18.5 分式方程（新课预习.培优卷）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

新课预习.培优卷 18.5 分式方程 一．选择题（共7小题） 1．（2025•霍林郭勒市校级模拟）若关于x的分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 2．（2025•隆昌市校级二模）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．12 B．18 C．30 D．42 3．（2025春•龙华区期末）今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈＝10尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有x尺，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•牡丹江模拟）已知k为整数，关于x的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025春•丽水期中）某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修10m，结果延期15天完成 B．每天比原计划多修10m，结果提前15天完成 C．每天比原计划少修10m，结果延期15天完成 D．每天比原计划少修10m，结果提前15天完成 6．（2025•龙江县三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3 7．（2025•昭通模拟）赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的1.25倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•建邺区校级期中）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 　 　 ． 9．（2025•南京模拟）分式方程的解是　 　 ． 10．（2025春•宿城区校级期末）若关于x的分式方程解是正数，则m的取值范围是 　 　 ． 11．（2025春•北碚区校级月考）若关于x的不等式组的所有整数解的和为9，关于y的分式方程有解，则符合条件的所有整数a的值之和为　 　 ． 12．（2024秋•南昌期末）对于实数a，b，定义一种新运算“*”：a*b，等式右边是实数运算．例如：1*3，则x*（﹣2）的解是x＝　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2024秋•河东区期末）解分式方程 （Ⅰ）； （Ⅱ）． 14．（2025•越秀区校级三模）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买A款哪吒玩偶的个数与用900元购买B款哪吒玩偶个数相等，且B款哪吒玩偶单价比A款哪吒玩偶单价多3元． （1）A，B款哪吒玩偶每个各多少元？ （2）试营业时计划购买A，B款哪吒玩偶共200个，其中A款哪吒玩偶的数量不超过B款哪吒玩偶数量的，求购买A款玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 15．（2025春•东阳市期末）定义：形如，两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如，其中a＝2，b＝1． （1）试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． （2）若十字分式方程的解为x1＝a，x2＝b，求下列代数式的值： ①a2+3b； ②． 新课预习.培优卷 18.5 分式方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025•霍林郭勒市校级模拟）若关于x的分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【考点】分式方程的解． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】找出方程中的最简公分母：x﹣3，然后方程两边同乘最简公分母，化为整式方程可解，然后根据分式有无意义即可得出结果． 【解答】解：原方程去分母可得： 3﹣ax＝2（3﹣x）， 3﹣ax＝6﹣2x， （a﹣2）x＝﹣3， 根据题意，原分式方程无解， ①当a﹣2＝0时，即a＝2时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意； ②当原分式方程最简公分母x﹣3＝0时，即x＝3，是原分式方程的增根，也符合题意， 此时，3（a﹣2）＝﹣3， 解得a＝1； ∴a的值是1或2， 故选：D． 【点评】本题考查分式方程增根情况及运用，解题的关键是注意关键词“无解”与增根的关系． 2．（2025•隆昌市校级二模）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．12 B．18 C．30 D．42 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数a的值，再进行相加求解． 【解答】解：， 解不等式①，得x≤4， 解不等式②，得x＜a+2， 由题意得a+2＞4， 解得a＞2； 解方程1得， y，且y≠﹣2， 当a＝8时，y1； 当a＝6时，y2（不合题意，舍去）； 当a＝4时，y3， ∴符合条件的a有8，4， ∴8+4＝12， 即所有满足条件的整数a的值之和是12． 故选：A． 【点评】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 3．（2025春•龙华区期末）今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈＝10尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有x尺，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】C 【分析】等量关系式：绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文，据此列方程，即可求解． 【解答】解：由绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文得方程为： ， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找出等量关系式是解题的关键． 