专题04一元二次不等式（讲义）- 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第4个专题： 一元二次不等式。本专题涵盖一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法及应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 一元二次不等式（讲义） 1．解不等式的有关理论 （1）若两个不等式的解集相同，则称它们是 同解不等式 ； （2）一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形； （3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a＝0，b＜0 ． 3．一元二次不等式及其解法 （1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． （2）使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． （3）若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． （4）一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 1.（2017年内蒙古对口升学）不等式(x－4)(2－x)＞0的解集是( ). A.(－∞,2)∪(4,＋∞) B.(－2,4) C.(2,4) D.(－∞,－2)∪(4,＋∞) 2.（2019年内蒙古对口升学） 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 3.（2020年内蒙古对口升学）解集为[1,3]的不等式是( ) A. X²-4x+3≤0 B. X²-4x+3≥0 C. X²+4x+3≤0 D. X²+4x+3≥0 4.（2022年内蒙古对口升学）已知不等式 x 2 + ax + b ⩽ 0 的解集是 [2,3], 则 a + b = ( ) A. —1 B. 1 C. —11 D.11 5.（2024年内蒙古对口升学）不 等 式 3 + 2x—x²>0 的解集是（ ） A. ( 一∞,-1)U(3, +∞) B. ( 一 ∞, - 3)U(1, 十∞) C.(-1,3) D.(—3,1) 知识点1 一元一次不等式的解法 1.解不等式，并把解集在数轴上表示出来 . 2.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 3.已知不等式组的解集是，则= . 4.不等式组的整数解是 . 5.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.若不等式的最小整数解是方程的解，则a的值为（　　） A． B． C． D． 知识点2 一元二次不等式的解法 1.不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 2.不等式的解集为（     ） A．R B． C． D． 3.不等式的解集是 . 4.不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 5.关于的不等式的解集为（    ） 6.不等式的解集为 ． 知识点3 利用一元二次不等式求参数及范围 1.已知关于的不等式的解集是，则的值是（       ） A． B．2 C．22 D． 【变式探究】若不等式的解集为，则的值为( ) A.5 B.-5 C.6 D.-6 【例2】若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为 . 【变式探究】已知关于x的不等式的解集为或，则b的值为 . 【例3】若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 . 知识点四：一元二次不等式的应用 1.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为（ ） A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 2.某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15} C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10} 3.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 5.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 6.不等式的解集为，则的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第4个专题： 一元二次不等式。本专题涵盖一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法及应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 一元二次不等式（讲义） 1．解不等式的有关理论 （1）若两个不等式的解集相同，则称它们是 同解不等式 ； （2）一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形； （3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a＝0，b＜0 ． 3．一元二次不等式及其解法 （1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． （2）使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． （3）若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． （4）一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 1.（2017年内蒙古对口升学）不等式(x－4)(2－x)＞0的解集是( ). A.(－∞,2)∪(4,＋∞) B.(－2,4) C.(2,4) D.(－∞,－2)∪(4,＋∞) 答案： C 解析：：① 变形：((x - 4)(2 - x)>0)，将((2 - x))化为(-(x - 2))，不等式变为(-(x - 4)(x - 2)>0)，两边同乘(-1)（不等号变向），得((x - 4)(x - 2)<0)。② 找根：因式((x - 4)(x - 2))对应的方程((x - 4)(x - 2)=0)，根为(x = 2)和(x = 4)。③ 定区间：二次函数(y=(x - 4)(x - 2))开口向上（二次项系数(1>0)），要满足((x - 4)(x - 2)<0)，即函数值小于(0)，对应图象在(x)轴下方的区间，为(2<x<4)，所以解集是((2,4))，选C 。 2.（2019年内蒙古对口升学） 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 答案： D 解析：① 找根：或② 定区间：大于取两边，故选D 。 