第二十五章 概率初步 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 参考答案 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】10 16．【答案】0.62 17．【答案】 18．【答案】 19．【答案】（1）解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“美”的概率为； （2）解：列表如下： 美 丽 钱 塘 美 （丽，美） （钱，美） （塘，美） 丽 （美，丽） （钱，丽） （塘，丽） 钱 （美，钱） （丽，钱） （塘，钱） 塘 （美，塘） （丽，塘） （钱，塘） 由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种 其中取出的两个球上的汉字能组成“钱塘”的结果有2种，即（塘，钱）；（钱，塘）， 摸出的两个球上的汉字能组成“钱塘”的概率为． 20．【答案】（1） （2）解：根据题意，画树状图如图， 由图可得，共有16种等可能结果，其中恰好都抽到相同数学家邮票图案的有4种， ∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 21．【答案】（1）解：，即， 则白球个数为2； （2）解：根据题意得，可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共9种，而两次都摸到相同颜色的小球的结果有5种，所以 P=. 22．【答案】（1）解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回，∴每张卡片抽到的概率都是， 设小明恰好抽到景区A门票为事件A， 则； （2）解：根据题意，画树状图如下：， ∴一共有12种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种， ∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为． 23．【答案】（1） （2）解：小明（来自重庆市）记为甲，小军（来自成都市）记为乙、小红（来自遵义市）记为丙、小丽（来自贵阳市）记为丁， 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的情况有（甲乙，乙甲）2种，则恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率为 24．【答案】（1）解：解：本次抽样的学生人数为：（人） C组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 四种类别的人数条形统计图 （2）20 （3）解：解：（名）． 答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名． （4）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种。 恰好选中甲和乙的概率为 学科网（北京）股份有限公司 $$…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十五章 概率初步 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰 2．（3分）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）“田忌赛马”的故事家喻户晓，若田忌出马的顺序一直是下等马、中等马、上等马（上等马跑得最快，中等马次之，下等马跑得最慢），而齐王随机出马，则田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（　　） A．8 B．12 C．15 D．20 6．（3分）黑色不透明口袋里装有红色、白色球共10个，它们除颜色外都相同.从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并摇匀，不断重复上述实验1000次，其中200次摸到红球，则可估计口袋中红色球的个数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）灵武长红枣栽培历史悠久，具有独特的品质和形态特征，是中国国家地理标志产品．有“活维生素丸”、“百果之王”之美称．某研究院跟踪调查了灵武长红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计灵武长红枣移栽成活的概率约为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　） A．0.80 B．0.79 C．0.78 D．0.77 10．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是　 　． 12．（3分）盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为　 　． 13．（3分）从，，这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为　 　． 14．（3分）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是　 　． 15．（3分）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为　 　． 16．（3分）数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表：根据试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为　 　（精确到0.01）． 累计抛掷次数 100 200 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 61 123 309 617 1238 1854 3090 盖面朝上频率 0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618 17．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中飞镖游戏板空白部分的概率是　 　. 18．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为　 　．（精确到） 三、解答题(共6题；共46分) 19．（7分）一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“美”“丽”“钱”“塘”除汉字不同之外，卡片没有任何区别． （1）（3分）若从中任取一张卡片，求卡片上标有的汉字恰好是“美”的概率． （2）（4分）若从中任取一张卡片，不放回，再从中任取一张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“钱塘”的概率． 20．（7分）某班开展“爱我中华——讲好中国数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）（3分）从中随机选取一张卡片，则抽到是数学家刘徽邮票图案的概率为_____； （2）（4分）若小树和小雪两名同学每人从四张卡片中随机抽取一张卡片，请你用画树状图（或列表）的方法求出两名同学恰好都抽到相同数学家邮票图案的概率（邮票可用A，B，C，D表示）． 21．（7分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． （1）（3分）求袋子中白球的个数； （2）（4分）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 22．（7分）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．南浔古镇，B．德清莫干山，C．太湖龙之梦，D．中南百草园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后不放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． （1）（3分）小明获得一次抽奖机会，求他恰好抽到景区门票的概率． （2）（4分）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区和景区门票的概率． （请用画树状图或列表的方式求解） 23．（7分）“2024贵州•铜仁梵净山冬季马拉松”除“马拉松”外，还设两个特别项目，分别是“半程马拉松”（公里）和“欢乐跑”（约5公里）． 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“欢乐跑”人数 15 33 72 139 356 参加“欢乐跑”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 （1）（3分）为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，组委会对部分参赛选手作如表调查：请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为_________；（精确到） （2）（4分）小明（来自重庆市），小军（来自成都市），小红（来自遵义市），小丽（来自贵阳市）四人报名参加“欢乐跑”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率． 