6.1 平均数与方差 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第六章 数据的分析 1. 平均数与方差 知识点预习 1. 平均数 算术平均数定义：一组数据的总和除以数据的个数。 公式：​​，其中  是数据值，n是数据个数。 意义：反映数据的集中趋势，是数据集中位置的度量。 加权平均数：当每个数据的重要性不同（即有权重）时，根据权重求出的平均数。 公式：，其中 是权重，是数据值。 2. 方差 定义：衡量数据偏离平均数的程度，反映数据的离散程度（波动大小）。方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。 计算公式： 简化计算步骤： （1）求平均数 ； （2）计算每个数据与平均数的差； （3）求差的平方； （4）求平方的平均值。 3. 标准差（Standard Deviation） 定义：方差的算术平方根，即：​ 意义：与方差一致，但单位与原数据相同，更便于实际解释。 4. 核心应用 平均数的应用：比较不同群体的平均水平（如班级平均分、平均收入）。 局限性：易受极端值影响（如收入被富豪拉高）。 方差与标准差的应用：分析数据的稳定性（如运动员成绩波动小说明发挥稳定）。 在投资中衡量风险（方差大代表风险高）。 5. 总结： 平均数描述数据的“集中位置”； 方差/标准差描述数据的“离散程度”； 两者结合才能全面分析数据分布特征。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．小华某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，7，9，7，8，8，则小华本周每天的睡眠时间的平均数为（　　） A．7 B．8 C．8.5 D．9 【解答】解：根据平均数的定义可得：， 故选：B． 2．某校举办了“传诵经典”中学生演讲比赛，其中综合荣誉分占20%，现场演讲分占80%，小强参加并在这两项中分别取得80分和90分的成绩，则小强的最终成绩为（　　） A．86分 B．88分 C．90分 D．92分 【解答】解：80×20%+90×80%＝88（分）． ∴小明的最终成绩为88分． 故选：B． 3．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数 90 90 85 85 方差 42 45 42 45 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：由于甲的平均数较大且方差较小，故选甲． 故选：A． 4．某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（　　） A．平均数为81分 B．众数为85分 C．中位数为88分 D．方差为19.6 【解答】解：将数据重新排列76，82，85，85，86，88，90， A、平均数为分，此选项不符合题意； B、众数为85分，此选项符合题意； C、中位数为85分，此选项不符合题意； D、方差为，此选项不符合题意； 故选：B． 5．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【解答】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小， ∴； 故选：A． 6．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数/cm 175 180 180 175 方差 3.2 3.2 5.4 6.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：∵乙、丙成绩的平均数大于甲、丁， ∴从乙和丙中选择一人参加比赛， ∵乙的方差比丙小， ∴乙的成绩好且发挥稳定， ∴选择乙参赛； 故选：B． 7．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 186 182 186 182 方差 3.2 3.2 6.5 6.0 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：∵甲、丙成绩的平均数大于乙、丁， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵， ∴选择甲参赛； 故选：A． 8．甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期5次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是S甲2，S乙2，S丙2，S丁2，且S甲2＝2.1，S乙2＝3.5，S丙2＝5.6，S丁2＝0.9，则四位学生中这5次训练成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四位学生的平均成绩相同，且S甲2＝2.1，S乙2＝3.5，S丙2＝5.6，S丁2＝0.9， ∴丁的方差最小， ∴四人中这5次训练成绩最稳定的是丁， 故选：D． 9．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试10次，平均成绩均为9.2环，方差如表所示，则在这四个选手中，成绩最稳定的是（　　） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.25 0.66 0.34 0.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：∵0.25＜0.34＜0.5＜0.66， ∴甲的方差最小， ∴成绩最稳定的是甲， 故选：A． 10．甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位，个）如图所示，有下列四个结论：①乙的成绩的波动程度比甲的大；②乙的最好成绩比甲的最好成绩好；③甲、乙两人成绩的平均数相同；④甲、乙两人成绩的中位数不同，其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【解答】解：A．甲的方差为[（7﹣8）2+（8﹣8）2×3+（9﹣8）2]＝0.4，乙的方差为[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，所以乙的成绩比甲波动大，故选项A符合题意； B．乙的最高成绩是10分，甲的最高成绩是9分，故B选项符合题意； C．甲的平均成绩为＝（8+9+8+7+8）÷5＝8（个），乙的平均成绩为（6+7+10+8+9）÷5＝8（个），甲、乙两人的成绩的平均数相同，故选项C符合题意； D．甲的中位数是8，乙的中位数也是8，甲、乙的中位数相同，故选项D不符合题意． 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．某校5名同学课外一周的体育锻炼时间（单位：小时）分别为：6，8，9，11，11．这5个数的平均数是　9　 ． 【解答】解：根据平均数的定义列式计算可得， 故答案为：9． 12．若一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则数据2x1+2，2x2+2，2x3+2，2x4+2的平均数是 　12　 ． 【解答】解：由条件可知， ∴x1+x2+x3+x4＝20， ∴ ， 故答案为：12． 13．某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是　乙　 （填“甲”或“乙”）． 