暑假巩固复习综合培优卷-2024-2025学年九年级下册数学人教版（山东适用）

暑假巩固复习综合培优卷 2024-2025学年九年级下册数学（山东适用） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D． 2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.000000201kg，将0.000000201用科学记数法表示为（　　） A．2.01×10﹣7 B．0.201×10﹣7 C．2.01×10﹣8 D．20.1×10﹣6 4．（3分）下列图案中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a3÷a2＝a C．3a3⋅2a2＝6a6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4 6．（3分）以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣弧；③等弧所对的圆周角相等；④平分弦的直径垂直于弦；其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（3分）下列说法正确的有（　　）个． ①样本7，7，6，5，4的众数是2； ②如果数据x1，x2，……，xn的平均数是，则（x1）+（x2）+…+（xn）＝0； ③样本1，2，3，4，5，6的中位数是3和4； ④样本21，22，23，24，25的方差为2． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（3分）如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（　　） A．58° B．64° C．72° D．60° 9．（3分）将点A（1，5）绕坐标原点顺时针旋转90°后得到点A'，则点A'的坐标为（　　） A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣5，1） D．（﹣1，﹣5） 10．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的函数关系图象，其中M为曲线部分的最低点．下列结论： ①△ABC是等腰三角形； ②AC边上的高为4： ③△ABC的面积为10； ④△ABC的周长为16．其中结论正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）因式分解： （1）x2﹣2x＝　 　； （2）4x2﹣49＝　 　； （3）2x2﹣8x+8＝　 　． 12．（3分）如图，已知△ABO顶点A（﹣2，4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，则与点A对应的点A'的坐标是　 　． 13．（3分）已知关于x方程（m﹣1）x20的有两个实数根，则m的取值范围是　 　． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数和的图象上，则tan∠ABO的值为 　 　． 15．（3分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，CE长为半径画弧交对角线BD于点F，若∠BAD＝116°，∠BDC＝39°，BC＝4，则扇形CEF的面积为 　 　． 16．（3分）已知树枝AB，将树枝AB按照以下规则进行分形：在1级分形图中，由B点处生长出两条树枝BC，BD；在2级分形图中，在C、D两点处分别再生长出两条树枝，按照上面分形方法得到3级、4级分形图形． 按照规律，在2022级分形图中，树枝总条数是 　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）化简并求值：，其中x＝2023． 18．（8分）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12． （1）设点M的坐标为（m，n），求反比例函数的解析式； （2）若AN，求直线MN的解析式． 19．（8分）成都市某小学优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：80分钟以上；B：60～80分钟；C：40～60分钟；D：40分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 　 　人； （2）扇形统计图中“C”层级的扇形的圆心角度数 　 　，并补全条形统计图； （3）全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有 　 　人； （4）“A”层级的4名同学中恰好有2名女生和2名男生，从这4名同学中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20．（8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角∠BAC＝64°，吊臂底部A距地面1.5m． （1）当吊臂底部A与吊绳端点C的连线平行于地面时，测得AC为8.8m；则吊臂AB的长为　 　m； （2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为50m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）（计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 21．（10分）2020年春节前夕，一场突如其来的新冠肺炎疫情牵动着全国人民的心，因疫情发展迅速，全国口罩等防护用品成了年货，供应紧张．某药店用2000元购进某品牌的一批口罩后，供不应求，又用5000元购进这种口罩，第二批口罩的数量是第一批的2倍，但进货单价比第一批贵2元． （1）第一批口罩进货单价多少元？ （2）若两次购进口罩按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2000元，那么销售单价至少为多少元？ （3）由于党的好政策，爱心工人加班加点地生产，口罩变得不再紧俏，药店第三批进货单价比第一批便宜1元，若按照（2）中销售单价出售，每天可以售出60个，药店为了促销，决定降低一定的价格，每降低一元，每天多售出20个，问单价定为多少时，每天利润最大？最大是多少？ 22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝6，求⊙O的直径． 23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E． （1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明； （2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD，请直接写出AE的长． 24．（12分）我们定义：如图1，在△ABC与△AB′C′中，两三角形有公共顶点A，AB所在射线逆时针旋转α到AC所在射线，AB′所在射线逆时针旋转β到AC′所在射线，∠BAC＝α，∠B′AC′＝β，α+β＝180°，，我们称△ABC与△AB′C′互为“旋补比例三角形”． （1）如图1，△ABC与△AB′C′互为旋补比例三角形，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝3，AB′＝2时，①∠B′AC′＝　 　°，②　 　． （2）如图2，在△ABC中，AD⊥BC，△DBA与△DAC互为旋补比例三角形，延长CB至点E，使EB＝BD，连接AE，求证：△BAE与△BCA互为旋补比例三角形． （3）如图3，在△OAB中，∠AOB＝135°，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，点B在第二象限，OB＝2，抛物线yx2+bx+c经过点B，与y轴交点为C（0，5），△OPQ（点O、P、Q按逆时针排列）与△OAB互为旋补比例三角形，点P在抛物线的对称轴上运动，当点A、B、P构成的三角形是以∠A为顶角的等腰三角形时，求点Q的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D． 【考点】无理数；立方根． 【专题】实数；数感． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解答】解：是无理数． 故选：C． 【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【专题】投影与视图；空间观念． 【答案】D 【分析】根据三视图的意义和画法，看不见的轮廓线用虚线表示，可得答案． 【解答】解：从上面看到的图形是一个长方形，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示， 因此选项D中的图形，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解“看不见的轮廓线用虚线表示，能看见的轮廓线用实线表示”是得出正确答案的关键． 3．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.000000201kg，将0.000000201用科学记数法表示为（　　） A．2.01×10﹣7 B．0.201×10﹣7 C．2.01×10﹣8 D．20.1×10﹣6 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【专题】实数；数感． 【答案】A 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：0.000000201＝2.01×10﹣7． 故选：A． 【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 4．（3分）下列图案中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】C 【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a3÷a2＝a C．3a3⋅2a2＝6a6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4 【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的除法；单项式乘单项式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、单项式乘单项式的运算法则、完全平方公式解答即可． 【解答】解：A．a3与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B．a3÷a2＝a，原计算正确，故此选项符合题意； C．3a3⋅2a2＝6a5，原计算错误，故此选项不符合题意； D．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查合并同类项、同底数幂的除法、单项式乘单项式、完全平方公式，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的除法法则、单项式乘单项式的运算法则、完全平方公式是解题的关键． 6．（3分）以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣弧；③等弧所对的圆周角相等；④平分弦的直径垂直于弦；其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】命题与定理；垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件． 