(九下)第27章 相似-【真题圈】2025-2026学年九年级全一册数学重难题型练（人教版）

真题圈数学九年级R!2N 第二十七章相似 专题一相似三角形的判定与性质 类型1判定 4.(期中·济南槐荫区)如图，已知点E是矩形 1.(期中·合肥瑶海区)如 ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F. 图，已知∠1=∠2，那么 求证：△ABF∽△EAD. D 添加下列一个条件后， 仍无法判定△ABC∽ △ADE的是( 第1题图 A铝怨 B.∠B=∠D 第4题图 c铝器 D.∠C=∠AED 2.(月考·清华附中)如图，在△ABC中，∠A =76°，AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中 的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形 不相似的是( 5.(期末·合肥瑶海区)如图，△DAB和 4676 △EBC都是等腰三角形，A,B,C三点在 第2题图 条直线上，DA=DB,EB=EC,∠ABD= ∠CBE. (1)求证：△DABP△EBC. 760 (2)连接AE交DB于点M,连接CD交EB 76° 于点N,连接MN,求证：△EMN∽△EAB. B C D 第5题图 3.如图是由8个小正方形组成的网格，则在 △ABD,△ACD,△EBD,△EAF中，与 △ABC相似的有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 第3题图 36 重难题型练 类型2性质 11.(期末·广州海珠区)如图，AB=4,CD= 6.(期末·沈阳沈河区)如图是三角尺ABC, 6,点F在BD上，BC,AD相交于点E,且 ∠C=90°，∠B=30°，其中△DEF∽△ABC, AB∥CD∥EF. AB长为12cm,DF长为3cm,则这个三角 (1)若AE=3,求ED的长. (2)求EF的长. 尺中△DEF与△ABC的面积比为( A.1:3 B.1:4 C.1:2 D.1:3 4 B 第11题图 第6题图 第7题图 7.如图，平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8), C为AB的中点，D在x轴上，若以A,C,D 组成的三角形与△AOB相似，则D的坐标 12.(月考·沈阳七中)如图，AD和BE都是 为() △ABC的高，相交于点F,连接DE A.(3,0) (1)求证：△CABP△CDE. (2)若点D是BC的中点，CE=6cm,BE= B4,0)或(-了0） 8cm,则AB的长为 cm. C3,0或（子0） D.(3,0)或(-1,0) 金星教 精品图书 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= A E 3,D为直线AC左侧一点.若△ABCC∽ 第12题图 △CAD,则BC十CD的最大值为( 第8题图 A号 R c D5 9.(月考·福州屏东中学改编)若△ABC0 △DEF,BC=6,EF=4,则哈S 10.(期中·清华附中)两个相似三角形面积比 是9：25，其中面积较小的三角形的周长为 36cm,则另一个三角形的周长是cm. 37 真题圈数学九年级R!2N 专题二 常见模型 类型1基本模型(“A”字“8”字) 6.(期中·深圳中学)如图，在矩形ABCD中， 1.(期末·天津南开区)如图，在△ABC中， 点E在DC上，DE=BE,AC与BD相交于 DE∥BC,AD=6,AE=4,AB=9,则EC的 点O,BE与AC相交于点F. 长为() (1)证明：△OBFp△ECF. A.2 B.4 C.6 D.8 (2)若OF=3,EF=2,求BF的长度， 第1题图 第2题图 第6题图 2.(中考·哈尔滨市)如图，AC,BD相交于点 O,AB∥DC,M是AB的中点，MN∥AC,交 BD于点N.若DO:OB=1:2,AC=12,则 MN的长为() A.2 B.4 C.6 D.8 3.如图，在△ABC中，点D,E在边AB上，点 F,G在边AC上，且DF∥EG∥BC,AD= DE=EB,若SAADF=1,则Sm边形mG =() A.3 B.4 C.5 D.6 类型2一线三等角模型 第3题图 第4题图 7.