3.4 循环小数 （讲义） -2025-2026学年人教版数学五年级上册

该小学数学循环小数复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，知识讲解与总结分点梳理循环小数的意义、循环节及简便记法，结合实例呈现核心概念，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如判断循环小数与无限小数关系巩固概念，提升题如求小数点后第2023位数字培养推理意识与运算能力，助力不同学生发展，教师可据此实施精准教学，学生自主复习有方向。

第3章 循环小数 （讲义） 思维导图 学习目标 1. 初步理解循环小数的意义，能识别什么是循环小数。 2. 认识循环小数的简便记法，能正确读写循环小数。 3. 了解什么是循环节。 知识讲解 1. 认识循环小数： 在进行小数除法时，有时会发现除不尽的情况，商的小数部分某一个数字或者几个数字会依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。 · 例如：10 ÷ 3 = 3.333…，这里商的小数部分“3”无限重复出现。 · 例如：5 ÷ 0.6 = 8.333…，这里商的小数部分“3”无限重复出现。 · 例如：7 ÷ 11 = 0.636363…，这里商的小数部分“63”无限重复出现。 2. 循环节： 在循环小数中，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 · 例如：在3.中，循环节是“3”。 · 例如：在0.中，循环节是“63”。 3. 循环小数表示方法： 写循环小数时，为了简便，通常只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点（·），这个圆点叫做循环点。 · 如果循环节只有一个数字，就在这个数字上面点一个点。 例如：3.333… 写作：3. · 如果循环节有两个或两个以上的数字，就在循环节的第一个数字和最后一个数字上面各点一个点。 例如：0.636363… 写作：0. 例如：5.123123123… 写作：5.2 知识总结 1. 循环小数的产生： 当小数除法除不尽时，商的小数部分会出现一个或几个数字依次不断重复出现的现象，这时的商就是循环小数。 2. 循环小数的意义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 3. 循环节： 循环小数中依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 4. 循环小数的简便记法： 写循环小数时，找到循环节，在循环节的首位和末位数字上方各点一个小圆点。如果循环节只有一位数字，就在这一位数字上方点一个小圆点即可。 巩固练习 一、单选题 1． 下面的说法中，正确的是 (　　)。 A．一个数对只能确定一个位置 B．循环小数都是无限小数，无限小数都是循环小数 C．一个数除以0.1相当于把这个数缩小到原来的 D．两个小数相除，商一定比1小 2．6÷33的商是（　　） A．循环小数 B．无限不循环小数 C．有限小数 D．无法判断 3．下面的算式中，商是无限小数的是（　　）。 A．0÷8.5 B．36÷7.2 C．0.13÷2.6 D．4÷7 4．奇奇在书写时不小心丢失了一个循环小数的一个循环点，变成了1.89457213，已知原来的循环小数小数点后第19位上的数字是4，第24位上的数字是3，那么这个循环小数的另一个循环点在数字(　　)上。 A．9 B．8 C．4 D．5 5．下列说法错误的是(　　)。 A．5.234234…的循环节是234 B．循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数 C．用计算器计算19.6×2.4时，按键“4”坏了，可以用19.6×3-19.6×0.6代替 D．因为小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，所以 6．商是循环小数的算式是（　　）。 A．7.8÷1.6 B．15÷12 C．8÷6 D．5.4÷0.18 7．3.1÷5.5的商是一个循环小数，这个小数的小数点后面第2023位上的数是（　　） A．0 B．6 C．5 D．3 8．循环小数1.2480480…小数部分第30位是（　　）。 A．2 B．4 C．8 D．0 9．24÷7的商的小数点后面第2002位数是几？ A． B． C． D． 二、填空题 10．在1.32、、、、1.33这五个数中，最大的数是　 　，最小的数是　 　。 11． 65÷66的商用循环小数简便计法表示是　 　这个循环小数的循环节是　 　，保留三位小数约是　 　。 