2.3 二次根式 第1课时 二次根式的概念和乘除运算-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（北师大版2024）

3二次根式 第1课时 二次根式的概念和乘除运算 已课内基础闯关 (2)6×(-32). 知识点①二次根式的概念及有意义的条件 1下列各式：①7，②√-5；③0： ④J-3-x,⑤√a+9;⑥ x3+1.其中 1 31号×25×(-)， 是二次根式的有 A.2个B.3个 C.4个 D.5个 2.(2024一2025济南历下区月考)要使二次根 式/2一x有意义，则x的值不可以为( A.0 B.1 C.2 D.3 知识点③ 二次根式的除法 3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围 内有意义？ 计算 ÷云的结果是 (1)3x-2.(2)√x+I+(x-3)° 1 A. c D. 9.计算： )8 (2)15÷5 2E1 知识点②二次根式的乘法 4.计算瓦×⑧的结果为 ( A./16 B.4 C.4 D.16 5.下列二次根式中，与√2的积是无理数的是 ) 知识点④ 乘除运算律在二次根式中的运用 A月 B.12 C./18 D./32 10.计算： (1)(万+1)2. 6.若一个直角三角形的两条直角边长分别为 (2)(/2025+1)(/2025-1). 5和45，则这个直角三角形的面积是 7.计算： 层xm 120 八年级数学BS版 @课外拓展提高 16.设6一10的整数部分为a,小数部分为b, 11.小欧在课堂上学习了二次根式的乘法“a 求(2a十√10)b的值. ·石=√ab”,于是他在课后写了下列五个 等式：①a·6·E-abc;②a+6 =√a+b:③a÷√6=a:b;④a·E ÷E=a·b÷c:⑤a·b·c=√a,B ·√.其中能成立的是 A.①②③④⑤ B.①③④⑤ C.①④ D.①③④ 12.下列判断正确的是 A.带根号的式子一定是二次根式 巴综合能力提升 B.4a一定是二次根式 17.定义：若两个无理数的乘积等于一个有理 C.√m+1一定是二次根式 数，即a·b-c,则称a和b是关于c的“共 D.二次根式的值必定是无理数 轭数”.例：反·=4，则称2和是关于 13.从厄，一，一厄这三个实数中任选两数 4的“共轭数” 相乘，所有积中小于2的有 ( ) (1)已知3和b是关于6的“共轭数”，则b A.0个B.1个 C.2个 D.3个 14.若/75·a的值是一个整数，则正整数a (2)若(2-5)和(6十m)是关于3的“共 的最小值是 轭数”，求m的值。 15.计算： 3(月+)×愿. (4)(3-E)2(5+26). 知识要点归纳 1.一般地，形如√a(a≥0)的式子例作二次根式， “一#称为二次根号，a作被开方数 2。二次祁式的乘法法则和除法法则：石：三 ab(a≥0，b≥0)， -√层a≥0>0 上册第二章 21△4 2)无理数集合：一3,0.53535335…（相邻商个5之 11.解：因为√2y-6=√2(y一3)≥0，√3一y≥0，所以2y-6 =2(y-3)=0,3-y=0, 间3的个数逐次加1)，… 所以y=3,x=4, 3)正实数集合：3号，1组5,0.000300， 所以(x一y)2=1,所以（工-y)2的平方根是士1 第3课时立方根 0.5353353335…(相邻两个5之间3的个数逐次加 1.C变式题-272.2 3.解：1)因为(-7)产=一343，所以-343的立方根是-7，即 1… -343=-7. 《④负实数集合{-0.5，一言，-02， (2)因为0.93=0.729，所以0.729的立方根是0.9， 即/0.729=0.9. 3.B4.x或-x5.>6.B7.x-3或x十3 8.解：(1)如图①，△ABC即为所求（画法不唯一） (2)如图②，△GHI即为所求（画法不唯一）. 所以-的立方是-专即2罗- 4.B5.5 -46.37 图D 图② 8.D9.B10.3变式题1 2平方根与立方根 11,解：设正方体的棱长为xcm. 由题意，得3×(12÷2)2×2=x,解得x=6. 第1课时算术平方根 故正方体铁块的棱长约为6cm, 1.B2.D3.B4.36 第4课时估算 5.解：(1)因为一6=6，所以1一61的算术平方根为 1.B2.C3.-1(答案不唯一)4.A5.> ②因为2子-？-（侵）广，所以2的算术平方根为号 6.解：(1)因为282=7.84，所以-2.8=-√7.84 因为/7<√/7.84，所以-7>-√7.84： 因为(-》-，(》-所以(-2) 的算术 即-W7>-2.8. 平方根为2 (2)因为6=/216，/260>216，所以260>6. 7.B8.59.A (4)因为√256=16,4°=16，所以√256的算术平方根为4. 10.(1)5.197(2)0.218(3)-1,783(4)-5.099 6.A7.(1)3(2)2028.C9.8或7或4 11.D12.<>13.B14.D15.B16.4变式题3 10.解：小明能做到. 17.5 设桌面的长和宽分别为4xcm和3xcm根据题意，得4x· 7 3x=588,即12x2=588,所以x2=49.又因为x>0,所以x 18解：1因为7≈0.636,520.618，后0.