专题05 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题（专项训练）数学人教版五四制九年级上册

专题05 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1 题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 7 题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，结合图形范围验根防漏解。 3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 1．如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．    (1)求的长． (2)求的面积． (3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理（PA²+PB²=AB²等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结合x范围验根。 3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证直角合理性。 4．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 6．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验证交点合理性。 7．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)当时，求y的取值范围； (2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 9．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 4．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)的面积； (3)点在抛物线上，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 5．如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求线段的长； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； (3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 7．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点． (1)求抛物线解析式； (2)当点运动到什么位置时，的长最大．求出点坐标 (3)是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 9．如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求拋物线的表达式． (2)点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值． (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1 题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 7 题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，结合图形范围验根防漏解。 3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 1．如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或． 【分析】本题考查用待定系数法解抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点、求直线的解析式、直线与抛物线的交点、等腰三角形的性质、二元一次方程组的解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）将点A，B代入抛物线解析式中，转化为解二元一次方程组，解方程组，即可解答； （2）求出点C的坐标，可判断出是等腰直角三角形．由是以为底边的等腰三角形，可知，连接，即平分．      过点P作轴于点D，轴于点E，则． 设点P的坐标为，则，求出m值，即可解答． 【详解】（1）解：将代入， 得                              解得 该抛物线的函数表达式为． （2）当时，，则点C的坐标为， 是等腰直角三角形．                         由是以为底边的等腰三角形，可知，连接， 点P，O在线段的垂直平分线上，则，即平分．      过点P作轴于点D，轴于点E，则． 设点P的坐标为，则， ，                                解得， 点P的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2； （3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线为，将代入得：，解得， 直线为， ，，D是中点， ， 过点P作轴交于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，设， ∴，，， 若是等腰三角形，分三种情况： 当时，， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，， 则，解得，此时； 当时，， 则，解得或， 此时或， 综上，满足条件的点P的坐标为或或． 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．    (1)求的长． (2)求的面积． (3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)7 (3)或或或或 【分析】（1）先求出点A和点E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即可得到答案； （2）先求出点C坐标，再求出直线解析式，进而求出点D的坐标，最后根据三角形面积计算公式求解即可； （3）分三种情况，根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解；， ∴， 点坐标为点坐标为． 将点分别代入中得 解得 抛物线解析式为． 在中，当时，则， 解得， 点坐标为， ∴． （2）解；设直线的解析式为， ∴，， ． 把点代入，得解得 直线的解析式为． 联立 解得 ； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴． 设， ①当时，， 解得， ； ②当时，， 解得 或； ③当时，， 解得 或． 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理（PA²+PB²=AB²等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结合x范围验根。 3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证直角合理性。 4．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，，， 【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可； （2）分三种情形：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，再利用勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：存在．理由如下： 由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线， ∵， 当时，， ∴， ∴设点． 由点，，的坐标，得 ，， ． 当为斜边时，， 整理得：， 解得或， ∴点或； 当为斜边时，， 解得， ∴点； 当为斜边时，， 解得， ∴点． 综上所述，点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题． 5．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 6．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 【答案】(1) (2)存在满足条件的点，其坐标为或 (3)点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为 【分析】（1）由的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标； （3）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标． 【详解】（1）解：在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为； （2）， 抛物线对称轴为直线， 当时，， ，且， ， 点在对称轴上， 可设， ，， 当时，， 解得，此时点坐标为； 当时， 解得（与重合，舍去）或，此时点坐标为； 综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或； （3）当时，即，解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得，解得， 直线解析式为， 点M是线段上的一个动点， 可设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时， ，即M为的中点， 点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用M点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验证交点合理性。 7．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)当时，求y的取值范围； (2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围； （2）分别过、作直线的垂线，垂直为、，根据为等腰直角三角形，可得，得到，，得根据，即得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、B两点，且对称轴为， ． ∵抛物线与x轴交于两点， ． ．． ． ∴当时，． ∵当时，， 当时，． 故的取值范围为； （2）证明：分别过、作直线的垂线，垂直为、． 则． ． 又为等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． ，， ，． ． ∵，， ∴． ． ． 为定值． 9．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解的函数表达式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）根据题意设代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设 代入，得 解得： ∴抛物线解的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴； （3）解：由②知，，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴， 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标． 【答案】(1)； (2)Q点坐标为或或或． 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，利用两点之间的距离公式可得，，的值，再分、和三种情况，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入二次函数得：， 解得， 则这个二次函数的表达式为； （2）解：设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 当时，， 所以此时点的坐标为； ②当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或， 当时，，即， 当时，，即； ③当时，为等腰三角形， 则，即， 解得， 此时， 所以此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的综合问题、等腰三角形的定义、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）把点， 点代入即可求解； （2）分当时和当时两种情况分析即可； 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）存在，理由： 令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，，解得， ∴，直线的解析式为， 设点E的坐标为，则，， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，即解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 3．