专题01 直线与圆大题（35题）（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题01 直线与圆大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 直线与圆的位置关系 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知直线，圆. (1)若，判断直线与圆的位置关系； (2)若，直线与圆交于两点，求. 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线． (1)求圆的方程； (2)证明：直线与圆相交． 3．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知直线：（），圆：. (1)试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； (2)若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 4．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 5．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离. (2)过圆外一点引圆的切线，求切线方程. 题型二 圆的切线长问题 6．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线和圆. (1)若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； (2)若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 7．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 8．（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且______. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①顶点；②；③. (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线：上一动点，过点作圆的切线，切点为，求的最小值. 9．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4. (1)求圆的标准方程； (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值. 10．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 题型三 圆的切线方程的求解 11．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 12．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为，已知圆是以以为直径的圆． (1)求圆的方程． (2)求以点为切点的圆的切线方程． 13．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 14．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆，为圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、. (1)当点的坐标为时，求两条切线方程； (2)求的取值范围. 15．（24-25高二上·天津和平·期末）已知圆心为的圆经过和两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 题型四 圆的弦长与中点弦问题 16．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 17．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点. (1)若弦被点平分，求直线的方程. (2)若，求直线的方程. 18．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且点，在上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 19．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值 20．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切． (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程． 题型五 直线与圆中的面积问题 21．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知直线与圆交于两点，且． (1)求实数的值； (2)设为坐标原点，求的面积． 22．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 23．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 24．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知点、，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点分别作直线、，交曲线于、、、四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 25．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 题型六 直线与圆有关的最值问题 26．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 27．（24-25高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 28．（2025高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 29．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆M过，两点，且圆心M在上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 30．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 题型七 直线与圆的实际应用 31．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 32．（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 33．（24-25高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 34．（24-25高二上·广西南宁·期中）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 35．（24-25高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线与圆大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 直线与圆的位置关系 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知直线，圆. (1)若，判断直线与圆的位置关系； (2)若，直线与圆交于两点，求. 【答案】(1)相离 (2) 【解题思路】（1）将圆的一般方程化为标准方程得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离与半径比较即可； （2）先求圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长即可； 【解答过程】（1）圆的标准方程为， 圆心为，半径. 设圆心到直线的距离为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. （2）设圆心到直线的距离为， 由（1）知圆心到直线的距离， 所以. 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线． (1)求圆的方程； (2)证明：直线与圆相交． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用待定系数法，根据已知条件列出方程组即可求解. （2）先根据直线方程得出直线过定点；再根据两点间距离公式可判断点在圆内即可证明直线与圆相交. 【解答过程】（1）方法一：设所求圆的标准方程为， 由已知条件得：，解得：， 所以圆的方程为． 