21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【木牍中考●名师教案】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

该初中数学教案聚焦一元二次方程根与系数的关系，课堂导入通过填写不同方程的根、根之和、根之积表格，引导学生观察规律，搭建从具体计算到抽象归纳的学习支架，衔接方程求解与规律探究。 该教案以“观察—归纳—验证—应用”为主线，培养数学眼光中的抽象能力（从特殊方程发现规律）、数学思维中的推理意识（推导一般关系）和数学语言中的模型意识（解决参数及代数式求值问题）。典例结合判别式的变式训练强化综合应用，小组合作提升探究兴趣，为教师提供结构化教学案例，助力高效课堂实施。

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 ◇教学目标◇ 　　1.了解一元二次方程根与系数的关系. 2.能应用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题. 3.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程,培养学生观察思考、归纳概括的能力. 4.通过小组合作探究,发现一元二次方程根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神. ◇教学重难点◇ 教学重点 一元二次方程根与系数的关系. 教学难点 用根的判别式及根与系数的关系解题. ◇教学过程◇ 一、情景导入 先填空,再找规律. 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2+2x+1=0 x2-x=0 2x2-3x+1=0 5x+2x-3=0 思考:观察表中的x1+x2与x1x2的值,它们与前面的一元二次方程各项系数之间有什么关系?从中你发现什么规律? 二、合作探究 探究点1　一元二次方程根与系数的关系 典例1　一元二次方程3x2-1=2x+5两个实数根的和与积分别是 (　　) A.,-2 B.,-2 C.-,2 D.-,2 [解析]　先把3x2-1=2x+5化为一元二次方程的一般形式3x2-2x-6=0,再根据一元二次方程根与系数的关系就可得出x1+x2=,x1x2==-2. [答案]　B 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=. 探究点2　根与系数的关系的应用 典例2　已知5是方程x2+mx-5=0的一个根,求m的值及方程的另一根. [解析]　解法1:设方程的另一个根为x1,则有5+x1=-m,5·x1=-5,得x1=-1,m=-4,所以方程的另一个根为-1,m的值为-4. 解法2:由题意得52+5·m-5=0,解得m=-4. 当m=-4时,方程为x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5, 所以方程的另一个根为-1,m的值为-4. 典例3　已知x1,x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么的值为　　　　.  [解析]　由题意,得x1+x2=-7,x1x2=-8. =-=-. [答案]　- 一元二次方程根与系数的关系,常用的拓展公式有: =(x1+x2)2-2x1x2;x2+x2=x1x2·(x1+x2). 变式训练　若x1,x2是关于x的方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,求m的值. [解析]　因为x1,x2是关于x的方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根, 所以x1+x2=2m,x1·x2=m2-m-1. 因为x1+x2=1-x1x2, 所以2m=1-(m2-m-1), 即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0, 解得m1=-2,m2=1. 因为方程x2-2mx+m2-m-1=0有实数根, 所以Δ=(-2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0, 解得m≥-1,所以m=1. 三、板书设计 一元二次方程的根与系数的关系 1.利用求根公式推导根与系数的关系:由ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1=,x2=得x1+x2=-,x1x2=. 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求方程中未知数的值. ◇教学反思◇ 　　本节主要探究一元二次方程根与系数的关系.在教学中主要通过填表的形式,让学生先发现规律,通过一些特殊的方程归纳出一般一元二次方程中根与系数的关系,再从理论上加以验证,经历从特殊到一般的科学探究过程. 1 立足安徽 精准备考 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$