【专题】圆的有关概念及性质；应用意识． 【答案】B 【分析】根据确定圆的条件，弧的概念，圆周角定理，垂径定理，逐项分析判断，从而可以解答本题． 【解答】解：经过同一条直线的三个点，不可以作一个圆，故命题①错误； 不同圆的优弧就不一定大于劣弧，故命题②错误； 等弧所对的圆周角相等，故命题③正确； 平分非直径的弦的直径垂直于弦，故命题④错误； 故选：B． 【点评】本题考查了命题和定理，解答本题的关键掌握确定圆的条件，弧的概念，圆周角定理，垂径定理． 7．（3分）下列说法正确的有（　　）个． ①样本7，7，6，5，4的众数是2； ②如果数据x1，x2，……，xn的平均数是，则（x1）+（x2）+…+（xn）＝0； ③样本1，2，3，4，5，6的中位数是3和4； ④样本21，22，23，24，25的方差为2． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】方差；总体、个体、样本、样本容量；算术平均数；中位数；众数． 【专题】统计的应用；推理能力． 【答案】B 【分析】根据众数、平均数、中位数以及方差的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：①样本7，7，6，5，4的众数是7，故本选项错误； ②如果数据x1，x2，……，xn的平均数是，则（x1）+（x2）+…+（xn）＝0，正确； ③样本1，2，3，4，5，6的中位数是3.5，故本选项错误； ④样本21，22，23，24，25的平均数是：（21+22+23+24+25）＝23，则方差是[（21﹣23）2+（22﹣23）2+（23﹣23）2+（24﹣23）2+（25﹣23）2]＝2，正确． 正确的有②④． 故选：B． 【点评】此题考查了众数、平均数、中位数以及方差，解题的关键是了解有关概念并正确的得出结论，难度不大． 8．（3分）如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（　　） A．58° B．64° C．72° D．60° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠1＝58°， 由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°， ∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°； 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键． 9．（3分）将点A（1，5）绕坐标原点顺时针旋转90°后得到点A'，则点A'的坐标为（　　） A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣5，1） D．（﹣1，﹣5） 【考点】坐标与图形变化﹣旋转． 【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】B 【分析】画出图形，利用图象法解决问题即可． 【解答】解：如图， 观察图形可知A′的坐标为（5，﹣1）， 故选：B． 【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是正确作出图形，学会利用图象法解决问题． 10．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的函数关系图象，其中M为曲线部分的最低点．下列结论： ①△ABC是等腰三角形； ②AC边上的高为4： ③△ABC的面积为10； ④△ABC的周长为16．其中结论正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【考点】动点问题的函数图象． 【专题】函数及其图象；三角形；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】由图得当点P在BC上运动时的最大值为5，即BC＝5，点P在CA上运动的最小值为4，即当BP⊥CA时的BP＝4，点P在CA上运动的最大值为5，即BA＝5，根据三线合一定理求出AC＝6，即可依次判断出结论是否正确． 【解答】解：由图得当点P在BC上运动时的最大值为5， ∴BC＝5， 点P在CA上运动的最小值为4， ∴当BP⊥CA时的BP＝4，故②正确； 点P在CA上运动的最大值为5， ∴BA＝5， ∴△ABC为等腰三角形，故①正确； 当BP⊥CA时，CP＝AP3， ∴AC＝6， ∴S△ABCAC•BP＝12，故③不正确； C△ABC＝5+5+6＝16，故④正确． 故选：D． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）因式分解： （1）x2﹣2x＝　x（x﹣2）　； （2）4x2﹣49＝　（2x+7）（2x﹣7）　； （3）2x2﹣8x+8＝　2（x﹣2）2　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题；因式分解；整式；运算能力；应用意识． 【答案】（1）x（x﹣2）；（2）（2x+7）（2x﹣7）；（3）2（x﹣2）2． 【分析】（1）提取公因式分解因式； （2）用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式． 【解答】解：（1）x2﹣2x＝x（x﹣2）； （2）4x2﹣49＝（2x+7）（2x﹣7）； （3）2x2﹣8x+8 ＝2（x2﹣4x+4） ＝2（x﹣2）2． 答案为：（1）x（x﹣2）；（2）（2x+7）（2x﹣7）；（3）2（x﹣2）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键． 12．（3分）如图，已知△ABO顶点A（﹣2，4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，则与点A对应的点A'的坐标是　（﹣1，2）或（1，﹣2）　． 