【解答】解：在折线统计图中，乙的波动情况比较小， 所以选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 14．若一组数据4，5，a，7，9的平均数为5，则这组数据的方差s2＝　9.2　 ． 【解答】解：由条件可知， 解得a＝0， 根据方差的计算方法可得： 故答案为：9.2． 15．有四名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数及方差如表所示： 序号 ① ② ③ ④ 平均数 9 8 9 9 方差 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择　④　 号运动员参赛．（填序号） 【解答】解：由表知①、③、④射击成绩的平均数相等，且大于②的平均数， ∴从①、③、④中选择一人参加竞赛， ∵④的方差较小， ∴④发挥最稳定， ∴选择④参加比赛． 故答案为：④． 16．某校准备从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟测试成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则　＜　 （填“＞”“＜”或“＝”） 【解答】解：甲的波动程度比乙小， ∴． 故答案为：＜． 三、解答题预习（46分） 17．为开展“暑假安全”教育活动，某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的权重进行评分，每一项满分10分．已知八（1）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为9分，7分，8分，求该班的最终得分． 【解答】解：根据加权平均数的计算公式可得： 9×40%+7×30%+8×30%＝8.1（分）， 答：该班的最终得分是8.1分． 18．某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下： 班级 1班 2班 3班 4班 参考人数 40 42 45 32 平均成绩 80 81 82 79 求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？（结果保留到个位） 【解答】解：初二年级在这次数学考试中的平均成绩′x81（分）． 答：初二年级在这次数学考试中的平均成绩为 81． 19．2025年6月5日是第54个世界环境日，我国的主题是“美丽中国我先行”，旨在深入学习宣传贯彻习近平生态文明思想，增强全社会生态环境保护意识，共建美好家园．为了庆祝第54个世界环境日，某校举办了环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”、“地球生物保护”、“人类环境保护”、“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小华的各项成绩（单位：分，百分制）： 项目 自然环境保护 地球生物保护 人类环境保护 生态环境保护 小亮 90 93 85 95 小华 80 92 100 92 如果将上述四个项目的成绩按2：1：4：3的比确定综合成绩，则小亮和小华谁的综合成绩高？请通过计算说明理由． 【解答】解：小华的综合成绩高．理由如下： 根据加权平均数的计算方法可得： 小亮成绩为：（分）， 小华成绩为：（分）， ∵92.8＞89.8， ∴小华的成绩高． 20．某中学要选拔一位学生参加全国科技创新大赛，对小明、小逸进行了笔试、面试和实践三个方面的测试，他们的各项成绩如下表所示．若规定笔试、面试和实践三项测试成绩按3：2：5的比例来确定总成绩，总成绩高的同学去参加竞赛，问学校应该选哪位同学去参加竞赛？ 姓名 笔试 面试 实践 小明 86 90 92 小逸 93 85 88 【解答】解：小明同学的总成绩（分）， 小逸同学的总成绩（分）， ∵89.8＞88.9 ∴应该选择小明同学去参加竞赛， 答：学校应该选择小明同学去参加竞赛． 21．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 　9　 环，乙的平均成绩是 　9　 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； （3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 【解答】解：（1）甲：（10+8+9+8+10+9）÷6＝9， 乙：（10+7+10+10+9+8）÷6＝9； 故答案为：9；9； （2）s2甲[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]（1+1+0+1+1+0）； s2乙[（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2]（1+4+1+1+0+1）； （3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适． 22．在某校射箭队的一次训练中，甲、乙两名运动员均射5箭，且他们这5箭的平均成绩（单位：环）相同．教练将甲的成绩绘制成了如图所示的统计图，将乙的成绩绘制成了如表所示的统计表．请解答下列问题． 次序 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 成绩（环） 8 10 8 6 a （1）甲5次射箭成绩的众数是　9　 环，中位数是　9　 环；a的值为　8　 ． （2）如果从中选择一个成绩稳定的运动员参加市级射箭比赛，你认为应选谁去？请说明理由． 【解答】解：（1）∵9环出现了两次，出现的次数最多，则甲运动员前5箭射击成绩的众数是9环； 把这些数从小到大排列为：5，7，9，9，10，最中间的数是9，则中位数是9环； ∵甲运动员的5次的总成绩是：5+7+9+9+10＝40（环），甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同， ∴a＝40﹣8﹣10﹣8﹣6＝8， 故答案为：9，9，8； （2）甲运动员的方差是：[（9﹣8）2+（5﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝3.2， 乙运动员的方差是：[（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2]＝1.6， ∵S甲2＝3.2＞S乙2＝1.6， ∴乙运动员的成绩比较稳定，应选乙运动员参加全市中学生比赛． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第六章 数据的分析 1. 平均数与方差 知识点预习 1. 平均数 算术平均数定义：一组数据的总和除以数据的个数。 公式：​​，其中  是数据值，n是数据个数。 意义：反映数据的集中趋势，是数据集中位置的度量。 加权平均数：当每个数据的重要性不同（即有权重）时，根据权重求出的平均数。 公式：，其中 是权重，是数据值。 2. 方差 定义：衡量数据偏离平均数的程度，反映数据的离散程度（波动大小）。方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。 计算公式： 简化计算步骤： （1）求平均数 ； （2）计算每个数据与平均数的差； （3）求差的平方； （4）求平方的平均值。 3. 标准差（Standard Deviation） 定义：方差的算术平方根，即：​ 意义：与方差一致，但单位与原数据相同，更便于实际解释。 4. 