24.1.2 垂直于弦的直径-【木牍中考●名师教案】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

该初中数学教案聚焦垂径定理及其推论，以赵州石桥跨度与拱高问题情境导入，通过构造直角三角形的典例1和拱桥水位问题的典例2，搭建从现实问题到定理应用的学习支架，衔接圆的对称性与勾股定理知识。 亮点在于融合数学核心素养，用赵州石桥激发数学眼光观察现实，折叠圆形纸片培养几何直观与空间观念，典例2通过建立圆弧形模型解决水位问题，提升推理意识与运算能力，助学生理解定理应用价值，也为教师提供实用探究式教学案例。

24.1.2　垂直于弦的直径 ◇教学目标◇ 　　1.掌握垂径定理及其推论,理解其证明过程,并会应用它解决有关的证明与计算问题. 2.经历探索垂径定理及其推论的过程,进一步理解研究几何图形的各种方法. 3.通过学习,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动性. ◇教学重难点◇ 教学重点 垂径定理及其推论. 教学难点 垂径定理及其推论的理解及应用. ◇教学过程◇ 一、情境导入 你知道赵州石桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出桥拱的半径吗? 二、合作探究 探究点1　垂径定理 典例1　如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为 (　　) A. B.2 C.2 D.8 [解析]　如图,作OH⊥CD于点H,连接OC.∵OH⊥CD,∴HC=HD.∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=4,∴OP=OA-AP=2.在Rt△OPH中,∵∠OPH=30°,∴OH=OP=1,在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,∴CH=. ∴CD=2CH=2. [答案]　C (1)解决圆中有关弦的计算问题,常作弦的垂线段,连接半径,在图形中构建一个直角三角形,从而可以利用勾股定理及垂径定理,通过解直角三角形,使问题得以解决. (2)过☉O内一点P最短弦是与OP垂直的弦,最长弦是直径. 探究点2　垂径定理的应用 典例2　有一座石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位水面宽AB=60 m,水面到拱顶距离CD=18 m,当洪水泛滥,水面宽MN=32 m时是否需要采取紧急措施?请说明理由(当水面距拱顶3 m以内时需采取紧急措施). [解析]　设所在圆的圆心为O,连接OA,设OA=R. 在Rt△AOC中,AC=30,OC=R-18,所以R2=302+(R-18)2,解得R=34. 连接OM,设DE=x, 在Rt△MOE中,ME=16,OE=34-x, 所以342=162+(34-x)2,解得x1=4,x2=64(不合题意,舍去),所以DE=4. 因为DE>3,所以不需采取紧急措施. 三、板书设计 垂直于弦的直径 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 2.垂径定理的应用 构造以圆的半径、弦心距、弦长的一半为边的直角三角形,解直角三角形即可,必要时可利用勾股定理列方程求解. ◇教学反思◇ 　　本节课主要学习垂径定理及其推论.垂径定理涉及的条件和结论比较多,学生容易混淆.在教学中采用了讲练结合动手操作的方法,课前布置学生制作圆形纸片,通过折叠圆形纸片的过程,让学生大胆猜想,得出结论,同时也考察了圆的对称性,并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理,这样让学生参与了知识的形成过程,激发了学生的学习兴趣.通过典例2桥的问题让学生进一步领悟学习数学的应用价值. 1 立足安徽 精准备考 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$