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【专题】图形的相似；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把A点的横纵坐标分别乘以或得到点A'的坐标． 【解答】解：∵顶点A（﹣2，4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的， ∴与点A对应的点A'的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故答案为（﹣1，2）或（1，﹣2）． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 13．（3分）已知关于x方程（m﹣1）x20的有两个实数根，则m的取值范围是　0≤m≤2且m≠1　． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0和被开方数2﹣m≥0． 【解答】解：∵关于x方程（m﹣1）x20的有两个实数根， ∴， 解得：0≤m≤2且m≠1． 故答案为：0≤m≤2且m≠1． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数和的图象上，则tan∠ABO的值为 　　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形． 【专题】反比例函数及其应用；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】点A，B恰好分别落在函数和的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，从而得出答案． 【解答】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E， ∵点A，B恰好分别落在函数和的图象上， ∴S△AOD＝1，S△BOE＝4， 又∵∠AOB＝90° ∴∠AOD＝∠OBE， ∴△AOD∽△OBE， ∴（）2， ∴， 在RtAOB中，tan∠ABO， 故答案为：． 【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，求出tan∠ABO的值． 15．（3分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，CE长为半径画弧交对角线BD于点F，若∠BAD＝116°，∠BDC＝39°，BC＝4，则扇形CEF的面积为 　π　． 【考点】扇形面积的计算；平行四边形的性质；圆周角定理． 【专题】多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】π． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠CBD，根据三角形的外角的性质求出∠CEF，根据扇形面积公式计算． 【解答】解：∵∠BAD＝116°，∠BDC＝39°， ∴∠CBD＝25°， 又∵E为BC的中点， ∴BE＝ECBC＝2， ∵BE＝EF， ∴EF＝EC＝2， ∴∠EFC＝∠ACB＝25°， ∴∠CEF＝50°， ∴扇形BEF的面积π． 故答案为：π． 【点评】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 16．（3分）已知树枝AB，将树枝AB按照以下规则进行分形：在1级分形图中，由B点处生长出两条树枝BC，BD；在2级分形图中，在C、D两点处分别再生长出两条树枝，按照上面分形方法得到3级、4级分形图形． 按照规律，在2022级分形图中，树枝总条数是 　22023﹣1　． 【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】规律型；猜想归纳；运算能力． 【答案】22023﹣1． 【分析】根据题意先分别求出1级、2级、3级分形图中，树枝总条数，然后归纳总结出一般规律即可． 【解答】解：根据题意可知： 在1级分形图中，树枝总条数是1+2＝3＝22﹣1； 在2级分形图中，树枝总条数是1+2+4＝7＝23﹣1； 在3级分形图中，树枝总条数是1+2+4+8＝15＝24﹣1； … 发现规律： 在n级分形图中，树枝总条数是2n+1﹣1． 当n＝2022时，树枝总条数是22023﹣1． 故答案为：22023﹣1． 【点评】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是认真观察图象，弄清楚前后两个图之间的变化规律． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）化简并求值：，其中x＝2023． 【考点】分式的化简求值． 【专题】分式；运算能力． 【答案】，． 【分析】根据分式的运算法则，进行化简，再代值计算即可． 【解答】解：原式＝[]• • • ， 当x＝2023时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键． 18．（8分）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12． （1）设点M的坐标为（m，n），求反比例函数的解析式； （2）若AN，求直线MN的解析式． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）y（x≠0）， （2）yx． 【分析】（1）过M作MH⊥x轴于H，如图，因为MH∥AB，则△OMH∽△OAB，又因为M为斜边OA的中点，则（）2，即，推出S△OMH＝3，得出3，则k＝±6，因为k＞0，得出k＝6，即可知反比例函数关系式； （2）设OB＝m，则N（m，），则AB，又因为S△AOB＝12，则m（）＝12，解得m＝4，得出N（4，），又因为OHOB，则OH＝2，在y中，令x＝2得y＝3，得出M坐标，由MN的坐标得直线M、N解析式为yx．