的6>0.18. 2 =√49=7，所以4x=4×7=28,3x=3×7=21.因为而积 为900cm3的正方形木板的边长为30cm,28<30,所以能 所品 2” 够裁出一个而积为588cm并且长、宽之比为43的长方 (2)因为100≈4.64,2十1≈5.58，而4.64<5,58，所 形桌面，桌面的长和宽分别为28cm和21cm. 以100<√2I+1. 第2课时平方根 19.解：(1)规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动2m位， 1.C2.B3.-2025变式题3 4.解：(1)因为（土102）2=10，所以10的平方根是 算术平方根的小数点就向左（或向右）移动”位(n为正整 数) 士10'，即±v10=士10= 100 (2)①0.1435 ②)因为（±》广-子-2所以2的平方限是士 ②1435 3二次根式 第1课时二次根式的概念和乘除运算 (3)因为（±15）2=225=(-15)2，所以(-15)2的平方根是 1.B2.D ±15，即±√/-15)=±15. 3解：0)由题意，得3x一220，解得>号 5.D 6.) (2)-0.37.D8.±1619.±4 (2)由题意，得x十1≥0，x一3≠0，解得x≥一1且x≠3. 10.解：(1)由题意，得(x+1)2=64,所以x十1=士8，解得x= 4.C5.B6.7.5 7或x=-9. 1 (2)由题意，得3(2x一1)=27，所以(2x一1)=9，所以2x 7.解：1)原式=√3×27=5=3. 一1=士3，解得x=2或x=一1. (2)原式=6×(-3)×√8×2=-18×4=-72 44 174 八年级数学BS版 7070_b =-4W3 49.49X0_7V面=76 8.C 所以V4.9=√0√100 1010a 9解：1)原式-32.3 14.解：(1)原式=(w2-1)+(3-2)+(W-√3)+…十 2w②2 (/100-√99)=W/100-1=10-1=9 2原武==1. 1 2+1 (2)因为4= =2+1, 2-1(w2-1)w2+1) 10.解：(1D原式=(7)3+2/7+1=7+27+1=8+27. 所以a-1=√2，所以(4-1)2=2，即a-2a十1=2， (2)原式=（√2025）2-12=2025-1=2024. 所以a2-2a=1, 11.D12.C13.C14.3 所以4a3-8a十1=4(a2-24)+1=4×1+1=5. 第3课时二次根式的混合运算 (2)原式= -1=√4-1=2-1=1 1D2B 6 4.解：1)原式=√位×15+2V/3x1西 @瓶式=√月×v绣+7×v露=店+v所-4+ 14=18 √厘+2x网 5 (4)原式=(3-2√6十2)(5+26)=(5-26)(5+26)= 52-(2v6)2=25-24=1. 16.解：因为/<√10<√16，即3<√10<4，所以6一4<6 （g原式=3v2-号×25×5-3原-2xx3-32 2 3 18 √10<6-3，即2<6-√10<3， _W217w2 所以6一√10的整数部分为2，即a=2, 66 所以小数部分为=6-√/10一2=4-√/10，即b=4-√10， 5.B6.B7,1 所以(2a+/10)6=(4+√/10)(4-√10)=42-（√10）2 8.解：(1)原式=3-4V3十4一3十2 =16-10=6. =6-45. 17.解：(1)23 (2)原式=(2√)2-(w6) (2)由题意，得(2一√3)(6十m3)=3.整理，得12一3m)+ =12-6 =6. (2m-6)3=3,所以12-3m=3且2m-6=0,解得m 9.A10.3 =3. 第2课时二次根式的性质和加减运算 11.解：(1)因为4=5十2，b=5-2, 1.D2.D3.C4.D 所以ab=1,a十b=2W5,所以原式=1×25=2W5. 5.解：(1)√200=√2X100=10w2. (2)因为a■√5+2，b■5-2， 所以ab=1,a一b=4, √石2 所以原式=(a-b)2-ab=42-1=15 @-√得-√- 12.C13.314.8+5② 15.解，因为a,6为有理数，且6原十2)-3十区=a十6后， 所以32+25-(+》-4+5 3 =a+bN6,所以a= 6.C7.A 8.解：(1)原式=√2+42-62=一√2 8原式=6v5+5v后-5-， 16.解：(116 9.解：(1)-12-3 (2)原式m-a3-2a2+a2+18a-17 (2)不是 =-a·a(a+2)+a2+18a-17 =-16a十a2+18a-17 理由：因为(m十3)(1一V5)=m-3m十5一3=-5十 =a(a+2)-17 33,所以(1一√3)m=一2+23，解得m■-2，所以(m+ =16-17 √3)十(5一3)=(-2十w3)十(5一√3)=3.因为3≠2.所以 =-1, m+√与5-√5不是关于1的“平衡数” 10.A11.03 17.解：(1)原式= 2(W5-√3) w5+3)W5-3) 25-52-5-5 2 12.11 13.解：(1)两名同学的解法都正确 (②)因为a是巨的小数部分，所以4=2-1，所以 a 444 上册参考答案 175