第七单元 百分数的应用（讲义） -2025-2026学年六年级上册数学北师大版

本小学数学讲义聚焦“百分数的应用”核心知识点，通过思维导图系统梳理求一个数比另一个数多/少百分之几、求比一个数多/少百分之几的数、已知比一个数多/少百分之几的数求这个数及利息问题，形成从基础计算到实际应用的学习支架。 资料以公式推导、步骤分解、易错点提示构建结构化学习路径，结合储蓄利息等生活实例培养抽象能力与模型意识，培优练习分层设计，课中辅助教师引导学生用数学思维分析问题，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第七单元 百分数的应用 【思维导图+知识点梳理+培优练习】 思维导图 知识点梳理 知识点一：求一个数比另一个数多（或少）百分之几 1.这个问题是求一个数比另一个数多（或少）的部分，占另一个数（单位“1”的量）的百分之几。 2.基本公式： （1）求甲数比乙数多百分之几：(甲数 - 乙数) ÷ 乙数 × 100% （2）求甲数比乙数少百分之几：(乙数 - 甲数) ÷ 乙数 × 100% 3.步骤： （1）找准单位“1”： 通常情况下，“比”字后面的量就是单位“1”的量。 （2）求出两数的相差量： 用大数减去小数。 （3）用相差量除以单位“1”的量： 得到一个小数。 （4）将小数化成百分数： 小数点向右移动两位，加上百分号。 ①例如： 去年班级有40人，今年有45人，今年比去年增加了百分之几？ 单位“1”是去年人数（40人）。 相差量：45 - 40 = 5（人） 增加的百分比：5 ÷ 40 × 100% = 0.125 × 100% = 12.5% 易错点提示： （1）单位“1”找错： 这是最常见的错误！一定要记住，是“和谁比”，谁就是单位“1”，要用相差量除以谁。例如“今年比去年多”，单位“1”是“去年”。 （2）计算相差量时顺序颠倒： 求多百分之几，用（大-小）；求少百分之几，也是用（大-小），但除数始终是单位“1”的量。 （3）忘记乘100%： 结果要化成百分数，不要写成小数或分数。 （4）直接用两个数相除： 例如，直接用45÷40=1.125，然后以为是12.5%，这只是巧合，步骤不完整，容易出错。必须严格按照“相差量÷单位‘1’的量”。 知识点二：求比一个数多（或少）百分之几的数是多少 1.这个问题是已知一个数（单位“1”的量），求比它多（或少）百分之几的数是多少。 2.基本公式： （1）比单位“1”多百分之几：单位“1”的量 × (1 + 百分数) （2）比单位“1”少百分之几：单位“1”的量 × (1 - 百分数) 3步骤： （1）找准单位“1”的量： 这个量是已知的。 （2）判断是“多”还是“少”： 确定使用“1 + 百分数”还是“1 - 百分数”。 （3）用单位“1”的量乘以相应的百分率： 得到要求的量。 ①例如： 一件衣服原价200元，现在涨价10%出售，现价是多少元？ 单位“1”是原价（200元），涨价10%。 现价 = 200 × (1 + 10%) = 200 × 1.1 = 220（元） ②例如： 一件衣服原价200元，现在降价10%出售，现价是多少元？ 单位“1”是原价（200元），降价10%。 现价 = 200 × (1 - 10%) = 200 × 0.9 = 180（元） 易错点提示： （1）单位“1”的量判断错误： 确保单位“1”的量是已知的，并且是题目中作为基准的那个量。 （2）混淆“多”与“少”： “多百分之几”用“1 + 百分数”，“少百分之几”用“1 - 百分数”，不要弄反。 （3）百分数与小数（或分数）的转化错误： 计算时，要将百分数正确转化为小数或分数。例如，10%是0.1，而不是10。 （4）直接用单位“1”的量加上或减去百分数： 例如，错误地计算为 200 + 10%，这是不对的，应该是200 + 200×10%，即200×(1+10%)。 知识点三：已知比一个数多（或少）百分之几的数是多少，求这个数（单位“1”的量） 1.这个问题是已知一个数比单位“1”的量多（或少）百分之几的结果，求单位“1”的量。这是上一个知识点的逆运算。 2.基本方法： （1）方程法（推荐）： 设单位“1”的量为x。 若比x多百分之几，则：x × (1 + 百分数) = 已知量 若比x少百分之几，则：x × (1 - 百分数) = 已知量 解方程求出x。 （2）算术法： 已知量 ÷ (1 + 百分数) （比单位“1”多） 已知量 ÷ (1 - 百分数) （比单位“1”少） ①例如： 一件衣服涨价10%后售价220元，这件衣服原价多少元？ 解：设这件衣服原价是x元。 x × (1 + 10%) = 220 1.1x = 220 x = 220 ÷ 1.1 x = 200 算术法：220 ÷ (1 + 10%) = 220 ÷ 1.1 = 200（元） ②例如： 一件衣服降价10%后售价180元，这件衣服原价多少元？ 解：设这件衣服原价是x元。 x × (1 - 10%) = 180 0.9x = 180 x = 180 ÷ 0.9 x = 200 算术法：180 ÷ (1 - 10%) = 180 ÷ 0.9 = 200（元） 易错点提示： （1）单位“1”的量判断错误： 要明确哪个量是未知的单位“1”。 （2）方程法中数量关系列错： 特别是“多”与“少”对应的“+”与“-”容易混淆。 （3）算术法中除数选择错误： 是除以“(1 + 百分数)”还是“(1 - 百分数)”，要与“多”或“少”对应。 （4）计算错误： 已知量除以一个小于1的数（当求比单位“1”少百分之几的数的单位“1”时），结果会比已知量大，学生容易产生疑惑或计算失误。 （5）与“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”混淆： 一个是已知单位“1”用乘法，一个是未知单位“1”用除法或方程，要区分清楚。 知识点四：利息问题 1.储蓄的意义： 人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。 2.相关概念： （1）本金： 存入银行的钱叫做本金。 （2）利息： 取款时银行多支付的钱叫做利息。 （3）利率： 利息与本金的比率叫做利率。利率有年利率、月利率等。 （4）利息税： （目前我国暂免征收利息税，教材中若出现，会特别说明）取款时银行代扣代缴的税款。 3.基本关系式（不考虑利息税）： （1）利息 = 本金 × 利率 × 时间 (利率和时间的单位要对应，如年利率对应年数，月利率对应月数) （2）本息和 = 本金 + 利息 ①例如： 小明把5000元压岁钱存入银行，存期2年，年利率是2.25%，到期时小明可以取回多少钱？（不计利息税） 利息 = 5000 × 2.25% × 2 = 5000 × 0.0225 × 2 = 225（元） 本息和 = 5000 + 225 = 5225（元） 易错点提示： （1）利率与时间单位不对应： 这是最常见的错误！如果题目给出的是年利率，时间必须用“年”作单位；如果是月利率，时间必须用“月”作单位。例如，年利率2.25%，存期6个月，时间应为0.5年。 （2）遗漏“时间”因素： 计算利息时，一定要乘以存款时间。 （3）混淆“利息”和“本息和”： “利息”是多得到的钱，“本息和”是本金和利息的总和。题目问“取回多少钱”通常指本息和。 （4）对利率的理解： 利率是一个百分比，表示单位时间内利息占本金的百分比。 知识点五：百分数应用题的综合运用与解题策略 1.关键步骤： （1）审题： 仔细读题，理解题意，明确已知条件和所求问题。 （2）找准“单位‘1’”： 这是解决百分数应用题的核心。通常“是”、“占”、“比”、“相当于”后面的量，或“的”字前面的量是单位“1”。 （3）分析数量关系： 确定已知量和未知量，以及它们之间的百分比关系。 （4）选择合适的方法： 单位“1”已知，用乘法；单位“1”未知，用除法或方程。 （5）列式计算： 确保计算准确，百分数与小数/分数互化正确。 （6）检验作答： 检查结果是否合理，是否符合题意，写上答语。 2.常用解题技巧： （1）画线段图： 帮助直观理解数量关系，特别是对于“比一个数多（或少）百分之几”的问题。 （2）转化思想： 将百分数问题转化为分数问题的思路来解决。 （3）假设法： 对于某些单位“1”不明显或较复杂的问题，可以假设一个具体的数字（如100）作为单位“1”的量，使问题简化。 易错点提示： （1）多步计算时思路混乱： 对于需要多步计算的复杂问题，缺乏清晰的解题思路，不知道先求什么，再求什么。 （2）单位“1”不统一： 在同一道题中，若出现多个不同的单位“1”，需要注意转换或分别处理。 （3）受多余条件干扰： 题目中可能会出现一些与解题无关的信息，要学会筛选。 （4）答非所问： 没有按题目要求的问题进行回答。 培优练习 一、填空题 1．