设直线MN解析式为y＝mx+n，用待定系数法即可得到答案． 【解答】解：（1）过M作MH⊥x轴于H，如图： ∵MH∥AB， ∴△OMH∽△OAB， ∵M为斜边OA的中点， ∴（）2，即， ∴S△OMH＝3， ∴3， ∴k＝±6， ∵k＞0， ∴k＝6； ∴y（x≠0）， （2）设OB＝m，则N（m，）， ∴AB， ∵S△AOB＝12， ∴m（）＝12， 解得m＝4， ∴N（4，）， ∵OHOB， ∴OH＝2， 在y中，令x＝2得y＝3， ∴M（2，3）， 由M（2，3），N（4，）得直线MN解析式为yx． 【点评】本题考查反比例函数综合知识，涉及反比例函数的图象及解析式、一次函数解析式、三角形面积等知识，解题的关键是用含未知数的代数式表示相关点的坐标和线段长度． 19．（8分）成都市某小学优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：80分钟以上；B：60～80分钟；C：40～60分钟；D：40分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 　40　人； （2）扇形统计图中“C”层级的扇形的圆心角度数 　144°　，并补全条形统计图； （3）全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有 　150　人； （4）“A”层级的4名同学中恰好有2名女生和2名男生，从这4名同学中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图． 【专题】统计的应用；概率及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）40； （2）144°，图形见解析； （3）150； （4）． 【分析】（1）由“D”层级的人数除以所占百分比即可； （2）由360°乘以“C”层级的人数所占的比例得出扇形统计图中“C”层级的扇形的圆心角的度数，再求出B”层级的人数，补全条形统计图即可； （3）由全校的学生人数乘以“A”层级的学生所占的比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有：8÷20%＝40（人）， 故答案为：40； （2）扇形统计图中“C”层级的扇形的圆心角的度数为：360°144°， 故答案为：144°， “B”层级的人数为：40﹣4﹣16﹣8＝12（人）， 补全条形统计图如下： （3）全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有：1500150（人）， 故答案为：150； （4）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 【点评】本题考查了用树状图法求概率、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．（8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角∠BAC＝64°，吊臂底部A距地面1.5m． （1）当吊臂底部A与吊绳端点C的连线平行于地面时，测得AC为8.8m；则吊臂AB的长为　20　m； （2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为50m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）（计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可； （2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝64°，AC＝8.8m， ∴AB20（m）； 故答案为：20； （2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，如图所示： 在Rt△ADE中，AD＝50m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m， ∴DE＝sin64°×AD≈50×0.90＝45.0（m）， 即DH＝DE+EH＝45.0+1.5＝46.5（m）， 答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为50m，那么从地面上吊起货物的最大高度约为46.5m． 【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，熟记锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 21．（10分）2020年春节前夕，一场突如其来的新冠肺炎疫情牵动着全国人民的心，因疫情发展迅速，全国口罩等防护用品成了年货，供应紧张．某药店用2000元购进某品牌的一批口罩后，供不应求，又用5000元购进这种口罩，第二批口罩的数量是第一批的2倍，但进货单价比第一批贵2元． （1）第一批口罩进货单价多少元？ （2）若两次购进口罩按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2000元，那么销售单价至少为多少元？ （3）由于党的好政策，爱心工人加班加点地生产，口罩变得不再紧俏，药店第三批进货单价比第一批便宜1元，若按照（2）中销售单价出售，每天可以售出60个，药店为了促销，决定降低一定的价格，每降低一元，每天多售出20个，问单价定为多少时，每天利润最大？最大是多少？ 【考点】二次函数的应用；分式方程的应用． 【专题】分式方程及应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得第一批口罩的单价； （2）根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以得到销售单价至少为多少元； （3）根据题意，可以得到利润和第三批销售单价的函数关系，然后利用二次函数的性质，即可得到单价定为多少时，每天利润最大，最大是多少． 