第二章 函数（复习课件）数学北师大版2019必修第一册

该高中数学函数单元复习课件系统梳理了函数的概念、性质、类型及应用，通过单元知识图谱将函数定义、定义域、单调性、奇偶性、幂函数等核心内容整合，帮助学生构建完整的函数知识网络。 其亮点在于题型剖析涵盖定义域、值域等六大类，每种题型配套观察法、换元法等解题方法，结合针对训练的分层练习，培养学生的数学思维和应用意识。教师可利用此资料精准复习，提升学生知识巩固效果。

单元复习课件 第二章 函数 北师大版2019·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握函数的概念；熟练运用解析法、列表法、图像法表示函数 3.理解函数的单调性与最值性质及函数的奇偶性并且熟练运用； 2.了解分段函数及画其图像；会求复合函数的定义域及解析式 4.掌握幂函数，熟悉简单的函数图像的变换与应用 单元学习目标 单元知识图谱 1.函数的定义： 一般地，我们有：设，是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系，对于集合中的任何一个数，在集合中都有唯一的数和它对应，那么称这样的对应 ：为定义于取值于的函数，也记作. 其中，叫作自变量，的取值范围叫作函数的定义域；与对应的数叫作函数值，记作，所有函数值组成的集合叫作函数的值域.值域是集合的子集. 考点串讲 2.函数的定义域问题 (1)当f(x)是整式时，定义域为___________. (2)当f(x)是分式时，定义域是______________________________． (3)当f(x)是偶次根式时，定义域是_____________________________________． (4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时， 定义域是________________________________________． R 使分母不等于0的x取值的集合 使被开方式取非负值的x取值的集合 使幂的底数非零或底数大于0的x取值范围 重点提醒：这些都是确定函数定义域的主要依据！ 考点串讲 考点串讲 5.分段函数： 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； (2)在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； (3)分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集. 6.函数的单调性： 考点串讲 7.函数的奇偶性： (1)的定义域关于原点对称，并且成立，则称为偶函数；图象关于轴对称。 (2)的定义域关于原点对称，并且成立，则称为奇函数，的图象关于原点对称。 考点串讲 8.常见幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 函数 性质 R R R R R [0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) 奇 奇 奇 偶 非奇非偶 [0,+∞)增 (-∞,0]减 (0,+∞)减 (-∞,0)减 增 增 增 (1,1) 考点串讲 题型一、函数的定义域 题型剖析 题型二、函数的值域 考向一、观察法求函数值域 例2 求下列函数的值域： 题型剖析 题型二、函数的值域 例3 已知 ，求 【换元法】由题意令 ，则 所以           即   【配凑法】 因为     所以   考向二、换元法和配凑法 题型剖析 题型二、函数的值域 配方法(二次函数型) 题型剖析 题型二、函数的值域 分离常数法 1.适用于分子分母均含变量的分式 2.分离目的：化为熟悉结构，便于利用反比例函数或基本不等式求 分式的范围、最值等 把分子中的变量分离掉，使分子化为常数 3.分离方法：分子配凑出与分母一样的结构→约分 题型剖析 题型二、函数的值域 判别式法 例6 求函数y = 的值域 解：∵ ， ∴函数的定义域为R，原式可化为： 整理得 （1）若y=1,即2x=0,则x=0 ； 综上：函数是值域是 题型剖析 题型三、函数的解析式 题型剖析 题型三、函数的解析式 题型剖析 题型四、分段函数 当a>1时，a＋1>2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∴2(a－1)＝2a，无解. 当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意. 题型剖析 题型五、函数的单调性与奇偶性 【例10】设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(-x)=f(x),f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(2a2+a+1)<f(2a2-4a+3),求实数a的取值范围. 题型剖析 题型五、函数的单调性与奇偶性 题型剖析 题型五、函数的单调性与奇偶性 思路分析:根据f(x)为奇函数和已知的f(1)=-1,变换-1≤f(x-2)≤1为f(1)≤f(x-2)≤f(-1),再根据函数单调性得出关于x的不等式解之即得x的取值范围. [例12](2017年全国Ⅰ卷)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　) (A)[-2,2] (B)[-1,1] (C)[0,4] (D)[1,3] 解析:因为f(x)是奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1. 所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减, 所以-1≤x-2≤1.所以1≤x≤3.故选D. 题型剖析 题型五、函数的单调性与奇偶性 (A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(0,1] (C)(0,1) (D)(0,1] 题型剖析 题型五、函数的单调性与奇偶性 【例14】 (多选题)已知函数f(x)= 是R上的函数,且满足对于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则a的可能取值是(　　) A.1 B.-1 C.-2 D.-3 CD 题型剖析 题型五、函数的单调性与奇偶性 题型剖析 题型五、函数的单调性与奇偶性 例16 已知定义在区间上的函数，满足： （i)对任意，都有； （ii）当时，. ①判断并证明单调性； ②解关于的不等式. 解析： ①：设，且 . 因，故，得，函数在区间上单减. ②不等式即 由函数的定义域和单调递减，得 ，解得. 