后，经过x轴射向空间所用的时间； （3）A、C两粒子均经x轴射向空间时恰好相遇所对应的k值。 【答案】（1）；（2）；（3）7 【详解】（1）粒子运动如图 粒子在y<0空间做圆周运动 所以圆周运动半径 同理在y>0空间 所以A粒子第二次穿过x轴时 （2）粒子在y<0空间运动的周期 同理在y>0空间 C粒子一个周期内在粒子在y<0空间运动圆周，在y>0空间圆周 则C粒子运动的周期为 所以C粒子再次以相同的速度经过x轴的时间 ，其中n=1、2、3…… （3）A粒子每个周期走过的位移为 时间为    C粒子每个周期走过的位移为 时间为 由于 所以两粒子相遇的条件是 即 解得 考向2 先电场后磁场 例1 （2025·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在xOy坐标平面第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，在其它象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小相等。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的A点，以初速度沿着x轴负方向射入匀强电场，经过一段时间从P点与x轴负方向成角进入磁场，已知P点坐标，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，粒子重力忽略不计。求： (1)电场强度E大小； (2)磁感应强度B大小和粒子从离开A点至第二次到达x轴的时间t； (3)第四象限的磁感应强度增大为原来的k倍，放在x轴上图中Q点的粒子接收器能接收到粒子时k的值。 【答案】(1) (2) (3)2或4 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有，， 联立解得 （2）在磁场中运动速度 轨迹如图 其中 则 又 解得 在电场中运动 在磁场中运动 其中 联立解得 （3）粒子的运动轨迹如图所示 第四象限内磁场为原来的k倍，则 再由 解得 式中n只能取1，故 或 解得 式中n也只能取1，故 综上，粒子接收器能接收到粒子时k的值为2或4。 【变式训练1·变考法】（2025·江苏泰州·二模）如图所示，O点处有一粒子源，能够向xOy平面内各个方向射出质量为、电量为、初速度为的高能粒子。为了减小粒子对周围环境的影响，在以O为圆心，半径R1=0.04m处加上接地的网状电极，在内部产生沿半径方向的电场，使粒子的速度减小到。不计重力，不考虑粒子间的碰撞和相互作用力，粒子可以穿过网状电极。 (1)求网状电极和O点间电势差的大小U； (2)为了使粒子离开电场后，离O点的距离不超过R2=0.16m，可以紧贴网状电极在外侧施加垂直于xOy平面向里的范围足够大的匀强磁场（图中未画出），求磁场的磁感应强度B1的最小值； (3)为了使第一象限射出电场的粒子最终都能够沿y轴正方向运动，需要紧贴电场区域外施加垂直于xOy平面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度为。求满足要求的最小磁场区域边界上的点x坐标的最大值和y坐标的最大值。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）根据动能定理 解得 （2）如图，根据勾股定理 解得 洛伦兹力提供向心力 解得 即B1的最小值为 （3）洛伦兹力提供向心力 解得 如图，当粒子从x正方向进入磁场后，运动轨迹为四分之一圆周 即最小磁场区域的右边界函数方程为 其中， 根据几何关系，粒子运动轨迹的圆心O1分布在以O点为圆心，半径为 的圆周上，因此圆心所在的函数方程为 为了使出射速度沿y轴正方向，其对应的半径O1C平行于x轴，粒子出射点C在圆心右侧 因此出射点C与运动轨迹的圆心O1的y坐标相同，出射点x坐标比圆心x坐标大 因此出射点所在的函数方程为 即为未画出部分边界的函数方程，其中， 综上所述：x坐标的最大值；y坐标的最大值 【变式训练2·变考法】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）如图甲所示，在xOy平面内y轴的左侧有宽为L的电场区域，在电场区域的左侧有一加速电场，电压为U0，一质量为m，带电量为+q的带电粒子从A点飘入加速电场（忽略初速度），从x轴的P点（-L，0）进入电场区域，粒子进入电场区域时在电场区域加上图乙所示的与y轴平行的交变电场，（T未知），y轴正方向为电场的正方向，粒子经过交变电场后从y轴上的Q点（0，L）沿着x轴的正方向进入第一象限。在第一象限有一垂直纸面的圆形磁场区域，磁场变化规律如图丙所示，磁场变化周期为T0（忽略磁场突变的影响），粒子在t=0时刻进入磁场，且始终在磁场区域内运动。求： (1)经过P点时的速度v0； (2)交变电场的场强大小E0； (3)圆形磁场区域的最小面积S。 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）粒子从A点到P点，由动能定理有 解得 （2）粒子进入偏转电场中有 （n=1，2，3……） （n=1，2，3……） 联立解得 （n=1，2，3……） （3）粒子从Q点射出时速度方向沿x轴正方向，速度大小为v0，粒子在磁场中运动的周期为 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 设粒子做圆周运动的半径为r，则 圆形磁场的最小半径 最小面积 解得 考向3 先磁场后电场 例1 （2025·江苏常州·二模）如图，水平放置的平行栅极板M带正电，N带负电，间距为d，电压，P处有一质量为m、电荷量大小为q的带负电离子，以v0速度沿着与竖直方向成角θ（未知）垂直磁场射向板M上方的匀强磁场B1区，经过匀强电场区域后进入N下方的匀强磁场B2区，恰好没从下边界Q射出，并刚好能直接返回到P处。已知磁场方向均垂直纸面向里，，下边界Q到极板N的距离为3d，离子在经过栅极板时均没有与栅极板相碰，不计离子重力。求： (1)离子进入板N下方磁场时速度v的大小； (2)sinθ的大小； (3)极板M上方磁场磁感应强度B1的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理得 代入数据得 （2）根据题意，可知粒子运动的轨迹如图所示 设进入下方磁场时的速度与竖直方向的夹角为α，运动的半径为r2，则 又有 解得 得 在M、N间的电场区域 解得 （3）在电场区间运动时间设为t，由 解得 在电场区间运动时，水平方向的位移 设在上方磁场区间，粒子运动的轨道半径为r1 由轨迹图和几何关系可知 解得 由 解得 【变式训练1·变考法】（2025·全国·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内，区域I（x<-L）内有方向垂直xOy平面向外的匀强磁场；区域II（-L<x<0）内有一平行纸面且大小、方向均未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从点a（-2L，-2L）沿y轴正方向、以大小为v0的初速度开始运动，从点b（-L，-L）沿x轴正方向进入区域II，粒子在电场中运动时间后，从坐标原点进入第一象限，第一象限内存在垂直xOy平面向里的磁场，该磁场内各点的磁感应强度大小B2与横坐标x满足B2=kx（k为大于0的常量）。