第2章 圆与方程（举一反三单元测试·拔尖卷）高二数学苏教版选择性必修第一册

第2章 圆与方程（举一反三单元测试·拔尖卷） 【苏教版（2019）】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·江苏南通·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 3．（5分）（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·江苏常州·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知是直线上一点，，分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有三个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·河南·阶段练习）已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为 C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为 10．（6分）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆和圆相交于A、B两点，下列说法正确的是（   ） A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为 11．（6分）（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知圆，点是圆上的点，直线，则（    ） A．直线与圆相交所得弦长是 B．的最大值是 C．圆上恰有个点到直线的距离等于 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 13．（5分）（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 . 14．（5分）（24-25高二上·湖北·阶段练习）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（15分）（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，圆. (1)求的方程； (2)若与外切，求实数的值. 17．（15分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 18．（17分）（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知圆，圆． (1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长； (2)已知过点的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率． 19．（17分）（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程（举一反三单元测试·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·江苏南通·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设对称圆的圆心，解方程组即得圆心，然后代入圆的标准方程得解. 【解答过程】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等都为2， 所以对称圆的方程为. 故选：B. 2．（5分）（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【解题思路】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可. 【解答过程】因为，所以， 故的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 故，解得，由两点间距离公式得， 所以，则圆与圆外切，故B正确. 故选：B. 3．（5分）（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； 【解答过程】解：设， M为线段的中点，， ， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故选:C. 4．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【解答过程】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 5．（5分）（24-25高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【解答过程】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 6．（5分）（24-25高二上·江苏常州·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将曲线方程化为，利用直线与曲线位置关系，结合图形即可求解. 【解答过程】依题意，曲线的方程可化为：它表示以原点为圆心，2为半径的右半圆，如图： 直线过定点， 直线与相切时，可得，解得， 直线过点时，， 根据图形，结合对称性可得，直线与曲线有两个交点时， 实数的取值范围是. 故选：D. 7．（5分）（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知是直线上一点，，分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合点关于直线的对称可知的最小值，再根据圆上的点到直线距离的最值可得的最小值. 【解答过程】圆，则圆心，， 圆，则圆心，， 因为，则两圆心在直线的同侧． 又圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 则两圆在直线的同侧且与直线相离，如图所示， 圆心关于直线的对称点为， 则，解得，，所以， 所以，当且仅当、、三点共线时等号成立； 即的最小值为. 故选：C． 8．（5分）（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有三个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】C 【解题思路】将直线的方程化为，由可求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；判断定点与圆的位置关系，可判断B选项；求出与直线平行且距离为的直线方程，并判断所求直线与圆的位置关系，可判断C选项；求出的值，分析可知，当直线与直线垂直时，取最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，直线的方程可化为， 由可得，所以，直线恒过定点，A错； 对于B选项，因为，则点在圆内， 所以，直线与圆有两个交点，B错； 对于C选项，当时，直线的方程为， 设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得， 圆心为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 所以，直线、都与圆相交， 所以，当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于，C对； 对于D选项，因为直线与直线平行， 则，解得， 即点在直线上，连接，则， 由勾股定理可得， 当直线与直线垂直时，取最小值， 且，则，D错. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·河南·阶段练习）已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为 C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】设圆心坐标为，由题意可得，可求圆心判断A；利用两点间的距离公式求得半径可判断B；令，可得圆与轴的交点坐标判断C；求得圆心到的距离可求圆上一点到点距离的最大值判断D. 【解答过程】设圆心坐标为，由，得， 解得，故，故A正确； 所以，故圆的标准方程为， 故B正确； 令得，，故圆与轴的交点坐标为，故C错误； 圆心到点的距离为，故圆上一点到点距离的最大值为5+，故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆和圆相交于A、B两点，下列说法正确的是（   ） A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为 【答案】AC 【解题思路】由圆与圆的位置关系判断A； 求出公共弦所在直线方程判断B；利用圆的弦长公式求出弦长判断C；判断方程是否过A、B两点，再判断方程是否表示过A、B的所有圆判断D. 【解答过程】圆的圆心，半径，圆圆心，半径， 对于A，，圆与圆相交，有两条公切线，A正确； 对于B，圆与圆的方程相减得直线AB的方程：，B错误； 对于C，圆心O到直线AB的距离，则，C正确： 对于D，当时，恒成立， 即该方程恒过A、B两点，方程化为， 而恒成立， 因此方程表示圆， 但此圆系不包括圆M，D错误. 故选：AC. 11．（6分）（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知圆，点是圆上的点，直线，则（    ） A．直线与圆相交所得弦长是 B．的最大值是 C．圆上恰有个点到直线的距离等于 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】CD 【解题思路】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【解答过程】    如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A错； B选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，B错； C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：CD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【解答过程】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】根据题意，先将转化为，从而将问题转化为圆上任一点到点与的距离之和，数形结合即可得解. 【解答过程】因为， 所以 ， 则， 相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图， 因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求， 所以所求最小值为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二上·湖北·阶段练习）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】将曲线方程化为半圆方程，求直线定点为，作草图确定由两个交点的临界位置，即可求解参数取值范围. 【解答过程】如图， 化简曲线得：， 表示以为圆心，1为半径的圆的上半圆. 直线经过定点且斜率为， 半圆与直线有两个交点， 设直线与半圆的切线为，半圆的左端点为， 当直线的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率时， 直线与半圆有两个相异的交点，由点到直线的距离公式， 当直线与半圆相切时满足， 解之得，即， 又因为直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是圆的方程 (2)不是圆的方程 (3)是圆的方程，圆心， (4)当时，不是圆的方程；当时，是圆的方程，圆心，. 【解题思路】圆的一般方程为：，其中系数相同，一般方程中不含有项，而且.圆心为，半径. 【解答过程】（1）由于的系数不相等，所以该二元二次方程表示的不是圆． （2）由于该二次方程中含有项，所以该二元二次方程表示的不是圆． （3）由于，所以该二元二次方程表示的是圆． 又由可得:圆心，半径． （4）， 当时，，不能表示圆的方程； 当时，，能表示圆的方程，此时圆心， 半径. 16．（15分）（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，圆. (1)求的方程； (2)若与外切，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）设圆心，则的半径为，根据圆的几何关系可得出关于实数的方程，求出的值，即可得出圆的方程； （2）求出圆的圆心坐标和半径，对实数的取值进行分类讨论，根据两圆外切可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【解答过程】（1）解：根据题意，设圆心，则圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 由题意可得，解得，则圆的半径为， 因此，圆的方程为或. （2）解：圆的标准方程为，则，可得， 则圆心，半径为， 当时，，根据题意，，解得； 当时，则， 根据题意，，此时，不存在. 综上所述，. 17．（15分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【解答过程】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 18．（17分）（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知圆，圆． (1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长； (2)已知过点的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率． 【答案】(1)证明见解析， (2)或． 【解题思路】（1）确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和差的关系确定两圆的位置关系；两圆方程相减，可得公共弦所在的直线方程，根据“几何法”可求两圆的公共弦长. （2）先讨论直线斜率不存在的情况，再研究直线斜率存在时，可设直线，代入圆的方程，根据韦达定理得到，，进而表示出，由就是可求的值. 【解答过程】（1）如图： 圆化成标准方程为，圆心，半径， 圆化成标准方程为，圆心，半径， 由，所以两圆相交， 两圆方程作差得． 即公共弦所在直线的方程为． 圆的圆心到公共弦所在直线的距离为：， 所以公共弦长为：. （2）由题可知，设，， ①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足题意. ②当直线斜率存在时，设直线l方程为：， 将代入，得， 整理得，，， 由一元二次方程根与系数的关系得，， ． 由可得， 化简得，即，解得或． 19．（17分）（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)定值， 【解题思路】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【解答过程】（1）过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. （2）圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$