第十五章轴对称 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第2课时含30°角的直角三角形的性质 1.B2.9 3证明：AB=AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，AD ⊥AC,.∠DAC=90°，.CD=2AD,∠BAD=∠B=30°， ..AD-BD,..BC-CD+BD-3AD. 4.解：(1)4 (2)证明：如图，延长BC至点D,使CD=BC, 连接AD .∠ACB=90°，CD=BC, ∴，AC是线段BD的垂直平分线， ..AB=AD. BC-7AB,.BD-2BC-AB, .△ABD是等边三角形，∠BAD=60 AC⊥BD,∴.∠BAC=∠DAC=30° 5.15m6.5m7.B8.2(a-b) 9.辩：如图，延长AD,BC交于点E.∠A =30°，∠B=90°，.AE=2BE,∠E 60°.∠ADC=120°，∴∠EDC=60, 120 ∴∠ECD=180°-∠E-∠EDC=60°， 130 ·△EDC是等边三角形.设CD=CE= DE=x,,AD=8,BC=2,.2(2+x)=x十8，解得x=4, 即CD的长为4 10.解：如图，过点B作BH⊥AC于点日 ∠ACD=105°，∠ACB=75, .AB=AC=40 m, .∠ABC=∠ACB=75", ∴∠A=180°-2×75°=30°， :BH上AC,B3=号AB=20m 5ac=74C,BH-2×40X20=40(. ,这种草皮每平方米a元， ∴.购买这种草皮一共需要400a元 11,解：(1)证明：，△ABC是等边三角形 .∠BAC=∠C=60°，AB=CA. AB=CA, 在△ABE和△CAD中，∠BAE=∠C AE=CD, ∴.△ABE2△CAD(SAS). (2),'△ABE2△CAD,∴.∠ABE=∠CAD, ∴.∠ABE+∠BAP=,∠CAD+∠BAP, 即∠BPQ=∠BAC=60 (3)BQ⊥AD..∠BQP=90 又∠BPQ=60°，.∠PBQ=30, .BP=2PQ=12,.BE=BP十PE=12+2=14. 本章小结 1.B2.B3.244.(-6-m,n)5.A(或C) 6解：(1)如图，△A1B,C1即为所求，点A:的坐标为(-2,4) y 35 (2)点A关于x轴的对称点A2的坐标为(2，一4). 7,B 8.解：如图，崖接AB,BB',BB'交AC于点 O,过点A作AE⊥CD于点E.:点B关 于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC 垂直平分BB,,AB=AB',BC=B'C ∠BAC=∠B'AC,∠ACB=∠ACB'. .AB-AD,.AD-AB'. 又：AE⊥CD,∠DAE=∠B'AE, 六∠CME=言∠BAD=号 又：∠AEB'=90,.∠ACB=90°-∠CAE=90° 2 ∠ACB-∠ACB-90-7 9.解：(1)如图，AE即为所求， (2)证明：如图，连接DG并延长，交AE于点P, BD⊥CD,AE⊥CD, .BD∥AE .,∠FAG=∠DBG. ∠FAG=∠DBG 在△AGF和△BGD中，∠AGF=∠PGD AF-BD. ∴△AGF2△BGD(AAS), ∴AG=BG,即G是AB的中点， 10.D 11.解：(1)证明：AD为BC边上的中线，.BD=CD, (AB=AC, 在△ABD与△ACD中，AD=AD. BD=CD, ∴.△ABD2△ACD(SSS). (2)由题意，得BD=BE, ∠BDE=∠BED=号×(a80-50)=6S :AB=AC,AD为BC边上的中线， .AD⊥BC,∴∠ADB=90°， ∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-65°=25 12.A13.3 14.证明：(1)DC平分∠ADB,.∠ADC=∠BDC ∠ADB=60,∴∠ADC=∠BDC=30° DC⊥AB,∴∠DCB=∠DCA=90°， ∠B=∠DAB=90°-30=60°， .∠ADB=∠B=∠DAB=60° ∴△ADB是等边三角形 (2)'CE∥DA,∠BEC=∠ADB=60°， ,∠CEB=∠B=∠ECB=60°， △CEB是等边三角形，∴.CE=BE=BC ∠BDC=30°，∠DCB=90, BC=号BD,∴BE=2BD, .E是BD的中点，AE是边BD的中线 '△ADB是等边三角形，∴AE⊥BD. 15.解：(1)在Rt△ADC中，，'AD=2,∠ADC=60°， ∠ACD=30°，∴CD=CE=2AD=4. EC⊥CD,.∠ECD=90°， ∴Saw-CD.CE=号×4X4=8, (2》证明：如图，在EF上取一点M,使得EM -DF. EC=CD,∠ECD=90°， .∠E=∠CDF=45°， .△ECM2△DCF(SAS),.CM=CF :∠ADC=60°， ∴∠FDB=180°-60-45"=75， 上卧参考答案 177 ,∠DFB=∠CFM=180-75”-45"=60°， .△CFM是等边三角形，.CF=MF, .EF=EM十MF=DF+CF. 第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 1.B2.C3.4 4.