4．（2025•牡丹江模拟）已知k为整数，关于x的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】解分式方程；分式方程的解． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出k＝2或3即可得到答案． 【解答】解：原方程去分母得到，kx＝x+2， 移项合并同类项得到，， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴k﹣1＝1或2，且， 解得k＝2或3， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B． 【点评】此题考查了解分式方程和分式方程的解．熟练掌握该知识点是关键． 5．（2025春•丽水期中）某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修10m，结果延期15天完成 B．每天比原计划多修10m，结果提前15天完成 C．每天比原计划少修10m，结果延期15天完成 D．每天比原计划少修10m，结果提前15天完成 【考点】分式方程的应用． 【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】B 【分析】由x代表的含义找出（x﹣10）代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论． 【解答】解：设实际每天整修道路x m，则（x﹣10）m表示原计划每天修的道路长度， 由题意可知，表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， ∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前15天完成． 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键． 6．（2025•龙江县三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式． 【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【解答】解：原分式方程可化为：2， 去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2， 解得x， ∵分式方程解是非负数， ∴0，且1， ∴m的取值范围是：m≤5且m≠3， 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，x﹣1≠0，列不等式组是解题关键． 7．（2025•昭通模拟）赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的1.25倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是1.25x米/秒，根据时间等于路程除以速度分别表示出两队的时间，再根据A队比B队提前了25秒到达终点建立方程即可． 【解答】解：由题意得，， 故选：A． 【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意是关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•建邺区校级期中）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 　　 ． 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据解分式方程的步骤进行解答即可． 【解答】解：在方程两边乘以（2x﹣1）得：3x+a＝2（2x﹣1）， ∴x＝a+2， ∵方程的解是正数． ∴， 解得：a＞﹣2且 a≠﹣3， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是先确定方程的解，再建立关于a的不等式是求解即可． 9．（2025•南京模拟）分式方程的解是　x＝2　 ． 【考点】解分式方程． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】x＝2． 【分析】将方程两边同时乘以（x﹣1），转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，将x的值代入原方程进行检验． 【解答】解：， 去分母得：2＝2×（x﹣1）， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解． 【点评】本题考查分式方程的解法，运用转化的思想将分式方程转化为整式方程进行求解，解题的关键是解分式方程必须要验根． 10．（2025春•宿城区校级期末）若关于x的分式方程解是正数，则m的取值范围是 　m＞﹣5且m≠0　 ． 【考点】分式方程的解． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】m＞﹣5且m≠0． 【分析】解分式方程，令x＞0得到关于m的一元一次不等式并求其解集，再根据分式有意义的条件，从而求出m的取值范围即可． 【解答】解：去分母，得x﹣5＝m， 解得x＝m+5， ∵m+5＞0， ∴m＞﹣5， ∵x﹣5≠0， ∴m≠0， ∴m的取值范围是m＞﹣5且m≠0． 故答案为：m＞﹣5且m≠0． 【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法及分式有意义的条件、一元一次不等式的解法是解题的关键． 11．（2025春•北碚区校级月考）若关于x的不等式组的所有整数解的和为9，关于y的分式方程有解，则符合条件的所有整数a的值之和为　2　 ． 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解． 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】2． 【分析】根据一元一次不等式组的整数解确定a的取值范围，再根据分式方程的解以及增根的定义进一步确定整数a的取值即可． 【解答】解：不等式的解集为x＞1， 关于x的不等式x+a≥4（x﹣3）的解集为x， ∵关于x的不等式组的所有整数解的和为9， ∴45， 解得，0≤a＜3， 将关于y的分式方程2两边都乘以y﹣3，得 2+2y﹣6＝ay﹣1， 解得，y， 由于分式方程的增根为y＝3， ∴y≠3，即3， 解得a≠1， 综上所述，0≤a＜3且a≠1， ∴符合条件的所有整数a的值之和为0+2＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，分式方程，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解以及增根的定义是正确解答的关键． 