第十三章三角形 13.1 三角形的概念 13.2.1 三角形的边-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十三章三角形 13.1三角形的概念 要点提示 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段青尾熊安相楼所组成的图形叫作三角形。 2.三角形的分类： (1)按边分英： (2)按角分典： 「三边都不相等的三角形 「直角三角形 三角形 「底边和腰不相等的等腰三角形 三角形锐角三角形 等腰三角形 等边三角形 纯角三角形 O1固基础● 02提能力◆ ……… 知识点①三角形的定义 5.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡， 1.观察下列图形，其中是三角形的是 其中不能判断三角形类型（按角分类）的是 △XA ) A B 2.（教材变式)图中共有 个三角形，其中以 AE为边的三角形有 个 知识点2三角形的分类 第2题图 3.下列关于三角形按边分类的示意图中，正确 6.将一个三角形分成两个三角形，这两个三角 的是 形不可能 () A.都是直角三角形 不等边 B.都是钝角三角形 三角形 等边 肩形 C.都是锐角三角形 角形 D.是一个直角三角形和一个钝角三角形 A B 7.几何直观若有一个公共角的两个三角形称 为一对“共角三角形”，如下图，以∠B为公 三角形 等边二不等边 不梦边 角形 三角形 三角形 等边 共角的“共角三角形”有几对？请写出来. D 4,若一个三角形的三个内角度数各不相等，且 最小的角是51°，则这个三角形是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 上册第十三两 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 要点提示 1.三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边 2.三角形的稳定性：三角形中三条边的长度一日确定，它的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三 角形的魏定性。三角形的稳定性是三角形特有的性质，四边形县有不德定性 O1固基础念… 知识点①三角形的三边关系 1.(2024一2025南昌新建区月考)若某三角形 第5题剧 装6题图 的两边长分别为3和4，则下列长度的线段 6.古代数学文化花本式提花机是我国古代织 能作为其第三边的是 造技术最高成就的代表，明代《天工开物》中 A.1 B.5 C.7 D.9 详细记载了花本式提花机的构造.如图是提 2.已知三角形的三边长分别为2，x,8.若x为 花机上一个三角形木框架的示意图，它由三 正整数，则这样的三角形有多少个？ 根木料固定而成，三角形的大小和形状固定 不变.三角形的这个性质叫作三角形的 ●易错点设有验证是否满足三角形的三 边关系而致错 7.(教材变式)用一条长为36cm的细绳围 知识点2三角形的稳定性 成一个等腰三角形 3.给出下列图形，其中具有稳定性的是( (1)如果底边长是腰长的一半，求各边的长 (2)能围成有一边的长为9cm的等腰三 角形吗？如果能，请求出它另外两边的 长；如果不能，请说明理由 第3题图 A.① B.③ C.②③D.②③④ 4.下列事例应用了三角形的稳定性的有( ①人们通常会在栅栏门上斜着钉上一根木 条；②新植的树木，常用一些粗木与之成角 度来支撑该树木；③四边形模具， A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 5.如图，九江大桥是一座斜拉式大桥，斜拉式 大桥多采用三角形结构，使其不易变形.这 种做法的依据是 数学八年级R刷版 ……念O2提能力念 12.（2024-2025高安月考)设a,b,c是 △ABC的三边长.化简：|a十b十c|+|a 8.在△ABC中，AB=3,AC=2,BC=6-a. -b-c|+|a+c-b. 下列数轴中，表示a的取值范围正确的是 1012346→1012346→ A B 10123456→01234 C D O3拓思维… 9.手工课上，小明用螺栓将两端打有孔的5根 13.(教材变式)已知P是△ABC内任意一点. 长度相等的木条首尾连接制作了一个五角 (1)如图①，求证：AB十AC>PB十PC. 星（如图）.他发现五角垦的形状不稳定，稍 (2)如图②，连接PA,比较PA+PB+PC 微一动五角星就变形了，于是他想在木条交 叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变 与号CAB+BC+AC)的大小关系，并说明 形.