方法二：因为点为圆心，点在直线上， 则可设. 所以，即，解得， 所以圆心，半径长， 所以圆的方程为． 方法三：由已知可得线段的中点坐标为，， 所以弦的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线方程为， 则圆心是直线与的交点. 由得：， 即圆心坐标为，半径长， 所以圆的方程为. （2）证明： 方法一：因为，即 所以由直线的方程可知：直线恒过定点， 又因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内部，即直线与圆相交． 方法二：由直线， 可得圆心到的距离. 因为， 所以， 即， 所以直线与圆相交． 3．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知直线：（），圆：. (1)试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； (2)若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)直线与圆相交，证明见解析 (2)最小值为4，方程为 【解题思路】（1）由直线恒过定点，并且定点在圆的内部，即可得出直线与圆相交. （2）由题意得直线与直线垂直时，弦长最小，由直线和圆相交的弦长公式即可求得答案. 【解答过程】（1）∵（），∴， 令解得∴直线恒过定点. 又， ∴点在圆内部， ∴直线与圆相交. （2）∵圆：的圆心为，半径为3， 当直线与直线垂直时，弦长最小，此时， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. 圆心到直线的距离为， ∴， ∴弦长的最小值为4，此时直线的方程为. 4．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)相离，理由见解析. 【解题思路】（1）设，根据已知得，又在圆上运动，代入求轨迹方程； （2）写出圆的圆心和半径，利用点线距离公式求圆心与直线距离并判断其与半径大小，即可判断位置关系. 【解答过程】（1）令为线段的中点，又，则， 又在圆上运动，故， 所以，故点的轨迹方程为. （2） 由（1）知圆心，且半径， 所以圆心到的距离， 所以直线与曲线相离. 5．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离. (2)过圆外一点引圆的切线，求切线方程. 【答案】(1)相交，弦长为 (2)或 【解题思路】（1）由圆心到直线的距离与半径比较，即可判断直线与圆的位置关系；利用勾股定理即可计算弦长； （2）当切线斜率不存在时，切线方程为，当切线斜率存在时，设出切线方程，由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【解答过程】（1）圆：化为标准方程为， 圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，所以直线与圆相交； 直线被圆所截得的弦长为； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得， 所以直线方程为， 综上，切线方程为或. 题型二 圆的切线长问题 6．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线和圆. (1)若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； (2)若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由垂直关系设出直线的方程，再由其过圆的圆心求得答案. （2）设点，利用切线长定理列出函数关系求出最小值. 【解答过程】（1）由直线与m：垂直，设直线：， 圆C的方程可化为，圆心为， 由直线经过圆心，得，解得， 所以的方程为. （2）设，由（1）知圆C的半径， 则， ，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 7．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)6 【解题思路】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果； （2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值. 【解答过程】（1）圆的标准方程为. ①当斜率不存在时，直线的方程为， 直线截圆所得弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为 根据垂径定理可得，即，解得. 即直线的方程为或 （2）圆心. 因为与圆相切，所以. 当最小，所以. 可得. 8．（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且______. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①顶点；②；③. (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线：上一动点，过点作圆的切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1) (2)3 【解题思路】（1）选①：设圆的标准方程为，利用弦的垂直平分线过圆心求解圆心坐标，代入两点距离公式求解半径即可；选②：由是直角三角形得圆心为斜边BC中点，半径为，即可求解圆的方程；选③：由向量相等得圆心为BC中点，为圆的直径，即可求解圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据切线长公式转化求解即可. 【解答过程】（1）若选①：方法一：设圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆过点，，所以圆心在直线上，即； 因为圆过点，，所以圆心在直线上，即， 所以圆的圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； 若选②：因为，所以是直角三角形， 所以的外接圆圆心为斜边的中点， 设圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题知，圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； 若选③：因为，所以圆心为边的中点，为圆的直径， 设圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题知，圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； （2）依题意：， 圆心到直线：的距离为， 又因为，所以，即， 所以的最小值为3. 9．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4. (1)求圆的标准方程； (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆心，半径为，则圆方程为，通过弦长公式列方程求得值，即可得圆的方程； （2）由，得点的轨迹方程，将的最小值转化为的最小值，即点到直线的距离为所求. 【解答过程】（1）因为圆心在上且与轴相切， 所以设圆心，半径为， 所以圆方程为， 又圆心到直线距离， 圆被直线截得弦长为4， 所以有：，解得， 所以圆方程为：； （2）解法一：因为，又因为，所以， 设，则，即， 所以点轨迹方程为. 因为， 所以的最小值就是的最小值， 即为点到直线的距离， 所以的最小值为. 解法二：因为，又因为，所以， 设，则，即，， ， 当时，取得最小值：， 所以的最小值为. 10．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【解题思路】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 题型三 圆的切线方程的求解 11．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据中点坐标公式得出圆心，应用两点间距离得出半径，进而得出圆的方程； （2）先应用斜率乘积为得出斜率，再点斜式得出切线方程. 【解答过程】（1）由题意可得的中点， ∴圆心，故半径， ∴圆的标准方程为． （2）∵为圆的切线，∴，则， ∵，∴， ∴过点的切线方程为，即切线的方程为． 12．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为，已知圆是以以为直径的圆． (1)求圆的方程． (2)求以点为切点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）以线段为直径的圆，圆心是线段中点，半径是线段长度的一半，分别求出在得到圆的方程； （2）根据圆心与切点的连线和切线垂直，利用斜率关系来求解斜率，再用点斜式可解. 【解答过程】（1）已知点，点，根据中点坐标公式，圆心的坐标为. 根据两点间距离公式，则直径长度为， 所以圆的半径. 