第十四章全等三角形 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

证明：在R△ABF和R△CDE中，BF=DE, (AB-CD, ∴，Rt△ABFC2Rt△CDE(HL),∴.AF=CE, ∴，AF+EF=CE十EF,即AE=CF ∠BFM=∠DEM=90°， 在△BFM和△DEM中∠BMF-∠DME, BF=DE, ∴，△BFM2△DEM(AAS),.MB=MD 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 1.A 2.解：(1)如图所示，DE即为所求 (2)DE∥AC 3.C4.(-4,3)5.6 6.解：(1)证明：∠D=90°，BE⊥AC, .∠AFB=∠D=90. :EA平分∠DEF,AF⊥EF,AD⊥ED,,AF=AD 在△ABF和△icD中，-AS. ∴.R:△ABF2Rt△ACD(HL) (2)由(1)，得Rt△ABF2Rt△ACD,∴.BP=CD. BF=7,DE=3,.CD=7, ∴.CE=CD-DE=7一3=4 7.C8.6cm 9.解：(1)证明：如图，过点C分别作CF⊥AD 交AD的延长线于点F,CG⊥AB于点G, 对角线AC平分∠DAB, ..CF=CG. .∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC ∠CDF=180°， ∴.∠CDF=∠C8G. ,∠F=∠CGB=90°， .△CDF2△CBG(AAS),∴.CD=CB. (2)如图，延长DE交AB于点H, 则∠DEA=∠HEA=90° :AC平分∠DAB,∠DAE=∠HAE. 'AE=AE,∴.△DAE2△HAE(ASA), DE=EH,即E是DH的中点， S△Am=S△AE,S&Ha=S△D8 5aa=75as=10 10.每：(1)= (2)PE=PF,理由如下： 如图，过点P分别作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,则 ∠PME=∠PNF=90 ,OP平分∠AOB,∴.PM=PN. '∠AOB-∠PME=∠PNO-90°， ,∴.∠MPN=90 ∠EPF=90°， .∴.∠MPE=∠NPF. 在△PEM和△PFN中， ∠PME=∠PNF, PM=PN, ∠MPE=,∠NPF, ,△PEM2△PFN(ASA),.PE=PF 第2课时角的平分线的判定 1.A2.A3.C4.325.15°6.70 7,解：(1)如图，过点P作PF⊥BE于点F ”点P在∠ABC的平分线上，PH⊥BA, PF BE,.PF=PH=5 cm; .点P到直线BC的距离为5cm (2)证明：：点P在∠ACE的平分浅上，PD ⊥AC,PF⊥BE,.PF-PD PF=PH,∴PD=PH PD⊥AC,PH⊥BA, .点P在∠HAC的平分线上 8.D9.18°10.①③ 11.解：(1)证明：如图，过点E分别作EG⊥AD于点G,EH⊥ BC于点H. B DH 'EF⊥AB,∠AEF=50”,.∠FAE=90°-50°=40 ∠BAD=100°， ,∠CAD=180-∠BAD-∠FAE=40°， ∴∠FAE=∠CAD=40,AC为∠DAF的平分线. 又：EF⊥AB,EG⊥AD,EF=EG. BE是∠ABC的平分线，'.EF=EH, .EG=EH,.DE平分∠ADC (2)设EG=x,则EF=EH=EG=x. :SAa=SaaE+SaE=号AD·EG+号CD·EH =18, “2Xx+号×8x=18, 解得x=3,∴EF=3. 1 AB-6.SAM2AB.EF-2X6X3-9. 12.解：(1)证明：：'∠ACB=∠DCE=a, .∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD =∠BCE 「CA=CB 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD-CE, .△ACD2△BCE(SAS). (2)证明：如图，过点C分别作 CaM⊥AD于点M,CN⊥BE于 点N. △ACD2△BCE, S△AD=S△x,AD=BE, ∴2AD,CM=2BE·CN, .CM=CN,HC平分∠AHE (3∠CHE=90-7a 本章小结 1.C2.B3.1004.(3,-2)5.①②④6.A7.C8.A 9.2710.2<EF<411.6 12.解：过点C作CM⊥AF于点M, 如图， ∴∠CAM+∠ACM-9o ∠BAC=90°， .∠BAF+∠CAM=90°， ∴.∠BAF=∠ACM. BF⊥AE,∴∠F=∠AMC=90, 又AB=CA, .△ABF≌△CAM(AAS),∴.BF=AM=1,AF=CM, :FM=AF-AM=4.6. FG=AF,.FG=MC. 上卧参考答案 173 ,'∠F=∠CMH=90',∠GHF-∠CHM. 六△GHF2ACHM(AAS),FH=MH=2FM=之.3. 