如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式、全面分类是解题的关键； （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，然后设点，则，，利用两点间的距离公式表示出，再分三种情况：当、、时，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线，得， ∴， 把代入抛物线的解析式可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴， 设点，则，， ∴，，， 若为直角三角形， 则当时，， ∴，即 解得：或（舍去）； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴，即 解得：； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上，存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或． 4．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)的面积； (3)点在抛物线上，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图象性质，割补法求三角形面积，等腰三角形的判定等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． （1）把，代入运算求解即可； （2）利用割补法运算求解即可； （3）根据等腰三角形的性质推出，列方程运算求解即可． 【详解】（1）解：把，代入可得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标； （2）解：过点作，交轴于点，，垂足为如图所示： ∵， ∴， 把代入可得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴，，，，，， ∴； （3）解：令且满足，，， ∵是以底的等腰三角形， ∴，即， 化简得：， 由， 解得：或， ∴点的坐标为或． 5．如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)存在，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位 【分析】（）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而把解析式转化为顶点式可求出顶点的坐标； （）设平移后解析式为，过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形，过点作轴于点，可证，可得，，得到点坐标为，进而把点坐标代入可得，即可得将抛物线向上平移个单位；同理可得点坐标为，进而可得将抛物线向下平移个单位，即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 将点代入得，， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：存在，理由如下： ∵将抛物线上下平移， ∴，抛物线对称轴， ∴设平移后解析式为， 过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形， 过点作轴于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 把代入得，， 解得， ∴将抛物线向上平移个单位； 同理可得点坐标为， 把代入得，， 解得， ∴将抛物线向下平移个单位； 综上，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位，平移后的抛物线上存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求线段的长； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； (3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)线段的最大值为 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）先求解的坐标，再进一步可得答案； （2）如图，求解，设，，求解直线的解析式为．可得，可得，再进一步求解即可； （3）分情况讨论：①当点与点重合时，满足为等腰三角形，②当时，过点作于点，如图，③当时，过点作于点，如图，过点作于点，如图，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：在中， 令得， 或， ，， ； （2）解：如图，当时，， ∴，   点是直线下方的抛物线上一动点， 设，， 设直线的解析式为， ，， 直线的解析式为． 过点作轴的平行线交直线于点， ， ， ， 当时，有最大值为． 线段的最大值为． （3）解：①， ， ， 当点与点重合时，满足为等腰三角形， ； ②当时，过点作于点，如图， ，， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ， ． ；    ③当时，过点作于点，如图，   ， ，． ， ， ， ； 当时，过点作于点，如图，   ， ． ∴， ， ， ， ∴． 综上，在直线找一点，使得为等腰三角形，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解二次函数的与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线，切线的分类讨论是解本题的关键． 7．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点． (1)求抛物线解析式； (2)当点运动到什么位置时，的长最大．求出点坐标 (3)是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的长最大，点的坐标为 (3)存在，点坐标为或时，使为等腰直角三角形 【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点的坐标，然后求出点的坐标，再列出的长度的表达式，确定取最大值时求出点的坐标即可； （3）先设出点的坐标，然后表示出的长度，再根据抛物线的对称性表示出的长度，列出关于点的横坐标的方程，求出点的横坐标，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，， ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：时，， ， 直线解析式为， 点在线段上方抛物线上， 设， ， ， ， 当时，的长最大， 此时，点的坐标为； （3）解：存在点使为等腰直角三角形， 设，则， ， 抛物线， 对称轴为直线， 轴交抛物线于点， 、关于对称轴对称， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ①当时，， ， 解得：（舍去），， ， ②当时，， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，点坐标为或时，使为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的各种性质并用含字母的式子表示出线段的长度是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，分①；②；③三种情况讨论，利用直角三角形的性质列出方程，解出的值，得到点的坐标，代入抛物线即可求出的值； （3）联立抛物线和直线的解析式，得到，再联立抛物线和直线的解析式，同理可得，得出，再利用即可求解． 【详解】（1）解：代入和到抛物线得，， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得，， 抛物线， 令，则， ， 又， ， 第一象限点在抛物线上， 设， ①若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：（舍去）； ②若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； ③若，取的中点为，则， ， ， 解得：或（舍去）或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； 综上所述，的值为2或． （3）解：联立， 消去整理得：， 直线与抛物线交于点、， ， 联立， 消去整理得：， 同理可得，， ， 四边形的面积 ， 四边形的面积与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 9．如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9.5 (3)存在， 【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式； （2）过点C作轴，垂足为点K，首先证明，从而可得到，，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据扫过区域的面积为，求解即可； （3）当时，过点P作轴，垂足为G，先证明，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当，过点P作轴，垂足为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点C作轴，垂足为K． 为等腰直角三角形， ． 又， ． 又， ． 在和中， ， ， ，． ，． ∴当点B平移到点D时，设， 则，解得（舍去）或． 由题意可得扫过区域的面积为平行四边形和的面积和， 即； （3）解：存在； 当时，过点P作轴，垂足为G． 为等腰直角三角形， ，． ． 又， ． 在和中， ， ， ，， ∴． 当时，， ∴点不在抛物线上． 当，过点P作轴，垂足为F． 同理可知：， ，， ． 当时，， ∴点在抛物线上， 综上，所有符合条件的点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 10．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求拋物线的表达式． (2)点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值． (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】对于（1），将点代入关系式得出答案； 对于（2），过点P作轴，垂足为M，交于点D，再设点P的横坐标为m，可得，求出，根据二次函数的最值可得答案； 对于（3），分两种情况讨论，即当和时两种情况，结合等腰直角三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点， 得， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：当时，， ∴点．　 设直线的关系为 ∵点，， ∴ 解得， ∴． 过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则，则， ∴， ． ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，的最大值为； （3）解：． 如图，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴对称， ∴点； 如图所示，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴，， ∴． 设，则点， ∴， 解得（舍去），， ∴点． 故答案为：点或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数的最值，等腰直角三角形的判定，二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$