解：(1)原式=a·[(-a)·(-a)门=a3·(-a) =-a" (2)原式=xa+a-D=x4-1 5.C 6.解：(10x1=3,x“=9, x9=x5·x5-3×9=27 (2)2=64, 2*3=25×22=64×8=512. 7.C8.A9.C10.15 11.解：(1)a崇b=2×2°，.203=2×2=2=32. (2)2(x十1)=16 22×2+1=2,即22++1=21， .2十x十1=4，解得x=1. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 1.D2.1 3.解：(1)原式=x2×x9=x (2)原式=(a-b)m (3)原式=x1·x2=x8+=x“ (40原式=a-ax4=a#-a2=0. 4.C5.324 6.解：：3”=5,3”=2，∴3++1=(3”)3×(3)2×3=5×2 =125×4×3=1500. 7.A8.C9.64x 10.解：(1)原式=(-1D1·a2·b3=-ab3. (2)原式=(x2)·(y)=xy. 6原武-(-专)ay.6- (4)原式=2×(103)2=4X10 11.B 12.解：31X5+1-152+4,(3X5)+1=152+4 即15+1=158+，∴3x+1=2x+4,解得x=3. 13.A14.D15.C161017.5或3或1 18.解：(1)原式=a“6=(a*)5(62)y=2“×3=5184. (2)a5=(59)1=5“,b=(933=9“ .455=(5X9)5=55×g5=a4569. 19.解：(1)原式=[8×(-0.125)]224×(-0.125) =（-1)20×(-0.125) =1×(-0.125) =-0.125. (2),3×9×81=3,∴3×(32)×(3)=35， .3m+1=35,.6m十1=25，解得n=4. 20.解：(1)44100 (2)3+6+9+…+30 =(1×3)°+(2×3)1+(3×3)0+…+(10×3) =13×33+22X33+3×3+…+103×3 =38×(13+2+32+…+103) =3×10×10+1)72 =27X552 =81675 16.2整式的乘法 第1课时单项式与单项式、多项式相乘 1.D2.B 3解：1原式-[4x(-)]y=-2xy 178 数学八年级RJ版 (2》原式=0.09xy2·0.04xy=(0.09×0.040x+中·y8+6 0.0036x19y“. 4.D5.A6.8a-4a2+2a7.B8.A9.810.1 11.解：原式=zy-xy-xy -(xy2-(xy2)2-xy2. xy2=6, ∴原式=62-62-6 =174, 第2课时多项式与多项式相乘 1.c2c3D4号 5.解：(1)原式=x3-x2y+y2+xy-xy2十y2=x3十y2. (2》原式-x2-6x十7x-42-(x2+x-2x一2)=x2-6x+7z -42-x2-x十2x十2=2x-40. 6.C 1 1 7.解：0)根据题意，得(a+26)6a+b)-4×26·之6=a+ ab+2ab+26*-62=(a*+6*+3ab)cm. (2)当a=8,b=6时， a3+b2+3ab=64+36+144=244 故所需彩纸的面积为244cm2. 8.A9.C10.-1 11.解：(1)甲错把b看成了6， .(2x十a)(x十6)=2z2+12x+ax十6a=2z°+(12+ a)x十6a=2x2十8x-24,∴12+a-8,解得a=-4. ,乙错把a看成了-a, ∴(2x-a)(x+b)=2x2+2bx-ax-ab=2x2+(26-a)x -abm2x2十14x十20，.26-a=14. 3 把a=一4代入，得b=5. (2)当a=一4，b=5时， (2x+4)(x+b)=(2x-4)(x+5)=2x2+10z-4x-20= 2x2十6x-20. 12.解：(1)Sm=6(2a十3b)十6(4a十36)-6 =2a0+362+4ab+3b2-b9 =(6ab+5b2)m2. 故通道的面积共有(6ah十5b)m2 (2)S=m=(4a十36)(2a+3动)-[2b(2a+36)+b(4a+36) -26*] =8a2+18ab+9b2-(4ab+632十4ab+362-262) =8a2+18ab+9b2-8ab-7b =(822+10ab+2b2)m2 敢剩余草坪的面积为(8a十10ab+26)m” 13.解：设2007=4， 则m-a(a十4)-(a十1)(a十3】 =a3+4a-(a2+3a+a+3) =a2+4a-a2-3a-a-3 =一3， m=(a十1)(a+5)一(a+2)(a十4) =(a3+5a十a十5)-(a3+4a+2a+8) =a2+5a+a+5-a2-4a-2a-8 =一3， .,m=月， 第3课时同底数幂、整式的除法 1B2B3号 4.解：(1)原式=(-a)9=(-a)=4'. (2)原式=(a一b)*8÷(a-b)2 =(a-6)n+- =(a-b)” 5.B6.C7.x=-18.B9.A10.4a2b11.A 12.