如图，AB⊥BD,DE⊥BD,点C是BD上一 4.在Rt△ABC中，∠BAC=∠ADC=90°，AD 点，连接AC,CE,添加一个条件使得△ABC =3,BD=2,则CD的长为() 与△CDE相似，添加的这个条件可以 A.2 B.3 c号 D号 是 5.(期中·济南市中区)如图，已知AB⊥BC, EC⊥BC,垂足分别为B,C,AE交BC于点 D,AB=12,BD=15,DC=5,求EC的长. B M 第7题图 第8题图 8.(期中·郑州枫杨外国语学校)如图，在正方 D 形ABCD中，M是BC边上的动点，N在 第5题图 CD上，且CN=CD,若AB=2,设BM= x,当x= 时，以A,B,M为顶点的 三角形和以N,C,M为顶点的三角形相似 38 重难题型练 9.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点类型4内接矩形模型 D为AB边上一点，BD=4,点E为BC边上 12.数学文化《九章算 的动点，以E为顶点作∠DEF=60°，射线 术》是中国古代的 EF交AC边于点F,若BE=1,求CF的长， 数学专著，书中记 载了这样一个问 第12题图 题：“今有句五步， 股十二步.问：句中容方几何？”其大意是： 如图，已知Rt△ABC的两条直角边的长分 别为5和12，则它的内接正方形CDEF的 第9题图 边长为 13.(月考·西安铁一中改编)如图，在锐角 △ABC中，点P,Q分别在AB,AC上，且 PQ∥BC,PM⊥BC于点M,QN⊥BC于 点N,AD⊥BC于点D,交PQ于点E,且 AD=BC,连接MQ.若△ABC的面积为8， 求MQ的最小值. 类型3共顶点旋转模型 10.(月考·西安高新一中改 编)如图，点B,D,E在同 一条直线上，BE与AC B MD N 相交于点r,铝能 第10题图 第13题图 S若EF=CF,△AEF的周长为号则 △CBF的周长为 11.探究性试题如图所示，△ABC和△ADE 清品图书 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED 9o0,AC=BCAE=DE,且S-号. B,D,E三点共线，线段BE,AC交于点F (1)求线段BD,CE之间的数量关系， (2)求∠BEC的度数. 第11题图 39 真题圈数学九年级R!2N 专题三 实际应用 1.情境题（期中·大连甘井子 4m,C0=5m,D0=3m,AO=√73m,则 区)数学活动课上，小明为了 汽车从A处前行的距离AB= m 测量学校旗杆的高度，在他 时，才能发现C处的儿童， 脚下放了一面镜子，然后向 后退，直到他刚好在镜子中 看到旗杆顶端C,此时 ∠AEB=∠CED,小明画出 B 2号楼 如图所示的示意图，并估计 他的眼睛与地面的距离为 汽车 1.5m,同时测得BE= BE D 30cm,BD=2.3m,则旗杆 第1题图 第4题图 5.(月考·西安铁一中)大雁塔又名“慈恩寺 的高度为( 塔”，是国家级文物保护单位，也是西安市 A.10m B.11.5m 的标志性建筑之一.某中学数学社团为了 C.22.5m D.40m 测量大雁塔的高度，在地面上的C处垂直 2.学科融合物理凸透镜成像的原理如图所示， 于地面竖立了高度为2m的标杆CD,这 AD∥L∥BC.若物体到焦点的距离与焦点到 时地面上的点E、标杆的顶端点D、大雁 凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物 塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得 体被缩小到原来的( EC=4m,将标杆CD向后平移到点G D 处，这时地面上的点F、标杆的顶端点H 缩小的 大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点 H 实像 物体 焦点F 焦点 F,G,E,C与塔底处的点A在同一直线 上)，这时测得FG=6m,GC=62m,请你 根据以上数据，计算大雁塔的高度AB. 第2题图 B A号 8 5 c D号 大雁塔 3.(期末·深圳南山区)长尾夹是我们日常学 H D 习、办公经常用到的一种文具.