【解答】解：（1）设第一批口罩的进货单价为x元，则第二批口罩的进货单价为（x+2）元， ， 解得，x＝8 经检验，x＝8是原分式方程的解， 答：第一批口罩进货单价为8元； （2）设销售单价为a元， （a﹣8）（a﹣8﹣2）2000， 解得，a≥12 即销售单价至少为12元； （3）设利润为w元，单价为b元， w＝（b﹣7）[60+（12﹣b）×20]＝﹣20（b﹣11）2+320， ∴当b＝11时，w取得最大值，此时w＝320， 答：定价为11元时，利润最大，最大是320元． 【点评】本题考查二次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验． 22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝6，求⊙O的直径． 【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理． 【专题】证明题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠OAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠OCA，则∠EAC＝∠ACO，于是可判断OC∥AE，根据平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）求出∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，设OC＝x，则OD＝2x，由勾股定理求出x，则可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵AC平分∠EAB， ∴∠OAC＝∠EAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠EAC＝∠ACO， ∴OC∥AE， ∵AE⊥DC， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°， 由（1）知OC⊥CD， ∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°， ∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC， ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB， 而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD， ∴∠OCB＝2∠BCD， 而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°， ∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°， 设OC＝x，则OD＝2x， 由勾股定理得4x2﹣x2＝62， 解得， 所以． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E． （1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明； （2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD，请直接写出AE的长． 【考点】几何变换综合题． 【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】（1）AC＝AE+AD． （2）不成立，AD＝AC+AE． （3）AE的长为32或32． 【分析】（1）证明△DEC是等边三角形，得出CD＝CE，∠ECD＝60°，证明△BCE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质可得出BE＝AD，则可得出结论； （2）在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF，证明△EAD≌△CFD（ASA），由全等三角形的性质得出AE＝CF，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）AC＝AE+AD． 证明：连接CE， ∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E，α＝60°， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴CB＝CA＝AB，∠ACB＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠ACB＝60°， ∵∠FDC＝∠EAF＝60°，∠AFE＝∠DFC， ∴△AFE∽△DFC， ∴， ∴， ∵∠AFD＝∠EFC， ∴△AFD∽△EFC， ∴∠DAF＝∠FEC＝60°， ∴△DEC是等边三角形， ∴CD＝CE，∠ECD＝60°， ∴∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD， ∴AB＝AE+BE＝AE+AD， ∴AC＝AE+AD； （2）不成立，AD＝AC+AE． 理由如下：在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF， 当α＝60°时，∠BAC＝∠EDC＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC∠BCA＝60°， ∵l∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA＝60°，∠EAD＝∠ABC＝60°， ∵AF＝AD， ∴△ADF是等边三角形， ∴∠ADF＝∠AFD＝60°，AD＝FD＝AF， ∴∠EDC＝∠ADF＝60°， ∴∠EDC﹣∠ADC＝∠ADF﹣∠ADC， 即∠EDA＝∠CDF， ∵AD＝FD，∠EAD＝∠AFD＝60°， ∴△EAD≌△CFD（ASA）， ∴AE＝CF， ∴AD＝AF＝AC+CF＝AC+AE； （3）AE的长为或． 