第13章 全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（华师大版2024）

数 学 八年级上册 HS 第13章 勾股定理 全章综合训练 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 中考 考点1 勾股定理及其应用 1. 传统文化［2024四川巴中中考］“今有方池一丈，葭生其中 央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数 学史上的“葭生池中”问题.即，，，则 ( ) C A.8 B.10 C.12 D.13 【解析】设，则.在 中，由勾股定理得， ，即，解得，即 ，故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 2.［2024四川眉山中考］如图，图（1）是北京国际数学家大会的会标，它取材于 我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图（1）中 大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图（2）， 则图（2）中大正方形的面积为( ) D A.24 B.36 C.40 D.44 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【解析】设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为 题图（1） 中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4， ， ，， 题图（2）中大正方形的面积为 .故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 3.［2023辽宁抚顺中考］如图，在 中， ，点为的中点，过点作交 的 延长线于点，若，，则 的长为__. 【解析】， 点为的中点， .又 ，， 中， ，，， . 故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 4.［2024西藏中考］如图，在中， ，以点 为圆心，适当长为 半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于 的长为 半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点.已知 ， ，则 的长为_____. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【解析】如图，过作于 . 由作图得，平分， ，.在 中， 根据勾股定理得，， ， ，.设，则 .在 中，根据勾股定理得，即 ，解 得，.在 中,根据勾股定理得 .故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 5.［2024陕西中考］如图，在中，，是边 上一点， 连结，在的右侧作，且，连结.若 ， ，则四边形 的面积为____. 60 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【解析】， ， ，，平分.如图，过点 作 于点 ， 于点，则, ，且 ，， 四边形 的面积为 ，.设 ，则 .由勾股定理，得 ， ，解得， ， ， 四边形 的面积为60.故答案为60. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 6.［2024江苏常州中考］如图，在 中， ，，，是边的中点，是边 上一点，连结，.将沿翻折，点落在 上的点 处，则 __. 【解析】，是边的中点， ， 将沿翻折，点落在上的点 处， ，, ，, . 设，则,.在 中，由勾股定理，得 ，解得,.故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 先由勾股定理求出的长，再由翻折的性质得到， , .设，在中，利用勾股定理列出关于 的方程，求解 即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 考点2 勾股定理的逆定理及其应用 7.［2023山东济宁中考］如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个 单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点 ， 若 ，则 等于( ) C A. B. C. D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【解析】如图，过点作，连结 ， ， ， ，， 是直角三角形， ， .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 关键点拨 过点作，连结.由平行线的性质及勾股定理的逆定理得到 , 是解题关键. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 章测 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.［2025四川内江期中］若的三边分别是，， ，则下列条件能判定 是直角三角形的是( ) D A. B. C.，， D.，， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】A选项，，且 ， ， ，不是直角三角形，故不符合题意 选 项，， ， 不是直角三角 形，故不符合题意选项，，，，， 不 是直角三角形，故不符合题意选项，， ， ，，即 ， 是直角三角形，故符合题意.故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.［2025江苏盐城调研］如果正整数，，满足，那么正整数， ， 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律， 可知 的值为( ) 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 ... ... ... 65 C A.47 B.62 C.79 D.98 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】观察题表可得，，，； ， ,，，，； ， ，，（且为正整数）， 当 时，,，，， .故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （第3题图） 3.［2025四川绵阳期末］如图，在中， , ,，是上一动点，则 的长度不可能为 ( ) D A.5 B.12 C.13 D.15 【解析】 在中， ,, ， 是上一动点， ， 的长度不可能为15.故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （第4题图） 4.［2025吉林长春期中］民生大院入口的正上方 处装有感应器 （如图所示），感应器到地面的距离 米，当人体进入感应 范围内时，灯自动点亮.当身高为1.8米的市民 正对门缓慢走到离 门0.8米的地方时（即米），他的头顶到感应器的距离 等于( ) A A.1 米 B.1.2 米 C.1.25 米 D.1.5 米 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】如图，过点作于点 米，米， 米， （米）.在 中，由勾股定理得， （米）.故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.［2025浙江嘉兴质检］如图，在中， ，按下列步骤作图： （第5题图） ①分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于 点，，作直线交于点；②连接，以为圆心， 长为半径画弧交于点.若，，则线段 的长为 ( ) B A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】连结,过点作于点 ，如图所示. 由作图知是线段的垂直平分线， ， ， ， ，，， ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ， . ， .由作图知 ， .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （第6题图） 6.［2025浙江舟山期末］如图，在和 中， ，点是边的中点，若 ， ，连结，则 的值为( ) D A.14 B.15 C.16 D.17 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】延长到，使得，连结， ，如图所示. ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， 点为 的中点，，， .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、填空题（每小题5分，共15分） 7.一艘船由港沿北偏东 方向航行至港，然后再沿北偏西 方向航 行至港，则，两港之间的距离为____ ． 50 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】如图， 根据题意得， ， ， ， .， ， ， 在 中， ，即， 两港之间的距离为 ．故答案为50. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,连结，，则 ____度. 45 （第8题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】如图， 由勾股定理，得，， ， 则， 为等腰直 角三角形， ， .易证 ,， ,故答案为45. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 关键点拨 根据勾股定理求出各边长的平方，得到 是等腰直角三角形是解题关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.［难］如图，长方形中，，，点是边上一点，连结 ， 把沿折叠，使点落在点处.当为直角三角形时， 的长为______. 或3 （第9题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】当 为直角三角形时，有以下两种情况： ①当 时，如图（1）所示，连结.在中，， ， 所以，则.因为沿折叠，使点落在点 处，所以 .又因为 ，所以点，，共线，即沿 折 叠，使点落在对角线上的点处，则， ，所以 .设，则.在 中，因为 ，所以，解得，即 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②当点落在边上时，如图(2)所示.此时四边形为正方形， =90°， 所以.综上所述，的长为或3.故答案为 或3. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、解答题（共55分） 10.如图，在中，是边的中点，是边的中点，连结， . （1）若，，，求证： ； 【证明】是边的中点，是边的中点，， ， ， ， ， ， ，是直角三角形， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）若 ，，，求 的面积. 【解】是边的中点，，.在 中， ，，， 由勾股定理得 是边的中点， ， 的面积为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.［2025河南洛阳期末］如图，在中， . （1）若为的中点，求证： . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【证明】如图（1）所示， 图（1） ，是中点，，.在 中， ，.又， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）若为 上的任意一点，（1）中的结论是否还成立？请说明理由. 【解】成立．理由：如图（2）所示， 图（2） 作于，，.在 中， ，在中， ， .又 ， ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3）若为延长线上一点，请直接写出，，， 之间的数量关系． 【解】 ．如图（3）， 图（3） 作于，，.在 中， ，在中， ， .又 ， ， ， ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 关键点拨 （1）结合等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理即可得出结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.［2025河北唐山期中］综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们执着于对它 的证明，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （1）把两个全等的直角三角形如图（1）放置，其三边长分别为，， ， ，显然.用含，，的式子分别表示出梯形 、 四边形、 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定 理.上述图形的面积满足的关系式为 _______________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 【解】依题意得 ， ， ， ，， 四边形 为直角梯形， ， ， ， ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _____________________________ （用含,, 的式子表示），经化简，可得到勾 股定理 . ， ， ， ， ，整理，得 .故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）如图（2），铁路（铁路看成线段）上，两点相距40千米，， 为两个村 庄，，，垂足分别为，，千米， 千米，则两 个村庄的距离为 ________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 如图（1），连结，过点作于点， 易知 千米，千米， （千米），（千米）， 两个村庄的 距离为千米.故答案为 . _________________________________千米. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，作出点 并 求出 的长. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解】由题意可知，点在的垂直平分线上，如图（2），连结，作 的垂 直平分线交于点，则点即为所求.设 千米，则 千米.在 中，根据勾股定理可得 ，在 中，根据勾股定理可得 ， ， 解得，即 千米. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最 小值 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解】如图（3），构造几何图形，使,,, , ，，在的同侧，点是上一点， ,则 .作点关于的对称点，连结 ，过点 作交延长线于点，则的长就是代数式 的最小值.易知，， 代数式 的最小值为 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.如图，中，于，且，且 . 动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点 出发 以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点 运动的时间为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （1）当的边与平行时，求 的值； 【解】， 设，, ,则 .， ， ，，，，, 由勾股定理得 ,，.当 时， ，， ， ,,，.当 时， 同理可得，.综上所述，当的边与平行时， 的 值为5或6． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）在点的运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出 的值；若 不能，请说明理由. 【解】能成为等腰三角形.分三种情况：当时， .当 时，， ， ，， ， ， . 当时，过作于点，则 ， ， ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ， ， ，.综上所述，的值为5或6或时， 是等腰三 角形． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 思路分析 （1）由的面积求出，，，.当时， ；当 时，.分别求 值即可； （2）分三种情况：当时，；当时， ， 证明，则，得，则 ；当 时，过作于点，则，由 的面 积求出，再由勾股定理得，则 ，即可得 出结论． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$