心脏和脾脏都是人体重要的器官，成年人心脏的质量比脾脏的多50%，心脏的质量约为300克，那么成年人脾脏的质量约为　 　克。 2．石榴园今年石榴的产量比去年增产两成，去年石榴的产量是120吨，若明年预计还会增产两成，那么明年石榴的产量是　 　吨。 3．某路口上午车辆通行数为1200辆，全天通行数为2700辆，该路口下午的车辆通行数比上午车辆通行数多　 　%。 4．妙妙计划去武汉旅游根据下表调查，自助游的游客比跟团游的游客约多　 　%，自驾游的游客比自助游的游客少　 　%。(结果保留一位小数) 旅行方式 自驾游 自助游 跟团游 人数(人) 530 1250 860 5．甜甜爸爸购买了一个总价为 16000 元的集成灶，首付 50 %后，余下的部分甜甜爸爸申请了分期付款，分期时长为2年，年利率是 4.1 %，最后分期付款完成后，爸爸一共要付给银行　 　元。 6．超市购进酸奶和纯牛奶的箱数之比是9∶5，酸奶箱数是纯牛奶箱数的　 　%，酸奶的箱数比纯牛奶多　 　%。 7．甘草需要晾晒至含水量14%及以下才能售卖，有一批甘草经过晾晒后质量减少了30%，刚好达到售卖要求，则这批甘草原来的含水量至多为　 　%。 8．妈妈计划为聪聪存一笔教育基金，要存20000元，想要到期后拿到的本金和利息和不低于24320元，那么至少需要选择存期　 　年年利率为3.6%的产品。 9．糖画亦糖亦画，某天李爷爷用红糖和白糖熬制了17.6千克糖画原料，其中红糖的用量比白糖多20%，白糖用了　 　千克，红糖用了　 　千克。 10．老师带同学们去手工坊体验做扎染画，手工坊四月份扎染画的产量比三月份提高了五成，五月份的产量比三月份降低两成，四月份生产了240幅扎染画，五月份生产了　 　幅扎染画。 二、判断题 11．今年大豆产量是去年大豆产量的130%，今年大豆产量比去年增产三成。（　　） 12．男生人数比女生多25%，女生人数就比男生少25%。（　　） 13． "阳江豆豉"买 5 瓶送 1 瓶，付 5 瓶的钱得到 6 瓶，相当于每瓶豆豉便宜 。（　　） 14．一种玩具现在60元/件，比原来便宜了20元，也就是降价25%。（　　） 15．小明把10万元定期存人民银行2年，已知年利率为0.1％，那么2年后小明可取出本息共12万元。（　　） 三、选择题 16．甲是45，乙是30，算式(45-30)÷30=50%表示（　　）。 A．甲是乙的50% B．乙是甲的50% C．甲比乙多50% D．乙比甲少50% 17．有一套百科全书，11月份搞活动降价了10%，12月份又上涨了10%，这时这套百科全书的单价会（　　）。 A．超过原价 B．低于原价 C．等于原价 D．无法确定 18．商场对某一服装优惠促销，降价200元，刚好比原价降低了20%，这款衣服现在售价为（　　）元。 A．200÷20%-200 B．200÷(1-20%) C．200÷20% D．200÷20%+200 19． 2024年春节假期，全国铁路累计发送旅客9946万人次，相比2023年春节假期客运量大约增加了98.23%，那么2023年春节假期客运量大约是多少万人次?下面列式正确的是（　　）。 A．9946×98.23% B．9946÷98.23% C．9946×(1+98.23%) D．9946÷(1+98.23%) 20．银行利率如下图。妈妈把20000元存入银行，整存整取三年，到期后妈妈能取出（　　）元。 存期(整存整取) 年利率/% 一年 1.50 二年 2.10 三年 2.75 A．1650 B．840 C．20840 D．21650 四、计算题 21．解方程。 （1） x-5%x=35 （2） 60%x×-0.4x=2% （3）x-50%x=272 22． 看图列式计算。 （1） （2） 五、解决问题 23．安装路灯惠民生， 照亮乡村振兴路。幸福村去年有路灯 65 盏， 今年新安装了一批路灯后， 今年的路灯数量为 104 盏。幸福村今年的路灯数量比去年增加了百分之几? 24．某县去年绿色蔬菜的总产量是840万千克，比前年增加了20%。前年全县绿色蔬菜的总产量是多少万千克？ 25．一种鞋子的进价是375元，商家原来按多赚50%的目标来定价销售。如果现在商家再打八折销售，每双鞋子仍可赚多少元？ 26．王叔叔的油坊今年生产了2400 kg的花生油，比生产的菜籽油多20%。他的油坊今年生产的花生油和菜籽油一共有多少千克？ 27．鲜花店进了两批鲜花，第一批鲜花热销，比成本价高20%卖出；第二批鲜花滞销，低于成本价20%卖出。