题型剖析 题型五、函数的单调性与奇偶性 ∵-2≤x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递增. (1)求实数m和n的值; (2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值. 题型剖析 题型六、幂函数 题型剖析 练习1 若函数y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数g(x)=f(-x)的定义域是(　　) A.[-4,4] B.[-4,2] C.[-4,-2] D.[2,4] 解析 由题知-2≤-x≤4,得-4≤x≤2.所以函数g(x)=f(-x)的定义域是[-4,2]. 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 练习5对于任意x∈R,函数f(x)表示 ,x2-4x+3中的较大者,则f(x)的最小值是　　　　　.  2 针对训练 解题技巧： （1）奇函数： 变形为.再利用单调性去掉，化为关于，的不等式. （2）偶函数：,在化到同一区间建立不等式即可. 针对训练 解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0) 上是增函数,所以f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,所以f(3)=f(-3)=0.作出函数的一个大致图象。如图所示.当x>0时,由f(x)<0,解得x>3; 当x<0时,由f(x)>0,解得-3<x<0. 故所求解集为{x|-3<x<0或x>3}. 针对训练 【练习8】.设定义在R上的奇函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调减函数,且f(x2-3x)+f(2)>0,则实数x的取值范围是　　 　　.  解析:根据题意,f(x)是在R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上是单调减函数,则其在区间 (-∞,0)上递减,则函数f(x)在R上为减函数,f(x2-3x)+f(2)>0⇒f(x2-3x)>-f(2) ⇒f(x2-3x)>f(-2)⇒x2-3x<-2,解得1<x<2,即实数x的取值范围是(1,2). 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 1.定义域是求使函数有意义的自变量x的取值范围;求函数的值域,别忘了定义域优先的原则.另外,定义域、值域一定要写成集合或区间的形式. 4.函数奇偶性的几个重要结论 （1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. （2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数解析式的求法 (1)配凑法：(2)待定系数法：(3)换元法：(4)方程思想： 3.单调区间 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能是开区间。 （2）单调区间D 定义域I。 （3）遵循最简原则，单调区间尽可能大。 （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“ ”，可以用“和来表示。” 课堂总结 感谢聆听! 3.求函数值域的基本方法： (1)直接法． (2)图像法． (3)配方法： (4)换元法． (5)利用函数的单调性． (6)分离常数法： (7)判别式法： 函数的表示方法： 解析法、图象法、列表法 [解析]（2）因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x＜1，所以－1≤2x－1＜1. 故f(x)的定义域为[－1,1)，所以－1≤1－3x＜1.解得0＜x≤eq \f(2,3)， 所以f(1－3x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))). [例1](1)函数f(x)＝eq \f(3x2,\r(1－x))＋(3x－1)0的定义域是 (　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) (2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域 [解析](1)由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x>0，,3x－1≠0，))解得x<1且x≠eq \f(1,3). 解析：(1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0,0，x＝0,－\r(－x)－1，x<0)) (2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝eq \r(－x)＋1. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝eq \r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq \r(－x)－1. ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0，,0，x＝0，,－\r(－x)－1，x<0.)) 【例7】(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，则f(x)的解析式为______． (2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)的解析式为________． ∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝. ∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 综上，f＝6. 【例9】设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】a<1时，a＋1>1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， 解 ∵f(x)是定义在R上的函数,且f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.又f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. 