当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图3所示． ∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB， ∴∠ACB＝∠B＝45°． ∵直线l∥BC， ∴∠DAF＝∠ACB＝45°． ∵FD⊥直线l， ∴∠DAF＝∠DFA＝45°． ∴AD＝FD． ∵∠EDC＝∠ADF＝90°， ∴∠ADE＝∠FDC． 由（1）可知DC＝DE， ∴△ADE≌△FDC（SAS）， ∴AE＝CF． ∵AD， ∴AF＝2， ∵BC＝6， ∴AC＝AB＝3， ∴AE＝AC﹣AF＝32． 当点E在线段AB的延长线上时，如图4所示． 过点D作直线l的垂线，交AB于点M， 同理可证得△ADC≌△MDE（SAS）， ∴AC＝EM＝3， ∵AD， ∴AM＝2， ∴EM+AM＝32． 综合以上可得AE的长为32或32． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（12分）我们定义：如图1，在△ABC与△AB′C′中，两三角形有公共顶点A，AB所在射线逆时针旋转α到AC所在射线，AB′所在射线逆时针旋转β到AC′所在射线，∠BAC＝α，∠B′AC′＝β，α+β＝180°，，我们称△ABC与△AB′C′互为“旋补比例三角形”． （1）如图1，△ABC与△AB′C′互为旋补比例三角形，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝3，AB′＝2时，①∠B′AC′＝　120　°，②　　． （2）如图2，在△ABC中，AD⊥BC，△DBA与△DAC互为旋补比例三角形，延长CB至点E，使EB＝BD，连接AE，求证：△BAE与△BCA互为旋补比例三角形． （3）如图3，在△OAB中，∠AOB＝135°，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，点B在第二象限，OB＝2，抛物线yx2+bx+c经过点B，与y轴交点为C（0，5），△OPQ（点O、P、Q按逆时针排列）与△OAB互为旋补比例三角形，点P在抛物线的对称轴上运动，当点A、B、P构成的三角形是以∠A为顶角的等腰三角形时，求点Q的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；数形结合；分类讨论；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力；模型思想；创新意识． 【答案】（1）120；． （2）证明过程见解析． （3）点Q的坐标为（2﹣2，2+2）或（2+2，2﹣2）． 【分析】（1）根据题意直接得出结论即可． （2）判定△BAD∽△BCA，结合旋补比例三角形的定义，证得，∠EBA+∠ABC＝180°即可． （3）根据题意，证得△OPQ为等腰直角三角形，再分类画图，根据“一线三等角“构造全等，得出结论即可． 【解答】解：（1）由题意可知，∠B′AC′＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ， 故答案为：120；． （2）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵△DBA与△DAC互为旋补比例三角形， ∴， ∴△DBA∽△DAC， ∴∠BAD＝∠C， 又∵∠ABD＝∠CBA， ∴△BAD∽△BCA， ∴， ∵BD＝EB， ∴， ∵∠EBA+∠ABC＝180°， ∴△BAE与△BCA互为旋补比例三角形． （3）∵∠AOB＝135°， ∴∠BOC＝45°， 过点B作BD⊥x轴于点D， ∵OB＝2， ∴DO＝OB＝2，B（﹣2，2）， ∵OA＝2， ∴A（2，0）， ∵抛物线yx2+bx+c经过点B（﹣2，2）和C（0，5）， ∴， 解得， ∴yx2+x+5，对称轴为直线x＝2， ∵△OPQ与△OAB互为旋补比例三角形， ∴∠POQ＝180°﹣∠AOB＝45°，， ∴， ∴OP， 如图，过点Q作QH⊥OP于点H， ∵∠POQ＝45°， ∴OH， ∴OH＝OP，即点H与点P重合， ∴∠OPQ＝90°， ∴△OPQ为等腰直角三角形， ∵A、B、P为以∠A为顶角的等腰三角形， ∴AB＝AP， ∴AB2，AP＝AB＝2． ①当点P在x轴上方时，过点Q作QM⊥AP于点M，则∠PMQ＝90°，如图： 此时点P坐标为（2，2）， ∵△OPQ为等腰直角三角形， ∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°， 又∵∠PMQ＝90°，∠PAO＝90°， ∴∠OPA+∠QPM＝90°，∠PQM+∠QPM＝90°， ∴∠PAO＝∠PMQ，∠OPA＝∠PQM， ∴△OAP≌△PMQ（AAS）， ∴OA＝PM＝2，AP＝MQ＝2， ∴xQ＝2﹣2，yQ＝2+2， ∴Q2（2﹣2，2+2）； ②当点P在x轴下方时，过点P作PE⊥y轴于点E，过点Q作QF⊥EP于点F，则∠PEO＝∠PFQ＝90°，如图： 此时点P坐标为（2，2）， 与①中同理可证△PEO≌△QFP（AAS）， ∴EP＝QF＝2，OE＝PF＝2， ∴xQ＝2+2，yQ＝2﹣2， ∴Q2（2+2，2﹣2）． 综上，点Q的坐标为（2﹣2，2+2）或（2+2，2﹣2）． 【点评】本题考查了属于二次函数综合题，考查了二次函数在新定义中的应用，需要读懂定义，采用数形结合与分类讨论的方法，以及熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定与性质、全等三角形的构造等知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$