24．（11分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）（2分）请补全条形统计图； （2）（3分）扇形统计图中a的值为　 　； （3）（3分）若该校有2000名学生，估计寒假阅读总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）（3分）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十五章 概率初步 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰 2．（3分）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）“田忌赛马”的故事家喻户晓，若田忌出马的顺序一直是下等马、中等马、上等马（上等马跑得最快，中等马次之，下等马跑得最慢），而齐王随机出马，则田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（　　） A．8 B．12 C．15 D．20 6．（3分）黑色不透明口袋里装有红色、白色球共10个，它们除颜色外都相同.从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并摇匀，不断重复上述实验1000次，其中200次摸到红球，则可估计口袋中红色球的个数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）灵武长红枣栽培历史悠久，具有独特的品质和形态特征，是中国国家地理标志产品．有“活维生素丸”、“百果之王”之美称．某研究院跟踪调查了灵武长红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计灵武长红枣移栽成活的概率约为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　） A．0.80 B．0.79 C．0.78 D．0.77 10．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是　 　． 12．（3分）盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为　 　． 13．（3分）从，，这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为　 　． 14．（3分）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是　 　． 15．（3分）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为　 　． 16．（3分）数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表：根据试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为　 　（精确到0.01）． 累计抛掷次数 100 200 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 61 123 309 617 1238 1854 3090 盖面朝上频率 0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618 17．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中飞镖游戏板空白部分的概率是　 　. 18．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为　 　．（精确到） 三、解答题(共6题；共46分) 19．（7分）一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“美”“丽”“钱”“塘”除汉字不同之外，卡片没有任何区别． （1）（3分）若从中任取一张卡片，求卡片上标有的汉字恰好是“美”的概率． （2）（4分）若从中任取一张卡片，不放回，再从中任取一张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“钱塘”的概率． 20．（7分）某班开展“爱我中华——讲好中国数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）（3分）从中随机选取一张卡片，则抽到是数学家刘徽邮票图案的概率为_____； （2）（4分）若小树和小雪两名同学每人从四张卡片中随机抽取一张卡片，请你用画树状图（或列表）的方法求出两名同学恰好都抽到相同数学家邮票图案的概率（邮票可用A，B，C，D表示）． 21．（7分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． （1）（3分）求袋子中白球的个数； （2）（4分）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 22．（7分）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．南浔古镇，B．德清莫干山，C．太湖龙之梦，D．中南百草园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后不放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． （1）（3分）小明获得一次抽奖机会，求他恰好抽到景区门票的概率． （2）（4分）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区和景区门票的概率． （请用画树状图或列表的方式求解） 23．（7分）“2024贵州•铜仁梵净山冬季马拉松”除“马拉松”外，还设两个特别项目，分别是“半程马拉松”（公里）和“欢乐跑”（约5公里）． 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“欢乐跑”人数 15 33 72 139 356 参加“欢乐跑”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 （1）（3分）为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，组委会对部分参赛选手作如表调查：请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为_________；（精确到） （2）（4分）小明（来自重庆市），小军（来自成都市），小红（来自遵义市），小丽（来自贵阳市）四人报名参加“欢乐跑”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率． 24．（11分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）（2分）请补全条形统计图； （2）（3分）扇形统计图中a的值为　 　； （3）（3分）若该校有2000名学生，估计寒假阅读总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）（3分）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十五章 概率初步 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰 【答案】D 【解析】【解答】解：A.“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意； B.“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意； C.“汗滴禾下土”是随机能事件，因此选项C不符合题意； D.“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项D符合题意. 故答案为：D. 【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然[ 不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件； 随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件. 2．（3分）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字1所示区域内的概率是， 故答案为：B． 【分析】根据几何概率的意义，直接利用数字1所在扇形的圆心角度数除以360°，即可得出答案． 3．（3分）在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下： 共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况， ∴； 故答案为：B. 