两批鲜花售出的总钱数都是480元，鲜花店是赔了还是赚了？赔了(或赚了)多少元？ 28．李奶奶将自己积攒多年的钱分给5个儿子。老大分到总钱数的20%，老二分到老大取走后剩下的25%，老三分到的钱数和老大一样多，老四分到的钱数是老三取走后剩下的50%，结果剩下400元钱分给了老五。这样分配公平吗? 29．一个书包在“618”活动当天降价了20%，在“618”后又涨价了20%。乐乐在解答“618”前后的价格变化幅度时，是这样列式的：20%-(1-20%)×20%=4%。请结合他画的线段图，判断他的方法是否正确，并说明理由。 30．超市去年收入100000元，老板想将100000元存入银行3年，有以下几种储蓄方式可供选择。如果老板想获得不少于5500元的利息，她应该选择哪种方式?(结果保留两位小数) 方式一：将100000 元按3年整存整取存入银行。 方式二：将100000元按2年整存整取存入银行，到期后连本带息再存一年。 方式三：将100000元按1年整存整取存入银行，第一年到期后连本带息再存一年，第二年到期后连本带息再存一年。 整存整取 存期 利率 一年 1.45% 两年 1.65% 三年 1.95% 参考答案 1．200 2．172.8 3．25 4．45.3；57.6 5．8656 6．180；80 7．39.8 8．6 9．8；9.6 10．128 11．正确 12．错误 13．错误 14．正确 15．错误 16．C 17．B 18．A 19．D 20．D 21．（1） x-5%x=35 解：0.7x=35 0.7x÷0.7=35÷0.7 x=50 （2） 60%x×-0.4x=2% 解：0.45x-0.4x=2% 0.05x=2% 0.05x÷0.05=2%÷0.05 x=0.4 （3） x-50%x=272 解：0.5x=272 0.5x÷0.5=272÷0.5 x=544 22．（1）解：300×(1+20%) =300×120% =360(件) （2）解：60÷(1-20%-40%) =60÷40% =150(台) 23．解： =39÷5 =60% 答： 幸福村今年的路灯数量比去年增加了60%。 24．解：840÷(1+20%) =840÷1.2 =700(万千克) 答：前年全县绿色蔬菜的总产量是700万千克。 25．解：现价： 375×(1+50%)×80% =375×1.5×0.8 =375×1.2 =450(元) 赚： 450-375 =75(元) 答：每双鞋子扔可赚75元。 26．解：2400÷(1+20%)+2400 =2400÷1.2+2400 =2000+2400 =4400(kg) 答：他的油坊今年生产的花生油和菜籽油一共有4400千克。 27．解：第一批成本：480÷(1+20%)=400(元) 第二批成本：480÷（1-20%）=600(元) 总成本： 400+600=1000(元) 总收入： 480×2= 960(元) 赔了： 1000-960=40(元) 答：鲜花店赔了，赔了40元。 28．解：把李奶奶的总钱数看作单位“1”。 老大：20% 老二：(1-20%)×25%=20% 老三：20% 老四：(1-20%-20%-20%)×50%=20% 老五：1-20%-20%-20%-20%=20% 答：每个儿子分到的钱都占总钱数的20%，这样分配公平 29．解：20%-(1-20%)×20% =0.2-0.8×0.2 =0.2-0.16 =0.04 =4% 答：变化幅度为4%，我认为小明的方法是正确的。 30．解：按方式一可获得：100000×1.95%×3=5850(元) 按方式二可获得：100000×1.65%×2=3300(元) (100000+3300)×1.45%×1=1497.85(元) 1497.85+3300=4797.85(元) 按方式三可获得：第一年获得利息：100000×1.45%×1=1450(元) 第二年获得利息：(100000+1450)×1.45%×1≈1471.03(元) 第三年获得利息：(100000+1450+1471.03)×1.45%×1≈1492.35(元) 1450+1471.03+1492.35=4413.38(元) 4413.38<4797.85<5500<5850； 答：她应该选择方式一。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$