12．2.666666是循环小数，保留两小数约是2.67。　 　 理由：　 　 13．0.1203203…是　 　小数，可以简写为　 　，保留两位小数约是　 　，保留三位小数约是　 　。 14．22.4÷11 的商是 2.03636… ，它是　 　小数，循环节是　 　，保留三位小数是　 　。 15．移动循环小数中的第一个循环点，使新产生的循环小数尽可能大。 　 　 　 　 16．连线课堂·运算的应用 （1）用计算器计算下面各题，你发现了什么。 5÷111=　 　 7÷111=　 　 9÷111=　 　 （2）不计算，用发现的规律直接写出下面几题的商。 12÷111=　 　 15÷111=　 　 17÷111=　 　 我发现：它们的商的整数部分都是　 　，商都是　 　小数，循环节有　 　个数字，都是被除数的　 　倍。 17．1÷7的商用循环小数表示是　 　，这个商的小数部分第80位上的数字是　 　。小数部分前100位上的所有数字之和是　 　。 18．1.14258742587…小数点后第100位上的数字是　 　。 三、解决问题 19．如图是两家超市矿泉水的销售价格情况。请你算一算，如果一家单位统一大量购买，供公司员工日常饮用，从哪家超市购买更合算? 便民超市： 34元/箱 24瓶/箱 友谊超市： 36元/箱 24瓶/箱 买一箱送3瓶 20．下面哪些数是循环小数？是循环小数的在后面括号里画“√”。 0.181818（　　） 2.504504504…（　　） 2.135789…（　　） 8.333（　　） 37.373737…（　　） 7.20555…（　　） 21．填表 循环小数 2.291291··· 3.9090··· 3.8(•)1(•) 8.3(•)75(•) 保留一位小数 保留两位小数 保留三位小数 22．÷5.4=，是一个两位小数，四舍五入保留一位小数后是3.0。 （1）最大是多少?最小是多少? （2）若是15.66，是多少? 若是15.99，精确到千分位是多少? 23．算算5÷7的商，想一想，算一算： （1）小数点后面2019位上的数字是几？ （2）小数点后2019个数字之和是几？ 24． （1）计算下面各题，你发现了什么？ 1÷9＝ 2÷9＝ 3÷9＝ 4÷9＝ （2）用上面的规律，直接写出下面各魉的得数。（用循环小数的简便方法表示） 5÷9＝ 6÷9＝ 7÷9＝ 8÷9＝ 10÷9＝ 25÷9＝ 参考答案 1．A 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．D 8．C 9．D 10．；1.32 11．；84；0.985 12．错误；2.666666是有限小数，不是循环小数 13．循环；；0.12；0.120 14．循环；36；2.036 15．； 16．（1）0.045045......；0.063063......；0.081081...... （2）0.108108......；0.135135......；0.153153......；0；循环；3；9 17．；4；447 18．8 19．解：34÷24=(元/瓶) 24+3=27(瓶) 36÷27=(元/瓶) > 答：从友谊超市购买更合算。 20．0.181818（　　） 2.504504504…（ √ ） 2.135789…（　　） 8.333（　　） 37.373737…（ √ ） 7.20555…（ √ ） 21． 循环小数 2.291291··· 3.9090··· 3.8(•)1(•) 8.3(•)75(•) 保留一位小数 2.3 3.9 3.8 8.4 保留两位小数 2.29 3.91 3.82 8.38 保留三位小数 2.291 3.909 3.818 8.375 22．（1）解：因为一个数四舍五入后是3.0时，这个数的范围在2.95（含）到3.04（含）之间，因此这个数最大是3.04， 最小是2.95， 所以最大是3.04， 最小是2.95. （2）解：15.66÷5.4=2.9， 15.99÷5.4=， 精确到千分位是2.961。 答：若是15.66，是2.9；若□是15.99，精确到千分位是2.961。 23．（1）5÷7= 2019÷6=336……3 答：小数点后面2019位上的数字是4。 （2）（7+1+4+2+8+5）×336+（7+1+4）=9084 答：小数点后面2019位上的数字之和是9084。 24．（1）解：1÷9＝ ，2÷9＝ ，3÷9＝ ，4÷9＝ 。 发现：商都是纯循环小数，循环节都是一位数字，并且与被除数相同。 （2）5÷9＝ 6÷9＝ 7÷9＝ 8÷9＝ 10÷9＝ 25÷9＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$