【分析】设A表示华山、B表示华阳古镇、C表示太白山，列出表格，找出总情况数以及他们两家去同一景点旅游的情况数，然后根据概率公式进行计算. 4．（3分）“田忌赛马”的故事家喻户晓，若田忌出马的顺序一直是下等马、中等马、上等马（上等马跑得最快，中等马次之，下等马跑得最慢），而齐王随机出马，则田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：当齐王随机出马时，双方对阵情况如下： 齐王的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上 田忌的马 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上 输赢情况 平局 田忌胜 齐王胜 平局 平局 平局 由上表可知，齐王出战顺序共有6种等可能的情况，只有顺序为上、下、中时，田忌获胜，因此田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是． 故答案为：D． 【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 5．（3分）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（　　） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴， ∴． 经检验， 是方程的解，且符合题意． 故答案为：A。 【分析】用红球的个数除以箱子里球的总数，然后令其等于频率，最后再进行求解即可。 6．（3分）黑色不透明口袋里装有红色、白色球共10个，它们除颜色外都相同.从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并摇匀，不断重复上述实验1000次，其中200次摸到红球，则可估计口袋中红色球的个数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】【解答】∵重复上述实验1000次，其中200次摸到红球， 则摸到红球的概率为200÷1000= ∴设红球的数量为x个，则 解得：x=2 故答案为：A 【分析】由题意重复上述实验1000次，其中200次摸到红球，可知摸到红球的概率为 ，利用小球再总数中所占比例与实验比例相等，即可求出. 7．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张， ∴从中随机抽取一张，有4种等可能的情况，其中抽到“夏至”的情况有2种， ∴从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是， 故答案为：C 【分析】根据题意得所有的等可能结果数，从而得抽到“夏至”的结果数，进而根据概率公式进行求解. 8．（3分）灵武长红枣栽培历史悠久，具有独特的品质和形态特征，是中国国家地理标志产品．有“活维生素丸”、“百果之王”之美称．某研究院跟踪调查了灵武长红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计灵武长红枣移栽成活的概率约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：这种树苗成活的占比稳定在，成活的概率估计值约是． 故答案为：C． 【分析】根据经过大量重复实验中频率逐渐稳定的数值即为概率解题即可． 9．（3分）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　） A．0.80 B．0.79 C．0.78 D．0.77 【答案】C 【解析】【解答】解：由表格可知，估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是0.78； 故选C． 【分析】根据频率稳定性定理：用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可． 10．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知， 综上有：， 解得． 故答案为：A． 【分析】假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程，解方程即可求出答案. 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵ 该图形为被分成八个面积相等的三角形的正八边形，其中有三个阴影三角形， ∴阴影部分的面积占比为， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 【分析】求出阴影区域的面积和整个图形的面积，然后求出阴影面积的占比即可得出指针落在阴影部分的概率。 12．（3分）盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得：， 整理得：， ∴， 故答案为：． 【分析】利用概率公式及它是黑棋的概率，可得到关于a、b的方程，解方程用含a的代数式表示出b，然后将b代入代数式进行计算. 13．（3分）从，，这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：列表如下， 　 　 　 　 所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种， ∴该点在坐标轴上的概率 故答案为：． 【分析】根据列表法可知所有等可能的情况有6种，该点刚好在坐标轴上的情况有4种，然后根据概率公式计算即可求解． 14．（3分）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：因为总共有5人， 所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是． 故答案为：． 【分析】直接利用概率公式解答． 15．（3分）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为　 　． 【答案】10 【解析】【解答】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4， ∴摸到红球的概率为0.4， ∴， ∴m约为， 故答案为：． 【分析】 由大量重复试验的频率约等于概率可得到，计算即可得解． 16．（3分）数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表：根据试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为　 　（精确到0.01）． 累计抛掷次数 100 200 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 61 123 309 617 1238 1854 3090 盖面朝上频率 0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618 【答案】0.62 【解析】【解答】解：由题意可知，盖面朝上频率在0.62左右波动， ∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.62． 故答案为：0.62． 【分析】根据盖面朝上频率在0.62左右波动，结合题意求解即可。 17．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中飞镖游戏板空白部分的概率是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解： 正方形被分成25个小正方形，并且飞镖落在每个小正方形的可能性是均等的，其中阴影部分是9个小正方形， 所以任意投掷飞镖1次，击中 飞镖游戏板空白部分的概率是 故答案为： 【分析】根据几何概率的定义，求出阴影部分占整体的几分之几即可. 18．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为　 　．（精确到） 【答案】 【解析】【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近， “凸面向上”的概率为， 故答案为：． 【分析】根据图中的数据稳定在附近，则可得到概率解题． 三、解答题(共6题；共46分) 19．（7分）一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“美”“丽”“钱”“塘”除汉字不同之外，卡片没有任何区别． （1）（3分）若从中任取一张卡片，求卡片上标有的汉字恰好是“美”的概率． （2）（4分）若从中任取一张卡片，不放回，再从中任取一张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“钱塘”的概率． 【答案】（1）解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“美”的概率为； （2）解：列表如下： 美 丽 钱 塘 美 （丽，美） （钱，美） （塘，美） 丽 （美，丽） （钱，丽） （塘，丽） 钱 （美，钱） （丽，钱） （塘，钱） 塘 （美，塘） （丽，塘） （钱，塘） 由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种 其中取出的两个球上的汉字能组成“钱塘”的结果有2种，即（塘，钱）；（钱，塘）， 摸出的两个球上的汉字能组成“钱塘”的概率为． 