第2章 圆与方程（举一反三单元测试·培优卷）高二数学苏教版选择性必修第一册

第2章 圆与方程（举一反三单元测试·培优卷） 【苏教版（2019）】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 3．（5分）（24-25高二上·江苏常州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·重庆巫溪·期中）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ） A． B．2 C．1 D．0 10．（6分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆 与圆 （    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有 3 条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 11．（6分）（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·四川成都·期末）过三点的圆的标准方程为 . 13．（5分）（24-25高二上·全国·期末）圆与圆的公共弦长为 . 14．（5分）（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程. 16．（15分）（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 17．（15分）（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆与轴相切. (1)直接写出圆心的坐标及的值； (2)直线与圆交于两点，求 18．（17分）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 19．（17分）（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程（举一反三单元测试·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设圆的标准方程是，将代入求解即可. 【解答过程】解：由题意设圆的标准方程是， 因为圆经过两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程是， 故选：A. 2．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】C 【解题思路】根据圆方程得出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得出结论. 【解答过程】圆的圆心为，半径为3， 圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交. 故选：C 3．（5分）（24-25高二上·江苏常州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用关于的二元二次方程表示圆的条件及点与圆位置的判断方法，列方程组，得到，结合选项即可求解. 【解答过程】因为点在圆的外部， 则，即，解得， 故选：C. 4．（5分）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两圆方程相减求得直线方程，然后求得一个圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【解答过程】由已知，两圆方程相减得，这是两圆公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 故选：B． 5．（5分）（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【解答过程】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 6．（5分）（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【解答过程】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 7．（5分）（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】判断出两圆的位置关系即可得出圆，的公切线条数. 【解答过程】由已知得，圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为，故， 而，故圆，相交，有两条公切线. 故选：. 8．（5分）（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线有公共点，利用点到直线的距离公式列不等式，即可求得答案. 【解答过程】连接，则.圆的圆心为，半径为； 又，所以四边形为正方形，所以， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 则该圆与直线有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·重庆巫溪·期中）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】AB 【解题思路】由求出的取值范围，对各选项逐一验证即可. 【解答过程】由 或. 故选：AB. 10．（6分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆 与圆 （    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有 3 条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 【答案】AC 【解题思路】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D. 【解答过程】对于A，圆的圆心为，半径为 与圆的圆心为，半径为， 故两圆的圆心距为，故A正确； 对于B，由于， 即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，故B错误； 对于C，由B可知两圆相交，将圆与圆的方程相减，得， 即公共弦所在的直线方程为，故C正确； 对于D，由B可知两圆相交，而， 到直线的距离为， 故两圆公共弦的长度为，故D错误； 故选：AC. 11．（6分）（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【解题思路】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离即可判断AB，根据圆上切线特点即可判断C，再根据切线长的计算公式可得最值，即可判断D. 【解答过程】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·四川成都·期末）过三点的圆的标准方程为 . 【答案】 【解题思路】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【解答过程】设圆的方程为， 代入三点，有 解得 故圆的方程为, 故圆的标准方程为. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·全国·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【解题思路】求出两圆的公共弦方程，转化为直线与圆相交弦长问题，由垂径定理，在弦心距，半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【解答过程】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故答案为：． 14．（5分）（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 【答案】①④ 【解题思路】圆心到直线的距离， 结合直线与圆的位置关系相应条件判断即可. 【解答过程】圆心到直线的距离， 对于①，若点在圆上，则，所以，直线与圆相切，故①正确； 对于②，若点在圆内，则，所以，直线与圆相离，故②错误； 对于③，若点在圆外，则，所以，直线与圆相交，故③错误； 对于④，若点在直线上，则，即， 所以，直线与圆相切，故④正确. 故答案为：①④. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程. 【答案】 【解题思路】利用待定系数法即可列方程求解半径和圆心，进而得解. 【解答过程】设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的标准方程为：. 16．（15分）（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由线段的中垂线与圆心所在的直线的交点求出圆心坐标，再由两点间距离公式求出半径，可得圆的标准方程； （2）两圆相减得到圆的公共弦方程，再由点到直线的距离公式求出圆心M到直线的距离，最后由勾股定理求弦长即可； 【解答过程】（1）记点，线段的中垂线方程为：， 圆C经过A，B，所以圆心C在直线上，又因为圆心C在直线上， 所以圆心C的坐标为（2，－2）， 半径，所以圆C的方程为：. （2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为： ， 即：， 圆心M到直线的距离， 所以，，即公共弦长为. 17．（15分）（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆与轴相切. (1)直接写出圆心的坐标及的值； (2)直线与圆交于两点，求 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与轴相切得半径； （2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解. 【解答过程】（1）圆， 则圆心，因为圆与轴相切，则半径. 由（1）知，圆的方程为，圆心，半径为2. （2）法一：设， 联立，得， ， 则， 所以. 法二：圆心到直线的距离， 则. 故. 18．（17分）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 19．（17分）（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据弦长和圆心到直线的距离可求得半径，利用半径可求的值. （2）利用几何特征可得，问题转化为求的最小值，利用点到直线的距离可得结果. 【解答过程】（1） 如图，设圆与轴交于两点，则， 过点作于点，连接，则， ∴，即圆半径为， ∴圆标准方程为，化为一般方程为， ∴. （2） 如图，连接. 由题意得，，与全等， ∴， 当取最小值时，四边形的面积有最小值， 的最小值为点到直线的距离，即， ∴四边形的面积的最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$