不计粒子重力，求： (1)区域I内匀强磁场磁感应强度B1的大小； (2)区域II内匀强电场场强E的大小； (3)该粒子在第一象限内运动过程中与y轴的最大距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系得粒子在区域I中运动的轨迹半径为 由牛顿第二定律得 解得 （2）设匀强电场的水平分量为，竖直分量为，由牛顿第二定律得、 粒子沿x轴、y轴的分运动均为匀变速直线运动，沿x轴方向有 沿y轴方向有 解得， 区域II内匀强电场场强E的大小为 （3）粒子经过坐标原点O瞬间，沿x轴方向的分速度大小为 沿y轴方向的分速度大小为 粒子经过O点瞬间的速度大小为 粒子在第一象限内运动过程中，当粒子与y轴距离最大时，粒子沿x轴方向的分速度为0，沿y轴方向的分速度大小为 在y轴方向由动量定理得 而 解得 【变式训练2·变考法】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在的区域内有磁感应强度大小B = 4.0×10-4T、方向垂直于纸面向里的条形匀强磁场，其左边界与x轴交于P点；在x>0的区域内有电场强度大小E= 4N/C、方向沿y轴正方向的条形匀强电场，其宽度d = 2m。一质量m= 6.4×10-27kg、电荷量q =-3.2×1019C的带电粒子从P点以速度v = 4×104m/s，沿与x轴正方向成α=60°角射入磁场，经电场偏转最终通过x轴上的Q点（图中未标出），不计粒子重力。求： (1)带电粒子在磁场中运动时间； (2)当电场左边界与y轴重合时Q点的横坐标x； (3)若只改变上述电场强度的大小，要求带电粒子仍能通过Q点，讨论此电场左边界的横坐标x′与电场强度的大小E′的函数关系。 【答案】(1)5.23×10-5s (2)5m (3)见解析 【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 代入数据得 轨迹如图1交y轴于C点，过P点画v的垂线交y轴于O1点，由几何关系得O1为粒子运动轨迹的圆心，且圆心角为60°。 在磁场中运动时间 代入数据得： （2）C点到坐标原点的距离 设带电粒子离开电场时的速度偏向角为θ，则， ， ， 解得 根据平抛运动的推论得 解得 （3）电场左边界的横坐标为x′。当0＜x′＜3m时，如图2。 设粒子离开电场时的速度偏向角为θ′，则： 根据平抛运动的推论得 解得 当3m≤≤5m时，如图3，有 ， ， ， 解得 1．（多选）（2025·河北·高考真题）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【答案】BCD 【详解】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A错误； B．随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达N极板时满足， 解得 即d越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B正确； C．因粒子发射方向与OP夹角为60°时恰能垂直穿过M板Q点的小孔，则由几何关系 解得r=2L 可得 可得粒子从磁场上方，直接打在打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 当N极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q点射入极板，会返回再从在Q点射出，后继续做圆周运动，这时打M板在板上表面的位置 则粒子打在M板上表面的位置的最大距离为，选项C正确； D．因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ长度时，粒子仍可从Q点进入两板之间，由几何关系可知此时粒子从P点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M板夹角为α=30°，则在两板间运动时间 其中 打到M板下表面距离Q点的最小距离 解得 选项D正确。 故选BCD。 2．（多选）（2023·海南·高考真题）如图所示，质量为，带电量为的点电荷，从原点以初速度射入第一象限内的电磁场区域，在（为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（值有多种可能），可让粒子从射入磁场后偏转打到接收器上，则（    ）    A．粒子从中点射入磁场，电场强度满足 B．粒子从中点射入磁场时速度为 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到的距离为 D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 【答案】AD 【详解】A．若粒子打到PN中点，则 解得 选项A正确； B．粒子从PN中点射出时，则 速度 选项B错误； C．粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，则 粒子从电场中射出时的速度 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则 则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN的距离为 解得 选项C错误； D．当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N点进入磁场，此时竖直最大速度 出离电场的最大速度 则由 可得最大半径 选项D正确； 故选AD。 3.（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有 解得 （2）根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间为 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 联立解得 （3）若粒子从a点以竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为，粒子在磁场中运动的半径仍为，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角 结合小问2分析可知，粒子在电场中的运动时间为 间的距离为 由几何关系可得 则 粒子在磁场中的运动时间为 则有 综上所述可知，粒子每隔时间向右移动，则漂移速度大小 4.（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    【答案】（1）；（2）（3）60% 【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系 解得 r1=2L 根据 解得 在磁场中运动的周期 运动时间    （2）若B2=2B1，根据 可知 粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系 解得 r2=2L 根据 解得 （3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理 即 求和可得 粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中 解得 则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为 η=60% 3 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$