1解题技巧专题 勾股定理与面积问题&问题解决策略：反思-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（北师大版2024）

解题技巧专题 勾股定理与面积问题 题型① 三角形中利用面积法求高 5.古代数学文化“赵爽弦图”巧妙地利用面积 1.一个三角形的三边长分别为8cm,l5cm, 关系验证了勾股定理，是我国古代数学的骄 17cm,则最长边上的高是 ( 做.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的 直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正 A.8 cm B.15 cm 120 C.cm D.17 em 方形.设直角三角形较长的直角边长为a,较 2.如图，小方格都是边长为1的 短的直角边长为b.若ab=14,大正方形的面 正方形，则在△ABC中，BC 积为64，则小正方形的边长为 () 边上的高为 ( A.9 B.6 C.4 D.3 A.1.6 B.1.4 第2题图 C.1.5 D.2 题型② 巧妙利用割补法求面积 3.(2024一2025达州期中)如下图，某开发区有 第6题周 一块四边形空地ABCD,现计划在这块空地 题型④ “勾股树”及其拓展类型求面积 上种植草皮，经测量，∠ADC=90°，AD= 6.(教材变式)如图所示的是一种“羊头”图案， 40m,CD=30m,AB=130m,BC=120m. 全部由正方形和等腰直角三角形构成，其作 若种植每平方米草皮需要100元，则在这块 法是从正方形①开始，以它的一条边为斜 空地上种植草皮共需要多少元？ 边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直 角边为边，分别向外作正方形②和②'，再分 别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作 等腰直角三角形，….若正方形⑤的面积 为2cm2,则正方形①的面积为 () A.8 em2 B.16 cm2 C.32 cm2 D.64 cm 7.如右图，在Rt△ABC中，已知 ∠ABC=90°，以AC为直角边 向外作Rt△ACD(∠CAD= 90),分别以AB,BC,CD, DA为直径向外作半圆，面积分别记为S:, S2,S:,S4,已知S1=3,Sa一1，S。-7,请问 S4的大小是多少？ 题型③结合乘法公式求面积或长度 4.在Rt△ABC中，∠C=90°.若BC+AC= 7cm,AB=5cm,则Rt△ABC的面积是 A.6 em2 B.9 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2 上册第一章 9 ☆问题解决策略：反思 已课内基础闯关 ≈课外拓展提高 知识点① 平面上的最短距离问题 4.一个三级合阶如图所示， 1.如图所示，正方体的棱长为1，一只蜘蛛从正 A和B是这个台阶两个相 方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B,则 对的端点，点A处有一只 蜘蛛爬行的最短距离的平方是 蚂蚁想到点B处去吃可口 第4题图 A.2 B.3 C.4 D.5 的食物.若这个台阶的每一级的长、宽和高 分别为8,3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬 行的最短路程为 ) A.23 B.17 C.15 D.13 5.右图所示的是一个供滑 E 第1图 变式题图 板爱好者使用的U型 变式题如图所示的是一个底面为等边三 池.该U型池可以看作 角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点 是一个长方体去掉一个半圆柱而形成的，中 A到顶点A'镶有一圈金属丝.已知此三棱 间可供滑行部分的截面是半径为3m的半 镜的高为5cm,底面边长为4cm,则这圈 圆，其边缘AB=CD=45m,点E在CD上， 金属丝的长度至少为 cm CE=5m.一滑板爱好者从点A滑行到点 E,则他滑行的最短距离约是多少米（边缘部 知识点② 曲面上的最短距离问题 分的厚度可以忽略不计，π取整数3)？ 2.我国古代有这样一道数学问 题：“枯木一根直立地上，高三 丈，周八尺，有葛藤自根缠绕 而上，五周而达其顶，问葛藤 第2题图 之长几何.”其大意为如图所示，把枯木看作 一个圆柱体，该圆柱的高为3丈(1丈=10 尺)，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕 而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.问 题中葛藤的最短长度是 丈 3.