1.1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及简单应用-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（北师大版2024）

第2课时 勾股定理的验证及简单应用 已课内基础闯关 知识点① 勾股定理的验证 1.利用如图所示的图形中的有关面 积的等量关系能证明数学中一个 第3题围 第4题图 十分著名的定理，这个定理是 4.如图，在水塔O的北偏东45°方向24m处有 ,该定理的数第1题围 一抽水站A,在水塔的南偏东45°方向18m 学表达式是 处有一建筑工地B,在A,B间安装一根笔 2.右图所示的是4个完全相同的 直的水管，则水管AB的长为 () 直角三角形适当拼接后形成的 A.40 m B.45 m C.30mD.35m 图形，这些直角三角形的直角 5.(2024一2025景德镇珠山区月考)如图，两树 边长分别为a,b,斜边长为c.请利用这个图 相距8m,一棵树高10m,另一棵树高4m. 形验证勾股定理. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树 梢，则小鸟至少飞行了 m. m4m 第5题图 6.(教材变式)如下图，海警在海上观察所A处 发现正北方向5km的B处有一镀可疑船只 正向正东方向12km的C处行驶，海警立刻 派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度 为60km/h,则海警船的速度为多少时，能恰 好在C处将可疑船只截住？ 12kmc↑北 5 km 知识点②勾股定理的简单实际应用 3.古代数学文化在古代著作《九章算术》中有 一个问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三 尺，问折者高几何.其大意如下：如图，有 根竹子（垂直于地面）原高1丈(1丈-10 尺)，中间有一处折断，竹梢接触地面处离竹 根3尺，则折断处离地面 ( A.4尺 B.3.6尺 C.4.5尺 D.4.55尺 上册第一章 已课外拓展提高 @综合能力提升 7.如图所示的两个滑块A,B由一根连杆连 10.(教材变式)一辆装满货物的卡车，其外形 接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动. 高2.5m,宽1.6m,要通过形状为如下图所 开始时，滑块A距点O20cm,滑块B距点O 示的桥洞，该桥洞上部为半圆形，下部为宽 15cm.当滑块A向下滑到点O时，滑块B 2m、长2.3m的长方形 滑动了 cm. (1)这辆卡车能否通过该桥洞？请说明理由. 60 (2)为了适应车流量的增加，现把桥洞改为 ⊙ 双行道，要使宽为1.2m、高为2.8m的卡 车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加 一140可 到多少？ 第7题困 第8题围 8.如图所示的是一个外轮廓为正方形的机器 23n 零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单 位：mm),计算两圆孔中心A和B的距离为 -2m mm. 9.某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防 车上的云梯救人，示意图如下图所示.已知 云梯最多只能伸长到15m(AB=CD 15m),消防车高3m(OE=3m).救人时云 梯伸长至最长，在完成从12m(BE=12m) 高的B处救人后，还要从15m(DE=15m) 高的D处救人.求这时消防车从A处向着 火的楼房靠近的距离AC 0 知识要点归纳 围① 周② 围③ 如图①，(a+b产=e+4X2ab:如圈@，2=(6 -a)2+4×ab:知园©，2a+60(a+b)=2× 1 2a6+ 2.均可化简得出a+b=c /八年级数学BS版参考答案 第一章勾股定理 (3)如图①，设CD=xm,则BD=(150-x)m 同(2)可得a2+62=c2+2ax. 1探索勾股定理 因为a=150m,6=130m,c=140m, 第1课时探索勾股定理 所以1502+1302=1402+2×150x,解得x=66, 1.A2.B3.18 所以AD2=62-CD3=1302-662=12544=1122,所以AD 4.解：在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB2=AD十BD2,所 =112m, 以AD2=AB-BD2=17P-152=64,在Rt△ADC中，由勾 所以△ABC的面积为2BC:AD=号×150X12=840 股定理，得AC=AD2十DC2,所以AC2=64十6=100，所 (m2). 以AC=10. 5.解：设该直角三角形的斜边长为x,则另一条直角边长为x一 第2课时勾股定理的验证及简单应用 1. 1.勾股定理a2十62=2 由勾股定理，得x2=7+(x一1)2，解得x=25, 2.解：图中的图形面积有两种求法： 所以该直角三角形的斜边长为25. 一种是大正方形的面积十两直角三角形的面积，即2+2× 6.A变式题1B变式题29 1 7,解：因为AC■10，CD=2,所以AD=AC-CD■10一2=8. 在R△ADB中，由勾股定理，得BD2=AB-AD=102 另一种是两小正方形的面积十两直角三角形的面积，即b十 82=36,所以BD=6. 。+2x血 在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC=BD2+CD2=62+2 =40, 限据两种求法的面积相等，得+2X受山=矿十。+2× 所以以BC为边的正方形的面积是40 8.C9.20 2a6, 10.解：(1)在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=7cm,AC=25cm: 化简得c2=62+a2 由勾殷定理，得BC=AC”-AB=576,所以BC=24m 3.D4.C5.10 (2)如图，连接PQ,当t=2时， 6.解：由题意，得∠B=90°.在Rt△ABC中，由勾殷定理，得 AC2=AB2+BC2=52+122=132,所以AC=13km.13÷ 1g=65km/h. 6 0 故海警船的速度为65km/h时，能恰好在C处将可疑船只藏 BP=7-2=5(cm),BQ=6×2=12(cm). 