解：(1)原式=[6y-(-6x2+4xy-9xy+6y2)]÷3x =(6y2+6x2-4xy+9xy-6y2)÷3x本章小结 大单元思维导图 抽对称图形 轴对称及其性质 成轴对称的两个图形 对称点所连线段被对称轴垂直平分 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两 图形的轴对称 个端，点的距离相等 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条 线段的垂直平分线上 线段的垂直平分线 逆命题与逆定理 线段垂直平分线的作法 画关健点的对称，点，连接对称点就可以得到对称图形 轴对称 画轴对称的 画轴对称图形的方法》 图形 关于x轴y轴对称的 点(xy)关于x轴对称的点的坐标为(x-y): 点的坐标特征 点(x,y)关于y轴对称的，点的坐标为(-xy) 性质：等边对等角、三线合一 等腰三角形 判定：等角对等边 等腰三角形 性质：等边三角彩的三个角都相等，并且每一个角都等于60 等边三角形 到定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角 都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60的等腰 三角形是等边三角形 大单元考点训练 考点1轴对称与轴对称图形 .b= 1.(2024广西}端午节是中国传统节日.下列与 4.如图，在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称 端午节有关的文创图案中，成轴对称的是 图形，其中点A(一6,6)的对称点A'的坐标为 (0,6),M(m,n)为图形上的一点，则点M在图 形上的对称点的坐标为 0 D 第4题图 第5题图 2.下列四种图形中，对称轴条数最多的是 5.(2024甘肃)围棋起源于中国，古代称为 ( “奔”.如图所示的是两位同学的部分对弈 A.等边三角形 B.圆 图，轮到白方落子.观察棋盘，白方如果落子 C.长方形 D.正方形 于点 的位置，则所得的对弈图是 3.在平面直角坐标系中，已知点A(2a十b,2 轴对称图形（填写A,B,C,D中的一处即 a)与点B(a十6，b-2a)关于x轴对称，则a 可，A,B,C,D位于棋盘的格点上) 上册第十五对 6.如下图，在平面直角坐标系中，△ABC的三 ∠BAD=a,求∠ACB的度数（用含a的式 个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4). 子表示). (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B,C1, 并写出点A的坐标 (2)直接写出点A关于x轴的对称点A:的 坐标 9.(2025周口期末)如下图，G是△ABC的边 AB上的一点，BD⊥CD于点D (1)请用无刻度的直尺和圆规在图中过点A 作CD的垂线，垂足为E(保留作图痕迹，不 写作法). (2)在(1)的条件下，连接DG并延长，交AE于 点F.若AF=BD,求证：G是AB的中点. 考点2线段垂直平分线的性质与判定 7.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的 长为半径作弧交BC于点D,再分别以点B 和点D为圆心，大于2BD的长为半径作 弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN交 AB于点E,连接DE,AD.若△ADE的周 长为8，AC-3,则AB的长为 ) 考点3等腰三角形的性质与判定 XN 10.如图，DE=11,FG=3, 第？题图 BF,CG分别平分∠ABC, A.4 B.5 C.6 D.8 ∠ACB,DE∥BC,则BD 8.如下图，在四边形ABCD中，AB=AD,点 +CE= ( ) 第10题图 B关于AC的对称点B'恰好落在CD上.若 A.3 B.11 C.7 D.8 数学八年级R刷版 11.如下图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC (1)△ADB是等边三角形. 边上的中线，以点B为圆心，BD长为半径 (2)AE⊥BD. 画弧，与AB交于点E,连接DE (1)求证：△ABD≌△ACD. (2)若∠B=50°，求∠ADE的度数. 15.如下图，△ABC为等腰直角三角形，AB 考点4等边三角形的性质与判定 AC,∠BAC-90°，点D在线段AB上，连接 12.如图，过边长为1的等边三角形ABC的边 CD,∠ADC=60°，AD=2,过点C作CE⊥ AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为 CD,且CE=CD,连接DE,交BC于点F. BC延长线上一点，连接PQ交AC于点 (1)求△CDE的面积. D.当PA=CQ时，DE的长为( (2)证明：DF+CF=EF. AB c 其12题周 第13题围 13.如图，等边三角形ABC的边长为1cm, D,E分别是AB,AC上的点.将△ADE 沿直线DE折叠，使点A落在点A'处， 且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形 的周长为 cm. 14.如右图，在△ADB中， ∠ADB-60°，DC平分 ∠ADB,交AB于点C,且 DC⊥AB,过点C作CE∥ DA交BD于点E,连接AE.求证： 上册第十五森