某品牌的长 FG EC 尾夹如图①所示，图②是其在闭合状态时的 第5题图 示意图，经测量知AE=AF=1cm,EB= FD=2cm,EF=0.8cm,则在图②闭合状 态下点B,D之间的距离是 cm. D ② 第3题图 4.如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有 一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡 的拐角另一侧的A处驶来(CM⊥DM,BD ⊥DM,BC与DM相交于点O),已知OM= 重难题型练 专题四 动点问题 1.如图，已知等腰三角形 3.(期中·大连甘井子区)如图，AB⊥BD于点 ABC中，AB=AC= B,CD⊥BD于点D,AB=2,BD=7,CD= 20cm,BC=30cm,点PB∠ 6,点P从点D出发，沿DB方向以每秒3个 从点B出发沿BA以 第1题图 单位长度的速度向终点B匀速运动，连接 4cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C AP,CP,过点A作AE∥CP交DB的延长 出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动， 线于点E,设点P的运动时间为ts。 在运动过程中，当BP= cm时， (1)当=1时，求证：△ABP∽△PDC △BPQ与△AQC相似， (2)当t>1时，若△ABE与△ABP相似，求 2.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三 线段BE的长 角形，动点P,Q同时从A,B两点出发，分别 沿AB,BC匀速运动，其中点P运动的速度 是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点 Q到达点C时，P,Q两点都停止运动，设运 动时间为t(s),解答下列问题： B (1)当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明 第3题图 理由. (2)作QR∥BA交AC于点R,连接PR,当t 为何值时，△APR∽△PRQ R 第2题图 清品图书 41答案与解析 (2)四边形ACED为平行四边形.理由如下：反比例函数的解 析式为=是：ACLy轴，BD1z轴，A4,2.AC= OC=2.:BD=2OC,.BD=2X2=4.:BD⊥x轴， 点B的纵坐标为4，代入y一是，得4=是，解得工=2， ∴.B(2,4).:C(0,2),设直线BC的解析式为y=kx十b,则有 12十b4:解得2：直线C的解析式为y=x十2 1b=2, 令y=0,得0=x+2,解得x=-2,∴E(-2,0), .DE=2-(-2)=4.,AC=4,DE=4,.AC=DE, 又，∠ACO+∠COD=180°，.AC∥DE, ,四边形ACED为平行四边形 12,【解11)把点P(-8,一2)的坐标代入y一是得-2=气8： 解得-16，小反比例函数的解析式为y=15 :点C4,m在反比例函数y一°的图象上，m=4 综上所述，反比例函数的解析式为y一点m4 的 (2)点B在反比例函数y= 图象上.理由如下： 连接AC,BD交于点H,如图. 把点C(4,4),P(一8，一2)的坐标节 分别代人y=a.x+b, 得/如+b-4, a-2' 第12题答图 -8a+b=-2, 解得 b=2, :直线CD的解折式是)y=之十2 在y=2x十2中，令x=0,得y=2,D(0,2) :四边形ABCD是菱形，∴.H是AC,BD的中点. 由A(4,0),C(4,4)可得H(4,2) (士0=4 2 设B(p,q),则 解得P-8B(8,2.在y=16中， 士2=2 g=2, .2 令x=8,得y=2,点B在反比例函数y的图象上 第二十七章相似 专题一相似三角形的判定与性质 1.C 2.C【解析】A阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角 形相似，故本选项不符合题意：B阴影三角形与原三角形有两个 角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意：C.