在R△BPQ中，由勾般定理，特PQ=BP2+BQ2=169, 住， 7.108.100 所以PQ=13cm. (3)由(1)知，BC=24cm 9.解：在Rt△AB0中，因为∠A0B=90°，AB=15m,OB=12 由题意，得AP=tcm,CQ=(24-6r)cm.当AP=CQ时，t -3=9(m), 所以A02=AB-OB2=152-g2=144,所以A0=12m. -24-61,解得：-24 当P-0Q时：的值为兰 7 在Rt△C0D中，因为∠C0D=90°，CD-15m,OD=15-3 11.解：(1)>< =12(m). (2)如图①，作BC边上的高AD,垂足为D. 所以0C2=CD2-0D2=152-122=81,所以0C=9m 设CD=m,则在Rt△ACD和Rt△ABD中，由勾股定理， 所以AC=A0-OC=12-9=3m). 得62-m2=AD2=c2-(a-m)2,整理，得a产十2=c 故消防车从A处向者火的楼房靠近的距离AC为3m +2am. 10.解：(1)能.理由如下： 因为2am>0,所以a2+b2>e2 如图①，设半医形的园心为点O,在OB上取点D,使OD 0,8m,过点D作CE⊥AB,分别交桥洞于点C,E,连 接OC. 在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD2=OC2-OD2=1 0.82=0.36, ① 图② 所以CD=0,6m,所以CE=CD十DE=0.6十2.3=2.9 如图②，作AC边上的高BD,垂足为D. (m）,2.9m>2,5m 设CD=为，在Rt△ABD和Rt△BDC中， 所以这辆卡车能通过该桥词. 由勾段定理，得c2一(b十n)2=BD2=a2一n2, (2)如图②，在OA上取一点M,使得OM=1.2m,过点M 整理，得a2十6=2-2bm. 作PN⊥AB,分别交桥洞于点P,N, 因为2bm>0,所以a2+b2<c2 根据题意可知，PN=2.8m,QM=1.2m,MN=2.3m, 上册参考答案 171 所以PM=PN-MN=2.8-2.3=0.5(m), (CA=CB, 所以0A2=0P2=PM2+0nM=0.52+1.2=1.69, 在△CDA和△CPB中，∠DCA=∠PCB, 所以OA=1.3m, CD=CP, 所以桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6(m). 所以△CDA2△CPB(SAS), 所以∠ADC=∠BPC,AD-BP=6, 所以AD2+DP2=62+82-100=103-AP1, 所以∠ADP=90",所以∠ADC=90°+0°=150， 所以∠BPC=150 m 图① 图② 2一定是直角三角形吗 1.B2.合格3.60变式题120 因 4.解：小充的解客不正确.正确的解答过程如下： (2)如图②，连接DP △ABC是直角三角形，理由如下： 由题意，得△DCP为等腰直角三角形， 因为+=+(》广=4+号-空，6=(）-要 所以∠CDP=45" CA=CB 所以a2十2=°，所以△ABC是直角三角形. 在△CDA和△CPB中， ∠DCA=∠PCB, 5.解：(1)在△ABD中，因为AD2+BD2=242+322=1600, CD-CP, AB2=402=1600, 所以△CDA2△CPB(SAS), 所以AD2十BD2=AB,所以△ABD是直角三角形，且 所以∠ADC=∠BPC,AD=BP=1 ∠ADB=90',所以AD⊥BC. 所以AD2+DP2=AD3+(CD2十CP2)=12+(22+2) (2)因为AD⊥BC,所以∠ADC=90'」 =9 在Rt△ACD中，根据勾股定重，得AC2=AD2+CD=24 因为AP2=9,所以AD2+DP=AP +182=900,5所以AC=30. 所以∠ADP=90°，所以∠ADC=90°+45=135°， 因为BD=32, 所以∠BPC=135° 所以BC=BD十CD=5Q 3 勾股定理的应用 所以SA=号BC·AD=号×50X2=60, 1 1.B (3)△ABC为直角三角形.理由如下： 2.解：设BN=x.因为AB=18,所以AN=18-x. 因为AB2+AC2=402+302=2500,BC2=50=2500, 由折径的性质，得DN=AN=18一x. 所以AB2十AC=BC3,所以△ABC是直角三角形. 因为D是BC的中点，BC=12,所以BD=6 6.D 在R△NBD中，x3+62=(18-x)2,解得x=8. 7.解：(1)①1213②2425③4041 做线段BN的长为8. (2n,1n2+1 3.解：设BE=x,则EC=BC一BE=8一x. 21 2 由折叠的性质，得AE=EC=8一x 8.A9.18 因为四边形ABCD为长方形，所以∠B=90°， 10.解：(1)因为在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=5, 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2+BE2=AE2, △ABE的面积为25， 即42+x2=8-x)2,解得x=3. 所以Sar=名AB·DE= 故BE的长为3. 2AB·5=25, 4.C5.D 所以AB=10. 6.解：设梯子底端与右墙之间的距离为xm.由勾股定理可知 (2)因为在△ABC中，BC=6,AC=8,AB=10, 2.42+0.7=x2+1.52,所以x2=4,所以x=2,所以小巷的 所以AC2+BC8=82+62=100,AB2-102=100, 宽度为0.7十2=2.7(m). 所以AC十BC=AB2,所以△ABC是直角三角形， 7.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E 1 B 所以Sa4c=之X6X8=24, 所以S泰ACE=S△A8C十S△AE=24十25=49. 11.解：(1)如图①，连接DP 0 由题意可知，CD=CP=8,∠PCD=60°，所以∠CPD= ∠CDp=150°-60 2 =60', 则DE=AC=2.4m,AE=CD=0.3m,所以BE=AB-AE =13-0.3=1(m). 所以△DCP为等边三角形， 在Rt△BDE中，BD2=BE十DE2=12+2.42=6.76, 所以DP=DC=&. 所以BD=2.6m, 因为∠DCP=∠ACB=L,即∠DCA+∠ACP=∠PCB 所以此时牵狗绳BD的长为2.6m, +∠ACP, 所以∠DCA=∠PCB. 172 /八年级数学BS版