又2a2+a+1=2(a+)2+>0,2a2-4a+3=2(a-1)2+1>0,由f(2a2+a+1)<f(2a2-4a+3)知,2a2+a+1>2a2-4a+3,得5a>2,∴a>,∴实数a的取值范围是(,+∞). 例13 若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是(　 　) 解析:对于f(x)=-x2+2ax,开口向下,对称轴为x=a,若函数在区间[1,2]上都是减函数,则区间[1,2]在对称轴的右侧,所以可得a≤1,对于g(x)=,其相当于将y=的图象向左平移1个单位,得到如下函数图象:此时我们可以判断,当a>0时,则函数y=在第一象限为单调递减,而g(x)=在(-1,+∞)单调递减,故a的取值范围是(0,1],故选D. 解析 由条件对任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立, 则函数单调递增,若函数f(x)=是R上的增函数, 需满足解得-3≤a≤-2.故选CD. 例15 已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有， 且，则不等式的解集为 ． 【解析】因为，所以， 设，因为，所以，则是增函数，， 因为为奇函数，所以为奇函数，所以，． 不等式可转化为，即， 所以，即的解集为，故答案为：. ． ∴f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为f(-1)=-,最小值为f(-2)=-. 解 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴=-.∴n=-n,即n=0. 此时,f(x)=的定义域是{x∈R|x≠0}.又f(2)=,∴,解得m=2. ∴实数m和n的值分别是2和0. 【例17】 已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=. (2)由(1)知f(x)=.任取x1,x2∈[-2,-1],且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1-x2)·. 例18 已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，符合题意， 当时，在上是减函数，不符合题意，舍去，所以，故选：C. [练习3]函数f(x)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))，求g(x)＝f(x)－2eq \r(fx)的值域． [解]因为f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))，所以eq \r(fx)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，设eq \r(fx)＝t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，所以g(t)＝t2－2t＝(t－1)2－1∈[－1,0]，所以函数g(x)的值域为[－1,0]． 练习4 (1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于 直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式． 解析：(1)因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1， 两式联立得f(x)＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2). (2)[解]因为f(x)的对称轴为x＝－1，所以－eq \f(b,2a)＝－1即b＝2a，又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1， 由条件③知：a>0，且eq \f(4ac－b2,4a)＝0，即b2＝4ac，由上可求得a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(1,4)， 所以f(x)＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x＋eq \f(1,4). -x+3,x+ 解析：“函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的较大者” 是指对某个区间而言, 函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中最大的一个. f(x)= 解析∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)． ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)． ∴原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|>|m|，))解得－1≤m<eq \f(1,2). ∴实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). 练习6 定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减， 若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 练习7 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,若f(-3)=0,则<0的解集为　 　　　.  练习9 函数的递增区间为　　 A. B. C. D. 【解答】，令，则单调递增 的单调增区间是，根据复合函数的同增异减性可确定 原函数的单调增区间为：故选：． 练习10 已知幂函数在定义域上不单调． (1) 求函数的解析式；(2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意；所以函数的解析式为. 练习10 已知幂函数在定义域上不单调． (1) 求函数的解析式；(2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围 【解析】（2）函数为奇函数，理由如下：函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3） 由及为奇函数，得， 即，而在上递减且恒负， 在上递减且恒正，所以或或， 解得或，所以实数的取值范围. $$