核心应用 平均数的应用：比较不同群体的平均水平（如班级平均分、平均收入）。 局限性：易受极端值影响（如收入被富豪拉高）。 方差与标准差的应用：分析数据的稳定性（如运动员成绩波动小说明发挥稳定）。 在投资中衡量风险（方差大代表风险高）。 5. 总结： 平均数描述数据的“集中位置”； 方差/标准差描述数据的“离散程度”； 两者结合才能全面分析数据分布特征。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．小华某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，7，9，7，8，8，则小华本周每天的睡眠时间的平均数为（　　） A．7 B．8 C．8.5 D．9 2．某校举办了“传诵经典”中学生演讲比赛，其中综合荣誉分占20%，现场演讲分占80%，小强参加并在这两项中分别取得80分和90分的成绩，则小强的最终成绩为（　　） A．86分 B．88分 C．90分 D．92分 3．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数 90 90 85 85 方差 42 45 42 45 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（　　） A．平均数为81分 B．众数为85分 C．中位数为88分 D．方差为19.6 5．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 6．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数/cm 175 180 180 175 方差 3.2 3.2 5.4 6.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 186 182 186 182 方差 3.2 3.2 6.5 6.0 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期5次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是S甲2，S乙2，S丙2，S丁2，且S甲2＝2.1，S乙2＝3.5，S丙2＝5.6，S丁2＝0.9，则四位学生中这5次训练成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试10次，平均成绩均为9.2环，方差如表所示，则在这四个选手中，成绩最稳定的是（　　） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.25 0.66 0.34 0.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位，个）如图所示，有下列四个结论：①乙的成绩的波动程度比甲的大；②乙的最好成绩比甲的最好成绩好；③甲、乙两人成绩的平均数相同；④甲、乙两人成绩的中位数不同，其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 二、填空题预习（24分） 11．某校5名同学课外一周的体育锻炼时间（单位：小时）分别为：6，8，9，11，11．这5个数的平均数是　 　 ． 12．若一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则数据2x1+2，2x2+2，2x3+2，2x4+2的平均数是 　 　 ． 13．某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是　 　 （填“甲”或“乙”）． 14．若一组数据4，5，a，7，9的平均数为5，则这组数据的方差s2＝　 　 ． 15．有四名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数及方差如表所示： 序号 ① ② ③ ④ 平均数 9 8 9 9 方差 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择　 　 号运动员参赛．（填序号） 16．某校准备从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟测试成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则　 　 （填“＞”“＜”或“＝”） 三、解答题预习（46分） 17．为开展“暑假安全”教育活动，某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的权重进行评分，每一项满分10分．已知八（1）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为9分，7分，8分，求该班的最终得分． 18．某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下： 班级 1班 2班 3班 4班 参考人数 40 42 45 32 平均成绩 80 81 82 79 求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？（结果保留到个位） 19．2025年6月5日是第54个世界环境日，我国的主题是“美丽中国我先行”，旨在深入学习宣传贯彻习近平生态文明思想，增强全社会生态环境保护意识，共建美好家园．为了庆祝第54个世界环境日，某校举办了环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”、“地球生物保护”、“人类环境保护”、“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小华的各项成绩（单位：分，百分制）： 项目 自然环境保护 地球生物保护 人类环境保护 生态环境保护 小亮 90 93 85 95 小华 80 92 100 92 如果将上述四个项目的成绩按2：1：4：3的比确定综合成绩，则小亮和小华谁的综合成绩高？请通过计算说明理由． 20．某中学要选拔一位学生参加全国科技创新大赛，对小明、小逸进行了笔试、面试和实践三个方面的测试，他们的各项成绩如下表所示．若规定笔试、面试和实践三项测试成绩按3：2：5的比例来确定总成绩，总成绩高的同学去参加竞赛，问学校应该选哪位同学去参加竞赛？ 姓名 笔试 面试 实践 小明 86 90 92 小逸 93 85 88 21．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 　 　 环，乙的平均成绩是 　 　 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； （3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 22．在某校射箭队的一次训练中，甲、乙两名运动员均射5箭，且他们这5箭的平均成绩（单位：环）相同．教练将甲的成绩绘制成了如图所示的统计图，将乙的成绩绘制成了如表所示的统计表．请解答下列问题． 次序 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 成绩（环） 8 10 8 6 a （1）甲5次射箭成绩的众数是　 　 环，中位数是　 　 环；a的值为　 　 ． （2）如果从中选择一个成绩稳定的运动员参加市级射箭比赛，你认为应选谁去？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$