专题06 二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题（专项训练）数学人教版五四制九年级上册

专题06 二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 1 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题 5 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 11 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标是或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 2．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线； (2)直线的函数关系式为； (3)线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据题意，分别将、与抛物线的解析式联立，即可得点、点的坐标，将系数代入即可得抛物线的对称轴； （2）设直线的函数关系式为，代入点、点的坐标可得和，即可得直线的函数关系式； （3）根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为，代入对应的解析式，可得纵坐标，根据位置关系即可求得线段长度，由平行四边形的判定定理，，即可得的值． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，由，得，， 结合题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 答：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线． （2）解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴， 答：直线的函数关系式为． （3）解：根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，直线与坐标轴的交点，二次函数的图象及其性质，用待定系数法求一次函数的解析式，用坐标表示线段长度，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平行四边形的判定． 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，对称轴为，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则________ (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)90 (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得A的坐标，根据对称性求得B的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得C的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点F，则，进而求得关于x的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得m的值，进而求得Q点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、B，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将A，B代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：90； （3）解：设直线的解析式为， 将点B，点C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点F， 则， ∴， ∴ 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形得对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点Q的横坐标为， 综上，点Q的横坐标为4或2或． 4．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 5．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D ①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值． ②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；  ②存在；或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，两点间距离公式，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线表达式为，设，则，，由得到，再转化为二次函数求最值； ②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得：， ∴； （2）解：①当， ∴ 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴设直线表达式为， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积最大值为， ∴此时； ②存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形， 此时，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 7．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∴与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 2．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ (3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)或或 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）分为边，和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 代入，得： ， 解得：； ∴此函数的解析式为； （2）解：存在．的面积最大为， 如图1，过点作轴于点，交于点， 设的解析式为，将代入，得：， ∴直线解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ∴， ∴当时，此时，的面积最大为； （3）如图2，抛物线对称轴为， ①以为边，则，且． 设，则， ，解得， 当时，；当时，； 故或； ②以为对角线，则与互相平分， 设 的中点 ． 把代入，得． ， 综上所述，或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将代入，再建立方程组求解即可； （2）先直线的函数解析式为．如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．的面积．当取得最大值时，的面积最大．设点的坐标为，则点的坐标为，再进一步建立二次函数求解即可； （3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：令，则， 点． 设直线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接． 的面积． 当取得最大值时，的面积最大． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，取得最大值，的面积最大， 此时点的坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 如图2，设对称轴与轴交于点． ， ， ． ①当为对角线时，， ， 点的坐标为，点的坐标为． 根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， 点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． 同理得到点； ②当为对角线时， 如图3，过点作垂直于对称轴于点， 则， ， 点的坐标为，点的坐标为， 同理，点，点； ③如图4，当为对角线时， 设点的坐标为， ，即，解得， 点的坐标为， 同理，点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．已知，如图1，为平面直角坐标系的原点，过定点的直线与抛物线交于点（点在点左侧）． (1)若，则求直线的解析式； (2)若，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明原因； (3)如图2，分别过点作与抛物线均有唯一公共点的直线，直线的交点为，若，求的值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3)4或5 【分析】（1）将代入，求出k即可； （2）先求出定点，联立抛物线和直线，得到，则，由得到，则，那么直线，，，，则，再按照对角线分三种情况，结合平行四边形的性质求解； （3）设，联立直线与抛物线得到一元二次方程，则，设直线，与抛物线联立得到，由点作与抛物线均有唯一公共点，则，，那么直线，同理可得直线，联立两直线求得，则，由，结合两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：存在，理由如下： 由题意得将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：由得， ∵直线过定点， ∴， 解得：， ∴， 联立得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴直线， ∴，，， ∴， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ①为对角线时， ， ∴， ∴； ②为对角线时， 则， ∴，直线 ∴，， ∴； ③为对角线时， 则， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或； （3）解：设， 联立得：， ∴， ∴， 设直线， 联立， 整理得：， ∵点作与抛物线均有唯一公共点， ∴，， ∴直线， 同理可得直线， ∴联立得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，两点间距离公式等知识点，难度大，计算复杂． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点M的坐标有或或 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． （2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． （3）解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)存在这样的点，此时点的坐标为 (3)当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32 【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题， （1）根据题意可知点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴的负半轴交于点，且， ． 把，，代入中， 得解得 该抛物线的函数表达式为． （2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图， 四边形为菱形，， ，且， ，即点的纵坐标为． 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在这样的点，此时点的坐标为． （3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图， 设点的坐标为． ，，， ，，，， ， 当时，， 此时点的坐标为， 即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 8．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． （1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时， 解得： ∴ 设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线上方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）解：∵ 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线， ∴， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 9．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线； (2)，的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或．理由见解析 【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴计算公式进行求解即可； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以，则抛物线的对称轴为直线． （2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为， 设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为． （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形，则， 即，解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 10．综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）在中，分别令，，计算即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由题意得，则，求出，得到，计算即可得解； （3）设，且，则，分两种情况：当点在正方形的边上时，设边交轴于；当点在正方形的边上时；分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 令，则，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：，则， ∵轴， ∴点、关于抛物线的对称轴直线对称，即直线经过线段的中点， 如图， ， ∵交直线于点F，且， ∴当时，，即， ∴， 解得：， ∵点在第二象限， ∴， ∴； （3）解：设，且，则， ∵，， ∴，， 如图，当点在正方形的边上时，设边交轴于， ， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去），， ∴； 如图，当点在正方形的边上时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 1 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题 5 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 11 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，对称轴为，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则________ (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的横坐标． 4．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 5．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D ①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值． ②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 7．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ (3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知，如图1，为平面直角坐标系的原点，过定点的直线与抛物线交于点（点在点左侧）． (1)若，则求直线的解析式； (2)若，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明原因； (3)如图2，分别过点作与抛物线均有唯一公共点的直线，直线的交点为，若，求的值． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 8．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 9．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$