【解析】【分析】（1）根据概率公式解题； （2）画树状图得到所有1的等可能结果，再找出符合条件的结果数，再利用概率公式解答． （1）解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“美”的概率为； （2）解：列表如下： 　 美 丽 钱 塘 美 　 （丽，美） （钱，美） （塘，美） 丽 （美，丽） 　 （钱，丽） （塘，丽） 钱 （美，钱） （丽，钱） 　 （塘，钱） 塘 （美，塘） （丽，塘） （钱，塘） 　 由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种 其中取出的两个球上的汉字能组成“钱塘”的结果有2种，即（塘，钱）；（钱，塘）， 摸出的两个球上的汉字能组成“钱塘”的概率为． 20．（7分）某班开展“爱我中华——讲好中国数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）（3分）从中随机选取一张卡片，则抽到是数学家刘徽邮票图案的概率为_____； （2）（4分）若小树和小雪两名同学每人从四张卡片中随机抽取一张卡片，请你用画树状图（或列表）的方法求出两名同学恰好都抽到相同数学家邮票图案的概率（邮票可用A，B，C，D表示）． 【答案】（1） （2）解：根据题意，画树状图如图， 由图可得，共有16种等可能结果，其中恰好都抽到相同数学家邮票图案的有4种， ∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 【解析】【解答】（1）解：∵共有张卡片， ∴随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是； 【分析】（1）直接根据概率公式即可求出答案. （2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，再求出恰好都抽到相同数学家邮票图案的结果，再根据概率公式即可求出答案. （1）解：∵共有张卡片， ∴随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是； （2）解：根据题意，画树状图如图， 由图可得，共有16种等可能结果，其中恰好都抽到相同数学家邮票图案的有4种， ∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 21．（7分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． （1）（3分）求袋子中白球的个数； （2）（4分）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 【答案】（1）解：，即， 则白球个数为2； （2）解：根据题意得，可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共9种，而两次都摸到相同颜色的小球的结果有5种，所以 P=. 【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求得； （2）根据题意画出树状图，找出所有可能出现的结果和两次都摸到相同颜色的小球的结果，再利用概率公式即可. 22．（7分）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．南浔古镇，B．德清莫干山，C．太湖龙之梦，D．中南百草园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后不放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． （1）（3分）小明获得一次抽奖机会，求他恰好抽到景区门票的概率． （2）（4分）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区和景区门票的概率． （请用画树状图或列表的方式求解） 【答案】（1）解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回，∴每张卡片抽到的概率都是， 设小明恰好抽到景区A门票为事件A， 则； （2）解：根据题意，画树状图如下：， ∴一共有12种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种， ∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为． 【解析】【分析】（1）根据概率公式解题； （2）根据树状图得出所有等可能结果，找出符合要求的情况数，利用概率公式解题即可． （1）解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回， ∴每张卡片抽到的概率都是， 设小明恰好抽到景区A门票为事件A， 则； （2）解：根据题意，画树状图如下： ， ∴一共有12种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种， ∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为． 23．（7分）“2024贵州•铜仁梵净山冬季马拉松”除“马拉松”外，还设两个特别项目，分别是“半程马拉松”（公里）和“欢乐跑”（约5公里）． 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“欢乐跑”人数 15 33 72 139 356 参加“欢乐跑”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 （1）（3分）为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，组委会对部分参赛选手作如表调查：请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为_________；（精确到） （2）（4分）小明（来自重庆市），小军（来自成都市），小红（来自遵义市），小丽（来自贵阳市）四人报名参加“欢乐跑”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率． 【答案】（1） （2）解：小明（来自重庆市）记为甲，小军（来自成都市）记为乙、小红（来自遵义市）记为丙、小丽（来自贵阳市）记为丁， 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的情况有（甲乙，乙甲）2种，则恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率为 【解析】【解答】（1）解：由表格中数据可得：本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为：． 故答案为：； 【分析】（1）利用大量重复试验中得到的频率即为概率解题； （2）先画出树状图得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式计算即可． （1）解：由表格中数据可得：本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为：． 故答案为：； （2）解：小明（来自重庆市）记为甲，小军（来自成都市）记为乙、小红（来自遵义市）记为丙、小丽（来自贵阳市）记为丁， 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的情况有（甲乙，乙甲）2种，则恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率为． 24．（11分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）（2分）请补全条形统计图； （2）（3分）扇形统计图中a的值为　 　； （3）（3分）若该校有2000名学生，估计寒假阅读总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）（3分）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）解：解：本次抽样的学生人数为：（人） C组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 四种类别的人数条形统计图 （2）20 （3）解：解：（名）． 答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名． （4）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种。 恰好选中甲和乙的概率为 【解析】【解答】（2）解：A组所占的百分比为：， ∴， 故答案为：20. 【分析】（1）由统计图可知D组人数和所占百分比，则可求抽样总人数，进而可以求出C组人数，即可补全条形统计图； （2）A组人数除以抽样总人数，即可计算出A组所占百分比； （3）根据扇形统计图，可得时间不少于24小时的学生所占百分比，再用样本数据估计总体即可解答； （4）画出树状图即可求解概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$