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器 的厚度忽略不计)的高为16cm,在 容器内壁离容器下底面的距离为 4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一第3题围 知识要点归纳 只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面 有关立体图形两点间距离最短问通的基本思路： 先利用转化思想将立体图形的侧面展开成平面 4cm的点A处，若该蚂蚁吃到蜂蜜需爬行 图形，再利用两点之间线段最短，确定最短路线 的最短路程为20cm,则这个圆柱形玻璃容 然后构造直角三角形，利用勾股定理求解， 器的底面周长为 cm. 10 八年级数学BS版10.解：(1)如图，出发33时，CC1=12m, 由题意，得AD=3x≈9(m),DE=CD-CE=45 BB:=9m. 5=40(m). 因为AC=40m,AB=30m, 在Rt△ADE中，AE=AD2十DE2=g°+ 所以AC1=28m,AB1=21m, =412, 所以B,C=28+212=1225, 即AE=41m 则B1C1=35m>25m, 故他滑行的最短距离约是41m 所以出发3s时，遥控信号不会相互干扰 章末对点导练 (2)会 11.解：(1)因为AC=300km,BC=400km,AB=500km, 1.C2.D 所以AC+BC=AB2, 3.解：由题意，得SI打带CFB=S圈动AE=S△AE十S△sE, 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90 (2)如图，过点C作CD⊥AB于点D 所以8？=号++a=@,整，得。产+6=c 2 因为△ABC是直角三角形， 4.A5.D6.B 2 CD. 7.解：(1)△DFE为直角三角形.理由如下： 所以SaAc=2AC·BC= 设正方形ABCD的边长为a,则AD=DC=BC=AB=a. AB, 因为AF:FB=3:1,E是BC的中点， 所以2×300×400=2 ×500CD, 所以-子4，Ar-是 1 4,BE-EC=24 所以CD=240km. 故风跟离海港C最近的距离是240km, 在R△DF中，DF=AD+hAF-答 (3)如图，E,F为AB上两点，且CE=CF=250km. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED2=EC-CD2=250 在R△GDE中，DE=CD+cE'-, 5 -2402=4900,所以ED=70km. 在R△EFB中，EF-FB+BE-6Q, 同理可得DF-70km, 所以EF=ED+DF=140km.140÷20=7(h) 所收DE+E-票=DF, 故台风影响该海港持续的时间为7h 所以△DFE为直角三角形. 解题技巧专题勾股定理与面积问题 (2)因为正方形的面积为16， 1.C2.B 所以g=16,所以Dp-费-瓷×16=5，所以DF=5 3.解：如图，连接AC 8.D9.244 因为∠ADC=90°，所以△ADC为直角 10.解：(1)旗杆的高度为m,则绳子的长度为（方十1）m. 三角形. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得方十4°=(h十1)2， 由勾股定理，得AC2-AD2+CD2=402+302-2500, 解得h=7.5,故旗杆的高度h为7.5m. 所以AC=50m. (2)由题意可，BD=BC=7.5m,DE=4.5m 因为BC=120m,AB=130m, 在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE十4.52=7.5°， 所以AC2十BC2=AB2, 解得BE=6m,所以EC=BC-BE=7.5-6=1.5(m), 所以△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°， 所以DF=EC=1.5m. 1 11.C12.D13.x2+2=(x+0.5)2 所以这块空地的面积为SaM一SAx-之BC·AC 第二章实数 2AD:CD=7×120X50-2×40X30=240(m, 1认识实数 所以在这块空地上种稍草皮共需要100×2400=240000 第1课时无理数 (元). 1.B2.B变式题23.34.B5.C 4.A5.B6.C 6.解：(1)无理数 7.解：因为∠ABC=90°，∠CAD=90°， (2)由题意，得x·x2=10x,所以x2=10. 所以根据勾股定理，得AC=AB十BC=CD一AD2 因为3=9<10,42=16>10，所以3<x<4,即x的整数部 因为S=号×x·(侵A超'=言A8, 分是3. (3)因为3.12=9.61<10,3.22=10.24>10， 同理可得S,=名BCS,=号CD,3=号AD2, 所以3.1<x<3.2. 又因为3.162=9.9856<10,3.17=10.0489>10，所以3. 所以S1+5:=S,-S. 16<x<3.17,所以将x精确到十分位的值是3.2 又因为S1=3,5:=1,S,=7 第2课时实数 所以S,=3. 1.D ☆问题解决策略：反思 2解：1)有理数集合：{32，-0.5,0，.1415，-0.12， 1.D变式题132.53.244.B 5.解：可供滑行部分展开图如图所示， 0.03003000,… 上册参考答案 173