所以圆的方程为. （2）根据斜率公式，圆心与切点连线的斜率. 因为圆心与切点的连线和切线垂直，若两条垂直直线的斜率都存在，则它们斜率之积为. 设切线的斜率为，则，即，解得. 已知切线过点，斜率为，根据直线的点斜式方程,则切线方程为， 整理得. 13．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程. 【解答过程】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 14．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆，为圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、. (1)当点的坐标为时，求两条切线方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【解题思路】（1）分析可知，切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出的值，即可得出所求切线的方程； （2）连接，交于点，设，其中，计算得出，利用圆的几何性质求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【解答过程】（1）由题意可知，圆的圆心为，半径为， 若切线的斜率不存在时，则切线方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，切线的斜率存在，设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离，整理可得， 解得或， 故所求切线方程为或，即或. （2）连接，交于点，设，其中， 所以，在中，， 所以， 因为为圆上一动点，所以， 即，所以，即， 所以的取值范围为. 15．（24-25高二上·天津和平·期末）已知圆心为的圆经过和两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）先求出中垂线的方程，然后与直线联立求出圆心坐标，再求半径即得圆的方程； （2）根据直线与圆相切通过列式求解，需要考虑直线斜率不存在的情况. 【解答过程】（1）因为所以的中点坐标为，，则弦垂直平分线的斜率为， 弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，所以圆心坐标为， 所以圆的半径，则圆的方程为：， （2）由（1）知，圆心，半径为1， 当的斜率不存在时，直线方程为,与圆相切，符合题意， 当的斜率存在时，设切线的斜率为， 则切线的方程为，即， 由圆心到切线距离等于圆的半径1，得，解得， 所以切线方程为，即， 所以切线的方程为或. 题型四 圆的弦长与中点弦问题 16．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【答案】(1)圆心坐标为，面积为 (2) 【解题思路】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径； （2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【解答过程】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 17．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点. (1)若弦被点平分，求直线的方程. (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）当弦被点平分时，根据圆的性质可知与直线垂直，通过求出的斜率，进而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程. （2）已知弦长，先根据圆的半径和半弦长以及圆心到直线的距离的关系求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出直线的方程. 【解答过程】（1）圆的方程为，圆心，已知. 根据两点间斜率公式，可得. 弦被点平分时，，设直线斜率为，则，所以. 已知直线过点，斜率为，根据点斜式方程， 可得直线的方程为，即. （2）设圆心到直线的距离：圆的半径，已知. 根据圆的弦长计算公式，可得，所以. 当直线的斜率不存在时：直线的方程为. 此时圆心到直线的距离为，满足圆心到直线的距离， 所以是直线的一个方程. 当直线的斜率存在时：设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 即，两边平方得.展开得，移项，解得. 所以直线的方程为. 综上所得，线的方程为或. 18．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且点，在上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出线段的垂直平分线所在的直线方程，与联立解出圆心坐标，再求出圆的半径即可； （2）由已知可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解. 【解答过程】（1）设线段的中点为，则， 因为直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线所在的直线方程为， 由得， 所以圆心，半径为， 所以圆的标准方程为； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 所以. 19．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程. （2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解. 【解答过程】（1）依题意，线段的中点，直线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）由直线被曲线截得弦长为，得圆心到直线的距离 因此，解得， 所以实数的值为. 20．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切． (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）对于求圆的方程，我们需要确定圆心坐标和半径，根据已知条件，利用圆过的点、圆心所在直线以及直线与圆相切的关系来建立方程组求解圆心坐标和半径. （2）在求直线方程时，先根据中点关系设出点的坐标，再代入圆的方程求出点的坐标，然后分情况根据两点确定直线斜率求出直线方程. 【解答过程】（1）首先设圆M的方程为。. 因为圆M过点，把点代入圆的方程可得①. 又因为圆心M在直线上，所以②. 由于直线与圆M相切，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的关系，可得③. 联立①②③求解：由②可得, 将代入①和③. 把代入①得， 展开可得，进一步展开得到. 把代入③得. 因为. 由，解得. 把代入得. 再把，代入①可得，所以. 所以圆M的方程为. （2）设，因A为线段BD的中点，根据中点坐标公式，所以， 因为A，B在圆M上，所以， 对第一个方程展开得， 即④， 对第二个方程展开得， 即⑤， 由④⑤得：， 展开得化简得，即， 把代入④得， 即， 解得或， 当时，；当时，， 当时，因为，此时直线垂直于轴，所以直线的方程为； 当时，由可得直线的斜率， 根据直线的点斜式方程，这里， 所以直线的方程为，整理得， ，即. 综上所得，直线的方程为或. 题型五 直线与圆中的面积问题 21．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知直线与圆交于两点，且． (1)求实数的值； (2)设为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先把圆转化为标准方程，再应用点到直线距离列式计算求参； （2）应用点到直线的距离及弦长计算面积即可. 【解答过程】（1）圆的方程可化为   ∴圆心,半径 ∵  ∴ ∴圆心到直线的距离， 即，解得. （2）由（1）， 到的距离，     ∴，     ∴的面积为. 22．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【解题思路】（1）先判断点在圆C外，当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离为半径列式求解斜率即可，当直线斜率不存在时，与圆相切，即可求解. （2）设直线l的方程为，求出圆心到直线l的距离，结合弦长公式利用基本不等式求解面积的最大值，求出，列式求解，即可求出直线方程. 【解答过程】（1）因为，所以点在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：，即. 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为2，即，解的， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，即，此时满足直线与圆相切. 