13.m:(1)∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=90°， ∠BCD=90 在R△BAD和R△BCD中，AB=CB, (BD=BD, ,R△BAD2R△BCD(HL),∴.DA=DC=T. (2)正明：如图，延长DC至点K,使得CK AP,连接BK :∠BCD+∠BCK=180°，∠BAD+∠BCD =180°， ,∠BAD=∠BCK 又AP=CK,AB=CB, .△BPA2△BKC(SAS),.∠1=∠2，BP=BK PQ=AP+CQ,KQ=CK+CQ,PQ=KQ. 又，BQ=BQ,.△PBQ2△KBQ(SSS), ∴，∠PBQ=∠KBQ=∠2+∠QBC=∠1+∠QBC 即∠PBQ=∠ABP+∠QBC. 3∠PBQ=90+2∠ADC 14.A 15.解：(1)，AD⊥BC,.∠ADC=90 ∠C=70,∠BAC=50°， .∠DAC=180°-90°-70°=20°，∠ABC=60° AE是∠BAC的平分线，.∠BAO=25° :BF是∠ABC的平分线，∠ABO=30, ∴.∠B0A=180°-∠BA0-∠AB0=180°-25-30 =125 (2)连接OC,过点O分别作OM⊥BC于点M,ON⊥AC于 点N,如图①. AE,BF是角平分线，且交于点O, .CO是∠ACB的平分线， .∠OCF=∠OCE,OM=ON 在Ra0EM有R△0PN中，8-O. .Rt△OEM≌Rt△OFN(HL),∴.∠EOM=∠FON, ·∠MON=∠EOF=180°-∠ACB. AE,BF是角平分线， ÷∠A0B=180°-（∠0AB+∠0BA)=180-】 (∠BAC +∠ABC)=180-2a80°-∠AC8)=90+ 2∠ACB. 又：∠AOB=∠EOF, 90+1 ∠ACB=180°-∠ACB,∴∠ACB=60 ME 图① 图② (3)如图②，连接OC,过点O分别作OD⊥AB于点D,OG ⊥BC于点G,OH⊥AC于点H. :AE,BF是角平分线，且交于点O, ∴.OD=OG=OH. 2 1 100D+2×80G+2×60H, 1 :.0D=2,∴.SaoB= ×10×2=10 174 数学八年级RJ版 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.D2.D3.B4.B5.132°6.A7.D8.95 9.解：(1)，△ABC和△ADE关于直线MN对称， .△ABC2△ADE,∠DAE=∠BAC=1O0°. ,∠C4D=30°，.∠CAE=100°-30°=70°. (2)BC∥AD,.∠BFE=∠D ,'△ABC≌△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∠C=,∠E. 由对称性可知，∠EAF=∠CAF 又AE平分∠BAM,∴，∠BAE=∠EAF=∠CAF ,∠BFE十∠C=81°，，∠D+∠E=81, .∠DAE=180-81°=99°，.∠BAC=99°， ÷∠EAF=号∠BAC=3 10.解：(1)∠1=2∠A (2)2∠A■∠1十∠2.理由如下： 由四边形内角和，得∠A十∠A'+∠A'DA十∠A'EA =360° 又：∠1十∠ADA十∠2十∠A'EA=180”+180'=360°， ∴∠A'+∠A=∠1+∠2. 由折叠可得∠A=∠A',.2∠A=∠1十∠2 (3)'∠DME=∠A'+∠2，∠1=∠A十∠DME, 且由折叠可得∠A=∠A', .∠1=∠A十∠A'+∠2=2∠A十∠2， 2∠A=∠1-∠2=80°-24°=56，∴∠A=28" 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 1.D2.A3.B 4.解：1)如图，射线AP即为所求， (2)证明：如图，崖接PD.AP平分 ∠BAC,∴.∠PAB=∠PAD .AB=AD,AP=AP, ∴.△PAB2△PAD(SAS),∴，BP=DP ,AC=AB十BP,AC=AD十DC,AB=AD, .BP=DC,.DP=DC, ∴，点D在线段PC的垂直平分线上 5.C6.D7.B8.D9.210.36 11.证明：如图，连接AE,CE.AC,BD的垂 直平分线相交于点E,.AE=CE,BE =DE. (AB-CD, 在△ABE和△CDE中，AE=CE, BE=DE, ∴.△ABE2△CDE(SSS,.∠ABE=∠CDE. 12.解：(1)正明：如图，逢接AD,DC. ,BD平分∠ABC,DG⊥AB,DF ⊥BC,∴.DG=DF ,点D在AC的垂直平分线上， ..DA=DC. 在R△DGA和R△DFC中，DF: ∴.Rt△DGA2Rt△DFC(HL),.AG■CF (2)由(1)知DG=DF. 又BD=BD,.R±△BDG2Rt△BDF(HL,∴.BG=BF TAG=CF, ∴·△ABC的周长=AB十BC十AC=BG一AG十BF十CF +AC=2BG+AC=2×5+6=16. 第2课时线段的垂直平分线的作法 1.C2.D3.B4.(1)AD.(2)25 5.