专题03不等式的性质（讲义）- 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第3个专题：不等式的性质。本专题涵盖不等式的性质、区间等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 不等式的性质（讲义） 1．两个实数大小的比较 (1)a＞b⇔a－b＞0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)不等式加等量：a>b⇔a＋c > b＋c； (4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒ac>bc，不等式乘负量：a>b，c<0⇒ac<bc； (5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d； (7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒＞； (9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜； (10)不等式的乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N且n≥2)； (11)不等式的开方：a>b>0⇒>(n∈N且n≥2)． 注意： 1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 3．区间 (1)设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} ． 1（2018年内蒙古对口升学）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. ac>bc B. a-c>b-c C. D. 2.（2018年赤峰理工职业学校考前冲刺卷）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2021年包头市模拟卷）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4.（2019赤峰理工职业学校冲刺模拟卷）已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 5.（2023赤峰理工职业学校520模拟）已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 知识点1 实数比较大小 1.求证：. 2.若，则____________（在空格处填入“>”“<”） 3.与的大小关系为 . 4.若，则A、B的大小关系是（    ） A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 5..设，，，则P、Q的大小为（       ） A． B． C． D． 知识点2 用不等式的性质比较大小 1.若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 3.已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 4.已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 5.下列不等式中正确的是（    ） A．若且，则； B．若，则 C．若，则； D．若，则. 知识点3不等式性质的应用 1.已知，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 2.已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3.下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 4.已知，，求的范围． 5.已知,,求的取值范围． 知识点4区间 1.已知集合，则集合 . 2.全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是 ． 4.已知，且，则的取值范围为 . 5.已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第3个专题：不等式的性质。本专题涵盖不等式的性质、区间等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 不等式的性质（讲义） 1．两个实数大小的比较 (1)a＞b⇔a－b＞0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)不等式加等量：a>b⇔a＋c > b＋c； (4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒ac>bc，不等式乘负量：a>b，c<0⇒ac<bc； (5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d； (7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒＞； (9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜； (10)不等式的乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N且n≥2)； (11)不等式的开方：a>b>0⇒>(n∈N且n≥2)． 注意： 1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 3．区间 (1)设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} ． 1（2018年内蒙古对口升学）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. ac>bc B. a-c>b-c C. D. 【答案】B 【解析】. A选项 当c = 0时，ac=bc = 0；当c<0时，不等式a>b两边同时乘以c，不等号方向要改变，即ac<bc。所以仅当c>0时，ac>bc才成立，A选项不一定成立。  B选项 不等式a>b两边同时减去c，根据不等式的基本性质，不等号方向不变，所以a - c>b - c，B选项一定成立。  C选项反例：当a = 1，b=-2时，不一定成立。  D选项 反例：当a = 1，b=-1时，a>b，不一定成立。 2.（2018年赤峰理工职业学校考前冲刺卷）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，，解得， 综上，实数的取值范围是， 故选：D. 3.（2021年包头市模拟卷）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A. 4.（2019赤峰理工职业学校冲刺模拟卷）已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，所以，故答案为：. 5.（2023赤峰理工职业学校520模拟）已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为正数，为负数，所以，， ，所以. 故选：C. 知识点1 实数比较大小 1.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为， 故，又， 故.. 2.若，则____________（在空格处填入“>”“<”） 【答案】 【解析】因为，可得， 所以，所以， 故答案为：. 3.与的大小关系为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 故答案为：． 4.若，则A、B的大小关系是（    ） A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 【答案】B 5..设，，，则P、Q的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，所以， 故选：A. 知识点2 用不等式的性质比较大小 1.若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，由，则，故C正确； 对于D，当时，，则，故D错误， 故选：C. 2.若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确； 对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误； 对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误； 对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误. 故选：A. 3.已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为正数，为负数，所以，， ，所以. 故选：C. 4.已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，． ，， ， 故选：B． 5.下列不等式中正确的是（    ） A．若且，则； B．若，则 C．若，则； D．若，则. 【答案】A 【解析】且，则，A正确； 当时，，B错误； 若，则，，即，C错误； 若，满足，但，D错误， 故选：A． 知识点3不等式性质的应用 1.已知，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故，，得， 故选：C. 2.已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，则，所以， 故选：B. 3.下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 【答案】② 【解析】对于①：不等式，若，解得，若，解得，故①错误； 对于②：若，显然，则，所以，故②正确； 对于③：当，，，时满足，，但是，，显然，故③错误； 对于④：因为，当时，故④错误； 故答案为：②. 4.已知，，求的范围． 【答案】． 【解析】解：， ， ． 5.已知,,求的取值范围． 【答案】 【解析】解:,， 又，,， 即的取值范围是． 知识点4区间 1.已知集合，则集合 . 【答案】 【解析】因为，所以， 故答案为：. 2.全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，∴， ∵，∴， 故选：D． 3.已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若是真命题，则， ∴当是假命题时，， 故答案为：. 4.已知，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】，又， 如图，结合数轴分析知，故的取值范围为. 5.已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，，解得， 综上，实数的取值范围是， 故选：D. 6.已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；；(2) 【解析】解：(1)若，则，， 则，. (2)若，则， 因为，， 所以，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$