12．（2024秋•南昌期末）对于实数a，b，定义一种新运算“*”：a*b，等式右边是实数运算．例如：1*3，则x*（﹣2）的解是x＝　﹣1　 ． 【考点】解分式方程；实数的运算． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】﹣1． 【分析】根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【解答】解：根据题中的新运算法则列出分式方程得： ， 整理得：， 去分母得1＝x+2， 解得：x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1是原方程的解， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了新定义、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法． 三．解答题（共3小题） 13．（2024秋•河东区期末）解分式方程 （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【考点】解分式方程． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】（I）无解； （II）． 【分析】（I）根据解分式方程的方法，先方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可； （II）根据解分式方程的方法，先方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【解答】解：（I）， 方程两边同乘最简公分母（x﹣2），得1＝x﹣1﹣3（x﹣2）， 去括号，得1＝x﹣1﹣3x+6， 移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣4， 将系数化为1，得x＝2， 检验，把x＝2代入x﹣2＝0，则x＝2是分式方程的增根， 所以分式方程无解； （II）， 方程两边同乘最简公分母（1+x）（1﹣x），得1﹣x2﹣x（1﹣x）＝2x， 去括号，得1﹣x2﹣x+x2＝2x， 移项、合并同类项，得3x＝1， 解得：， 检验，把代入（1+x）（1﹣x）≠0， 所以是分式方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 14．（2025•越秀区校级三模）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买A款哪吒玩偶的个数与用900元购买B款哪吒玩偶个数相等，且B款哪吒玩偶单价比A款哪吒玩偶单价多3元． （1）A，B款哪吒玩偶每个各多少元？ （2）试营业时计划购买A，B款哪吒玩偶共200个，其中A款哪吒玩偶的数量不超过B款哪吒玩偶数量的，求购买A款玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）A、B款哪吒玩偶每个各6元和9元； （2）购买A款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元． 【分析】（1）设A款哪吒玩偶每个x元，则B款哪吒玩偶每个（x+3）元．根据用600元购买A款哪吒玩偶的个数与用900元购买B款哪吒玩偶个数相等为等量关系列出分式方程的解即可得出答案． （2）设购买A款哪吒玩偶a个，则购买B款哪吒玩偶（200﹣a）个，根据其中A款哪吒玩偶的数量不超过B款哪吒玩偶数量的列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设A款哪吒玩偶每个x元，则B款哪吒玩偶每个（x+3）元． 根据题意，得， 解得x＝6． 经检验，x＝6是原分式方程的解， ∴6+3＝9（元）， ∴A、B款哪吒玩偶每个各6元和9元； （2）设购买A款哪吒玩偶a个，则购买B款哪吒玩偶（200﹣a）个， 依题意得：， 解得a≤50， ∴1≤a≤50，且a为正整数． 根据题意，购买这批哪吒玩偶总费用w＝6a+9（200﹣a）＝﹣3a+1800， ∵﹣3＜0， ∴w随a的增大而减小， ∵1≤a≤50，且a为正整数， ∴当a＝50时，w取最小值，此时w＝﹣3×50+1800＝1650， 即购买A款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元． 【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的一用以及一次函数的实际应用． 15．（2025春•东阳市期末）定义：形如，两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如，其中a＝2，b＝1． （1）试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． （2）若十字分式方程的解为x1＝a，x2＝b，求下列代数式的值： ①a2+3b； ②． 【考点】解分式方程；分式方程的定义；分式方程的解． 【专题】计算题；分式；分式方程及应用；运算能力． 【答案】（1）是，解答详见解析；（2）①10；②﹣11． 【分析】（1）先判断方程是不是十字分式方程，再求解分式方程； （2）先根据十字分式方程的特点，得两根的关系，整体代入计算得结论． 【解答】解：（1）解分式方程得， x1＝﹣2，x2＝﹣3． ∵﹣2﹣3＝﹣5，（﹣2）（﹣3）＝6， ∴方程是十字分式方程． ， 去分母，得x2+5x+6＝0， ∴（x+2）（x+3）＝0． ∴x+2＝0或x+3＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣3． 经检验，﹣2、﹣3都是方程的解． ∴原分式方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣3． （2）∵是十字分式方程，其解为x1＝a，x2＝b， ∴a3，a+b＝3，ab＝﹣1． ①∵a3，a+b＝3， ∴a2＝3a+1 ∴a2+3b＝3a+3b+1 ＝3（a+b）+1 ＝3×3+1 ＝10； ② 2 ＝﹣11． 【点评】本题主要考查了分式方程，掌握分式的加减运算、分式方程的解法是解决本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$