他至少需要添加的螺栓个数为() 理由 第9题图 图② A.1 B.2 C.3 D.4 10.用长度相等的50根火柴棍，首尾相接摆放 成一个三角形，使最长边的长度是最短边 长度的3倍，则最长边用了 根 火柴棍 11.(2025赣州于都期末)已知三条线段的长分 别是3,7，m,若它们能构成三角形，求整数 m的最大值. 上册第十三章参考 第十三章三角形 13.1三角形的概念 1.B2.823.D4.A5.C6.C 7.解：6对.“共角三角形”有△ABC与△EBC,△ABC与 △EBD,△EBD与△EBC,△ABD与△ABC,△EBC与 △ABD,△EBD与△ABD. 13.2与三角形有关的线段 132.1三角形的边 1.B 2,解：：8-2<x<8十2，即6<x<10,且x为正整数，则x可取的 值为7,8,9，这样的三角形有3个. 3.C4.B5.三角形的稳定性6.稳定性 7.解：(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm. ,三角形的周长为36cm, ∴.x十2x十2x■36，解得x=7.2,.2x=14.4 故各边的长分别为7.2cm,14.4cm,14.4cm (2)能围成有一边的长为9cm的等腰三角形. 当腰长为9cm时，三角形的三边长分别为9cm,9cm, 18cm,9十9=18，不符合三角形的三边关系，.不能围成 三角形： 当底边长为9cm时，三角形的三边长分别为9cm 13.5cm,13.5cm. ,9+13.5>13.5,符合三角形的三边关系，∴.能围成三 角形， 综上所述，它另外两边的长分别为13.5cm,13.5cm. 8.A9.A10.24 11.解：由三角形的三边关系可知，7一3<m<7十3，即4<m <10, 因此整数m的最大值是9， 12.解：，a,b,c是△ABC的三边长， .a十b十c>0,a<b十e,a+c>b, .a-b-c<0,a十c-b>0, la+b+el+la-8-c1+la+c-b1=(a+8+c)-(a -b-c)十(a十c-b)=a十b+c-a+b+c十a+c-b=a 十b+3c 13.解：(1)证明：如图，延长BP,交AC于点D 在△ABD中，AB十AD>PB十PD. 在△PCD中，PD+DC>PC,.AB+ADH PD+DC>PB+PD+PC, 即AB+AC>PB十PC. (②PA+PB+PC>号AB+BC+AC 理由：在△ABP中，PA十BP>AB 同理可得，BP+PC>BC,PA十PC>AC 以上三式左，右两边分别相加，得2(PA十PB十PC)>AB 十BC十AC, PA+PB+PC>(AB+BC+AC). 13.2,2三角形的中线、角平分线、高 1.B293D4305B6A7.8孩168C95 10.5 11.解：(1)由题意知，AF是△ABE的角平分线，AD是△ABC 的角平分线，BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线. (2),'△ADE的而积为3，E是AC的中点， .S△Ae=2S6Abg=2X3=6. 答案 BD=2CD,S△c=3S△Ax=3X6=18 12.解：(1)4 ③由题意：得点P运动至点A所需时间为营点P后动 至点B所需时间为8+10=6(，AP=(3一8em 3 ①当点P在边AC上，即0<<号时，CP=em, 则Sas-CP·BC. 即18-号×3·6，解得4-21 ②当点P在边AB上，即号<1<6时，BP=AB一AP与 (18-3r)cm. 如图，过点C作CD⊥AB于点D,则S△ =AC·BC=AB·CD, 即号×8X6=号×10：CD,每得CD 24 Sac=2CD·BP, 综上，当1-2或号时，△BCP的面积为18em 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 1.A2.45 ∠A+∠B=∠C 3.解：(1)根据题意，得∠A=∠B, ∠A+∠B+∠C=180, ∠A=45, 解得∠B=45, ∠C=90°. (2)等腰直角 4.90°5.A6.B7.100°8.90或60°9.C10.65 11.证明：，AB/CD,∴.∠BEF十∠DFE=180° :∠BEF与∠DFE的平分线相交于点P, ∠PEF-吉∠BEF,∠PFE-号∠DFE, ∠PEF+∠PFE-专（∠BEF+∠DFE)-专X18O =90, “△EPF为直角三角形， 12.解：(1)10 （②∠DEF=∠C-∠B.理由知下： :∠BAC=180°-∠B-∠C,∠1=∠2 ∴∠2=号a0-∠B-∠c, ∴∠AD0=10-∠C-∠2=0-2∠C+号∠B, 上册参考咨案 169