两三角形的 对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意：D.阴 影三角形中，∠A的两边分别为6一2=4,8一5=3，则两三角形 对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题 意.故选C 3.B【解析】由题意可得∠ABC=∠EAF=135°，设小正方形的边 长为a,则AE=AB=√2a,CD=BC=a,BD=2a,AF=3a, AC/∥DE,△MBC△EBD,“0-E-器∠AC= ∠DBA,∴.△ABC△DBA.故选B. 4.【证明】：四边形ABCD为矩形， .∠BAD=∠D=90°，.∠DAE+∠BAE=90°. :BF⊥AE于点F,.∠ABF+∠BAE-9O,∠DAE-∠ABF, 又.∠AFB=∠D=90°，'.△ABF∽△EAD. 5.【证明】(1)，DA=DB,EB=EC, ·∠DAB=∠DBA,∠EBC=∠ECB. :∠ABD=∠CBE,∴∠DAB-∠DBA=∠EBC=∠ECB, .△DAB∽△EBC (2)由(1)知∠EBC=∠DAB,.BE∥AD, △BBMo△DAM器-器同理器-器 BE-C,AD-BD器器 ",'∠MEN=∠AEB,∴.△EMN∽△EAB. 6.B【解析】：∠C=90,∠B=30,.AC=号AB=号×12= 6(cm).'△DEF∽△ABC,∴.S△EFSAAC=DF2tAC DF=3m,.Sa图r￥SAc=1:4.故选B 7.C【解析】：点A(6,0),B(0,8),.OA=6,OB=8.在 Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√OA+OB=√+8= 10.C为AB的中点，.AC=BC=5. 如图D,当△AD0△A0B时，器-铝即亮-。 解得AD=3,,OD=AO-AD=6-3=3,,D(3,0). B B D A D O ① ② 第7题答图 如图②，当AMCD△M0B时，8-裙音-0解得AD 尊0D=AD-A0=亨-6=子D(-子0) 综上所述，点D的坐标为(3,0)或(-了，0），故选C 8.D【解析】：△ABC∽△CAD, “是品是品cD-吉Ac '∠ACB=90°，.AC=AB-BC=9-BC, CD=子(9-BC)=3-号BC. 设B0-x,则BC+CD=x+3-号2=-号(e-号厂+只， :当x=号时，BC+CD的最大值为只故选D 9.是【解析：△ABCn△DEF,∴-' BC AC :BC=6,EF=4品==是故答案为 10.60【解析】，两个相似三角形面积比是9：25，。它们的相似 比为3：5，，它们的周长比为3：5.，面积较小的三角形的周 长为36cm,,另一个三角形的周长是60m故答案为60. 1.【解II:AB/CD△AEBn△DEC是-品 :AB=4,CD=6,AE=3品=音解得DE=号 a:cD/E△BEF△BD需-器 同需-器…需+需-器+邵-1 :譬+零-1，解得EF=号 12.(1)I证明】，AD,BE是△ABC的高， ∴.∠ADC=∠BEC=90. ”∠C=∠C,△ACDABCE,罡-能即是-畏 又：∠C=∠C,∴.△CABP△CDE 2号 分析：，点D是BC的中点，AD⊥BC,∴AB=AC 在Rt△BEC中，：CE=6cm,BE=8cm,BC= CEFBE=68=10(cm),CD-BC=5 em. :△Mcn△cE,品.AD-85-9(am 6 AC=VAD+CD-V(g）》+5-(m. AB=AC-号m 专题二常见模型 上A【解：DE/BC品-怎 :AD=6,AE=4,AB=9.号- 解得AC=6,∴.EC=AC-AE=6-4=2.故选A 2B【析：AB/DC△CD0△ABO,÷8器-器 :008=1:2紧-含00-aA :AC=0A+0C=12,.0A+20A=12,0A=8. :MN∥AC,M是AB的中点，.MN为△AOB的中位线， :MN-20A-专×8=4故选B 3C【解标：AD=DE=EB,铝号，怨 DF∥EG∥BC,∴.△ADF∽△ABC,△ADF∽△AEG. -(0)号-（）= SAA-9SANDF=9SA=4SAADF-4. .S边后=S△Wc一S△wm=9-4=5.