3.（2020年内蒙古对口升学）解集为[1,3]的不等式是( ) A. X²-4x+3≤0 B. X²-4x+3≥0 C. X²+4x+3≤0 D. X²+4x+3≥0 答案： D 解析：选项A：因式分解后方程((x - 1)(x - 3)=0)的根为(x = 1)和(x = 3)，二次函数(y=(x - 1)(x - 3))开口向上解集为([1,3])，符合要求。 4.（2022年内蒙古对口升学）已知不等式 x 2 + ax + b ⩽ 0 的解集是 [2,3], 则 a + b = ( ) A. —1 B. 1 C. —11 D.11 答案： B 解析：已知不等式 x 2 + ax + b ≤0 的解集为 [2,3]，则二次方程 x 2 + ax + b=0的根 为2和3。 根据根与系数的关系，有： 2+3=-a 2×3=b a=-5，b=6 因此，a+b=-5+6=1 5.（2024年内蒙古对口升学）不 等 式 3 + 2x—x²>0 的解集是（ ） A. ( 一∞,-1)U(3, +∞) B. ( 一 ∞, - 3)U(1, 十∞) C.(-1,3) D.(—3,1) 答案： C 解析：将不等式 3 + 2x—x²>0改写为标准形式： x²-2x+3<0 得x=3或x=-1。 则解集为(-1， 3)。 知识点1 一元一次不等式的解法 1.解不等式，并把解集在数轴上表示出来 . 【答案】 【解析】解：去括号得：，，，， 故不等式的解集为：. 把解集在数轴上表示出来如图所示： 2.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 【答案】 【解析】解：，解不等式①得：，解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来如图所示： 3.已知不等式组的解集是，则= . 【答案】4 【解析】由的解集是可知，，， 则， 故答案为：4． 4.不等式组的整数解是 . 【答案】 【解析】，由①得：，由②得：， ∴不等式组的解集为：，∴不等式组的整数解为：， 故答案为：． 5.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式组为， ∵该不等式组无解，∴，解得， 故选：B． 6.若不等式的最小整数解是方程的解，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵解不等式得，， ∴其最小整数解为，∴，解得． 故选：A． 知识点2 一元二次不等式的解法 1.不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 【答案】C 【解析】因为不等式可化为:， 解得:，所以解集为:， 故选：C. 2.不等式的解集为（     ） A．R B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，得， 所以不等式的解集为：. 故选：B． 3.不等式的解集是 . 【答案】 【解析】不等式可化为，则解集为， 故答案为：. 4.不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】原式化为，即， 故不等式的解集为， 故选：D． 5.关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为，所以不等式的解集为， 故选：A. 6.不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式可化为，∴ 不等式的解集是， 故答案为：. 知识点3 利用一元二次不等式求参数及范围 1.已知关于的不等式的解集是，则的值是（       ） A． B．2 C．22 D． 【答案】C 【解析】由题意得：2与3是方程的两个根， 故，，所以， 故选：C. 【变式探究】若不等式的解集为，则的值为( ) A.5 B.-5 C.6 D.-6 【答案】B 【解析】由题意知-1，是关于x的方程的两个根，且， 解得， 故选：B. 【例2】若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为 . 【答案】3 【解析】由题可知，－7和－1是二次方程的两个根， 故.经检验满足题意， 故答案为：3. 【变式探究】已知关于x的不等式的解集为或，则b的值为 . 【答案】2 【解析】因为关于x的不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个根， 所以，解得， 故答案为：2. 【例3】若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于关于的一元二次不等式的解集为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 【变式探究】若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，， 故答案为：． 知识点四：一元二次不等式的应用 1.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为（ ） A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 【答案】C 【解析】设销售价定为每件元,利润为，则， 依题意,得，即, 解得，所以每件销售价应定为12元到16元之间， 故选：C. 2.某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15} C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10} 【答案】B　 【解析】由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15. 故选：B. 3.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的解集是，，得， 则不等式，即，解得：， 所以不等式的解集是：. 故选：D. 4.若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于x的不等式的解集是，则有，即，， 代入不等式中，得，化为，解得， 所求不等式的解集为，故选：C． 5.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，得，所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 6.不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】①当时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为，符合题意； ②当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得； 综上可得，实数的取值范围是， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$