解：如图，点P即为所求本章小结 大单元思维导图 全等形儿能够完全重合的两个图形叫作全等形 全等三角形 全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 及其性质 全等三角形的性质儿对应边相等，对应角棉等 边角边(SAS) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 角边角(ASA)N 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 全等三角形 全等三角 角角边(AAS) 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 形的判定 边边边(SSS) 三边分别相等的两个三角形全等 斜边、直角边(HL) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线 判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 大单元考点训练 考点1全等三角形的性质 4.△OAB和△OA'B'在平面直角坐标系中的 1.(2024济南)如图，已知△ABC≌△DEC, 位置如图所示，其中点A,B的坐标分别为 ∠A=60°，∠B=40°，则∠DCE的度数为 (-3,0),(0,2),点A'在x轴上，且△OA'B ≌△OAB,则点B'的坐标为 A.40°B.60 C.80 D.100 5.如图所示的是纸飞机的示意图.在折叠的过 程中，使得△ABC和△AB'C'能够重合， △APC和△APC能够重合，则下列结论： 第1题图 第2题国 ①PC=PC';②∠BAC'=∠B'AC;③∠ABC 2.如图，已知△ABC≌△DEF,DF∥BC,且 =∠ACP;④S西边形ABCP一Sg边形ABCP.正确的 ∠B=60°，∠F=40°，点A在DE上，DF交 有 (填写序号). AC于点H,则∠BAD的度数为( A.15°B.20°C.25 D.30 3.(2024成都)如图，△ABC≌△CDE.若∠D 第5题国 第6题 =35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为 考点2全等三角形的判定 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, BD=AD=4cm,AE=AF,则图中阴影部 分的面积是 () A.8 cm2 B.16 cm2 第3题图 第4题图 C.32 cm2 D.无法确定 上册第十四章 7.在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1十 12.如右图，在△ABC ∠2+∠3+∠4+∠5等于 () 中，∠BAC=90°，AB G A.145 B.180° =AC,E是BC边上 C.225 D.270 的一点.过点B作BF⊥AE交AE的延长 线于点F,延长FB至点G,使得FG= AF,连接CG交AF于点H,连接AG.若 AF=5.6,BF=1,求FH的长度. 第7题围 第8题国 8.如图，在△ACD中，∠ACD=90°，点B在 CD上，满足BC=AC,过点A作EA⊥AD, 且EA=DA,连接AB,EB,过点E作EG∥ CD交AC的延长线于点G,AG与EB交于 点R.者cP-Bc,则0 A号 B c号 n号 9.如图，AB=DE,CD=AC,∠BAC=∠D AF⊥CD.若∠BCE=63°，则∠CAF的度 数是 13.推理能力已知在四边形ABCD中， 第9题困 第10题因 ∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD+ 10.如图，在△ABC中，D为BC的中点，过点 ∠BCD=180°，AB=BC D作DE⊥DF交AB于点E,交AC于点 (1)如图①，连接BD.若∠BAD=90°，DA F,连接EF.若BE=1,CF=3,则EF的 =7,求DC的长度. 取值范围是 11.如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0, y),M(-1,0),连接AB,过点A作ACI AB.若AC=AB,连接CM,当点B在y轴 上移动时，CM的最小值为 图① 第11题剧 数学八年级RJ板 (2)如图②，点P,Q分别在线段AD,DC 15.在△ABC中，AE,BF是角平分线，交于点O. 上，且满足PQ=AP+CQ.求证：∠PBQ (1)如图①，AD是BC边上的高，∠BAC= =∠ABP+∠QBC. 50°，∠C=70°，求∠DAC和∠BOA的度数. (3)如图③，若点Q在DC的延长线上，点P (2)如图②，若OE=OF,AC≠BC,求 在DA的延长线上，且仍然满足PQ=AP十 ∠ACB的度数. CQ,请直接写出∠PBQ与∠ADC的数量 (3)如图③，若∠C=90°，BC=8,AC=6, 关系 AB=10,求S△AoB: 2 盟3 考点3角的平分线的性质与判定 14.(2024常州)如图，在纸上画有∠AOB,将 两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P 在∠AOB的平分线上，则 ( 第14题图 A.d1与d2一定相等 B.d1与dz一定不相等 C.b1与12一定相等 D.11与l2一定不相等 29 上册第十四章