故选C 4.C【解析】，∠ADC=90°，∴.∠ADB=180°-∠ADC=90°， ∠B+∠BAD=90°. '∠BAC=90°，∠B+∠C=90°，∠C=∠BAD. ∠ADC=∠ADB=90°，.△DACn△DBA, 品-器AD=BD,CD :AD=3,BD=2,3=2CD,.CD=号.故选C 5.【解】：AB⊥BC,EC⊥BC,.∠C=∠B=90. :∠CDE=∠BDA△DCE△DBA,器-器 AB=12,BD-15,DC-5是-晋BC=4 6.(1)【证明】'，四边形ABCD是矩形， :.OD-OB-DB.OC-OA-AC.DB-AC, ∴.OD=OC=OB=OA,.∠ECF=∠ODE ,DE=BE,∴.∠ODE=∠OBF,,∠OBF=∠ECF :∠OFB=∠EFC,∴，△OBF∽△ECF. (2)[解】，△OBFP△ECF,OF=3,EF=2, 器-器-是设CF-2m,则BF=3m ∴.AF=OA+OF=OC+OF=3+2m十3=2m十6. 由(1)得∠OBF=∠ECF, 真题圈数学九年级U2N CD∥AB,.∠ECF=∠BAF,∴∠OBF=∠BAF '∠OFB=∠BFA,∴△OFB∽△BFA, g器-骠BF=0F,AD,(3mr=32m+6, 解得m1十正，m1正（不符合题意，舍去）， 3 3 ÷BF=3x1+9=1+19. 3 7.∠A=∠ECD(答案不唯一) 81或号【解析CN=CD,AB=2,∴CN=}×2=2 'BM=x,∴.CM=2-x 1 ①当Cv与M是对应边时，器-器即立-学，解得1 ②当CN与AB是对应边时器-器即受-学，解得=号 综上所述x的值是1或故答案为1或。 9.【解】：△ABC是边长为6的等边三角形，.AB=BC=AC 6,∠B=∠C=60°.N∠DEC=∠B+∠BDE=∠DEF+ ∠CEF,∠DEF=6O°，∴.∠BDE=∠CEF.又：∠B=∠C, △BDEACEF,0-8器.吉-CF-是 105【解8-能-能△M0△ADE∠B=∠C 又，∠AFE=∠BFC,∴.△AFE∽△BFC, 5 8器-器…-com-6 2=1 故△CBF的周长为5.故答案为5. 1L.【解】(1)：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ·∠BAC=∠ABC=∠ADE=45°，∠ACB=∠AED=90°， .∠BAD=∠CAE.在Rt△ABC和Rt△ADE中， 福铝品怎：∠AAD=∠CAE, ·△ABDn△ACE,·CE-AC BD AB 器"-号20E,0EcE (2):B,D,E三点共线，∠ADB=180°-∠ADE=180° 45°=135.，△ABDX∽△ACE,∴.∠ADB=∠AEC=135°， ·.∠BEC=∠AEC-∠AED=45 2 【解析】设正方形CDEF的边长为x,则CD=DE=x 由Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12可知AC=5, AD=5-x,BC=12.,四边形CDEF是正方形，.DE∥BC, &△MDB△ACB瓷-0壶-5号，解得x-9 故答案为碧。 I3.【解】，PQ∥BC,AD⊥BC,,AE⊥PQ :Q/e△M0n△A,号-0-1…AE=O :PM⊥BC,QN⊥BC,.∠PMN=∠MNQ=∠MPQ=9o°， ∴.四边形PMNQ是矩形，.PQ=MN,PM=ED. AD-BC,AE-PQ..'AE+ED-BM+MN+CN. .MN+QN=BM+MN+CN...QN=BM+CN. :△ABC的面积为8，号BC·AD=8, AD=BC.B8BC=4.AD=4. 设MN=x,则BM+CN=4-x,PM=QN=4一x 答案与解析 :MQ=√/MN+QN=√+(4-x)=√/2(x-2)+8, ∴.当x=2时，MQ有最小值是2W2. 专题三实际应用 1.A【解析】由题意得，AB■1.5m,BE=0.3m,∠AEB ∠CED.'AB⊥BD,DC⊥BD,∴.∠ABE=∠CDE-9O°， △AEB△CED部器 :BD=2.3m,ED=2m,部-2，解得CD=10m, 则旗杆的高度为10m.故选A 2.A【解析】，BC∥1，CG⊥I,BO⊥1，.