综上可知直线l的方程为或. （2）因为直线与圆相交，所以斜率k存在，且. 设直线l的方程为，即， 所以圆心到直线l的距离， 故可得， 当且仅当时等号成立， 此时，解的或. 所以直线的方程为：或. 23．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线垂直关系求出PM直线方程，与直线方程联立求得圆心，再求出半径即可得解； （2）先判断直线与圆相离，然后利用对称性得四边形面积为，结合垂线段最短利用点线距离求解即可. 【解答过程】（1）设圆心坐标为， 则设过点的半径所在的直线为，代入，可得， 由解得所以. 所以， 所以圆的方程为. （2）因为到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 由题意四边形面积为， 可得，当与直线垂直时，最小，四边形面积最小. 由 .所以四边形面积的最小值为. 24．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知点、，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点分别作直线、，交曲线于、、、四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 【解题思路】（1）设，根据平面向量数量积的坐标运算以及化简可得出点的轨迹方程； （2）设点到的距离为，点到的距离为，可得出，计算得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值和最小值. 【解答过程】（1）解：设，则， 即，即， 故点的轨迹方程为． （2）解：设点到的距离为，点到的距离为， 则， 因为，所以， 所以， 因为，则，所以，， 所以，所以四边形面积的最大值，最小值． 25．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立直线与圆的方程可得韦达定理，根据圆的性质可得垂直关系，进而可得,即可利用解法一求解，或者直接利用两点斜率公式，代入韦达定理化简求解（解答二），或者设直线的方程为同解法二，代入韦达定理化简求解， （2）根据三角形的面积公式可得 ，即可根据不等式的性质求解. 【解答过程】（1）解法一：设由题知，． ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示， 将，代入，解得，∴， ∴，∴． ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，则， 联立，消去得，， ∴，， 连接，由圆的性质可得，∴， ∴ ． 综上可得，． 解法二：由题知，． ①当直线的斜率不存在时，同法1． ②当直线的斜率存在时，同法1得∴， ∴ ． 综上可得，． 解法三：设直线方程为，则 联立，消去得， ∴，， ∴，整理得， ∴ （2）由（1）知，∴直线和直线方程分别为和， 联立，消去得，∴点在直线上，如图所示， ∴ ∵，∴，∴． ∴的取值范围范围为． 题型六 直线与圆有关的最值问题 26．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【解题思路】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【解答过程】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 27．（24-25高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)7 【解题思路】（1）根据动点与点的距离是它与原点的距离的2倍，由化简求解； （2）设，代入，得到，利用判别式求解； （3）当AB和CD的斜率都存在和AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0，设直线AB方程为：，分别求得弦长AB和CD，再由四边形ACBD的面积为求解. 【解答过程】（1）因为动点与点的距离是它与原点的距离的2倍， 所以， 即， ； （2）设，则，代入， 得， 由，得， 解得，即， 所以的最小值为； （3）当AB和CD的斜率都存在时，设直线AB方程为：， 则直线CD的方程为：， 已知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 则圆心到直线的距离为， 所以，同理， 所以四边形ACBD的面积为：， ； 当AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0， 此时 ， 所以四边形ACBD的面积为， 当，即时，四边形ACBD的面积的最大值是7. 28．（2025高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解答过程】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 29．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆M过，两点，且圆心M在上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由圆心M在上可设，圆的半径为，根据圆所过两点的坐标列出方程组求出圆心和半径，即可得出圆的方程； （2）根据题中条件，得到与全等，则四边形面积为，进而可求出结果. 【解答过程】（1）由题意，因为圆心在上，所以可设， 设圆的半径为， 又圆过，两点， 所以，解得，则圆心为， 所以圆的方程为； （2）因为是圆的两条切线，为切点， 所以，，因此与全等， 又点到直线的距离为， 则直线与圆相离， 所以四边形面积 ， 当且仅当与直线垂直时，四边形的面积最小，最小值为.    30．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为0； (3)最大值，最小值为. 【解题思路】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【解答过程】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 题型七 直线与圆的实际应用 31．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【解答过程】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 32．（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【解题思路】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【解答过程】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 33．（24-25高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【答案】(1)； (2)小时. 【解题思路】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可. （2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间. 【解答过程】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大， 由，，则，知，则最大. （2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为， 该直线与圆相交的弦长为， 即此人被台风影响持续时间为.    34．（24-25高二上·广西南宁·期中）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【答案】(1)，， (2) (3)轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶小时 【解题思路】（1）根据实际意义可得坐标，利用两点间距离公式可得； （2）假设圆的一般方程，代入三点坐标可求得方程，进而整理得到标准方程； （3）根据直线与圆位置关系的判定可知直线与圆相交，由此得到轮船会进入该区域；根据垂径定理可得弦长，由此可求得行驶时长. 【解答过程】（1）由题意知：，，， ，，. （2）设经过三点的圆的方程为：， ，解得：， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：. （3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时. 35．（24-25高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【解答过程】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）    ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$