四边形OBCG为矩形， .OB=CG.,AH⊥HO,BO⊥HO,.AH∥OB, ÷△MHO△BO0-8-是 ·恕-号，QG=青AH,物体被缩小到原来的告故选A 3.2.4【解析】连接BD,如图所示. 'AE-AF=1 cm,EB-FD-2 cm, EF=0.8 cm, .AB=AD=1+2=3(cm), B ∴铝-品-子且∠A=∠A '.△AEF∽△ABD, D 第3题答图 ∴指品专-品 .BD=2.4cm.∴.点B,D之间的距离是2.4cm故答案为2.4. 4.5.75【解析】在Rt△CMO中，MO=4m,CO=5m,.CM= √/CO-OM=√⑤-4=3(m).'∠BOD=∠MOC,∠BDO -∠C0-90△B0n△CM0,÷器-品9- 3 是，BD=225m在Rt△A0D中，OA=万m,AD= √/OA-OD=8m,∴.AB=AD-BD=8-2.25=5.75(m): ∴.汽车从A处前行5.75m,才能发现C处的儿童. 故答案为5.75. 5.【解】由题意知△EDCU△EBA,△FHG△FBA,:- 爵器-既c=o贤-8cac 6 4 Ac124m“器-景品-中2AB-6m 2 答：大雁塔的高度AB为64m 专题四动点问题 1.智或20【解析】设运动时间为x点当△BPQO△COA时，有 5怒即轻-002解得x-吕BP--9m当 △BP0ACAQ时，有影-8器即号-0兰，解得=5或 x--10(会去)dBp--20m综上所述，当BP-智m 或20cm时，△BPQ与△AQC相似.放答案为智或20. 2.【解】(1)△BPQ是等边三角形，理由如下： 当t=2时，AP=2×1=2(cm),BQ=2×2=4(cm), .BPAB-AP-6-2-4(cm),..BQ-BP, 又：∠B=60°，.△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,如图.在Rt△BEQ中， ∠BQE=90°-∠B=30°，QB=24cm, ∴.BE=tcm,QE=√3tcm,由AP=tcm,得PB=(6-t)cm, .PE=PB-BE=(6-2t)cm. 'QR∥BA,∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60, .△QRC是等边三角形，∴.QR=RC-QC=(6-2t)am, .EP∥QR,EP=QR, B ·四边形EPRQ是平行四边形， PR-EQ=3t cm. 又：∠PEQ=90°， .∠APR=∠PRQ=90° :△MPR△PRQ祭-器. R ∴-解得=号 第2题客图 3t t ·当=号时，△APRO△PRQ, 3.(1)【证明】当t=1时，DP=3,BP=4, :AB-2,cD-6品-号器-音-号即品-器 AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABP=∠ABE=∠D=90°， '.△ABP∽△PDC (2)【解】当>1时，DP=31,BP=7-3.:点P从点D出发， 沿DB方向以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动， 3<7,解得K号1<K号”AE/CP, .∠E=∠CPD.'∠ABE=∠D=90°，.△AEB△CPD, AB:CD=BE PD,.2:6=BE 3t,..BE=t. 若△ABE与△ABP相似，则有以下两种情况： ①当△ABE∽△ABP时，则∠E=∠APE,如图①所示. :AE=AP.ABLBD,.BE=BP, 117-3,解得1=子dBE=1=子 D ①D 第3题客图 ②当△ABE△PBA时，则AB:PB=BE:AB,如图②所示. ∴.2：(7-3)=112，整理得3-71+4=0，解得t=3或=1. :1<<号=1不合题意，合去，BE==学 综上所述，线段BE的长为子或子 第二十八章锐角三角函数 专题一特殊角的三角函数计算 1.A2.D3.D4.105 5.【解11原式=1+号×5-（合）广”-1+2-}-是 （2)原式=巨×号-2x号+V0--1一5+月-1=0 2 6.【解11)原式-2x-3X1+号-1-3+-是 2)原武-（竖）+号×5+5×号-+是+是-子 7.【1)原式=2×+4×（慢）广-后 3x5-