专题03 充分必要条件与量词命题（5知识点+8考点+3易错点）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册《阶梯册》考点训练

专题03 充分必要条件与量词命题 知识点一、命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 知识点二、充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 知识点三、充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 知识点四、量词命题 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 知识点五、命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 考点01 命题的概念及真假判断 1．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 2．对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【详解】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 3．（多选）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 【答案】ACD 【详解】对A：假设，都小于或等于，则， 与已知矛盾，故假设错误，故A正确； 对B：直角三角形的外心在斜边中点,故B错误； 对C：假设非空集合中的元素无最大值，则集合必为无限集， 这与实数集的非空子集是有限集矛盾，故中的元素必然有最大值，故C正确； 对D：由有理数定义可知，任何分数都是有理数，故D正确. 故选：ACD. 4．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 【答案】甲 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 考点02 充分条件、必要条件的判定 5．设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】a，，由，得，，则，因此充分性成立； 由，得，又，则，因此必要性不成立 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立， “成人”能推出“学好数学”，必要性成立， 故“学好数学”是“成人”的必要不充分条件． 故选：B． 7．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为方程的根为或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 8．（多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 【答案】AB 【详解】因为是的充分不必要条件，是的充分条件，所以，，． 因为是的充要条件，所以．因为是的必要条件，所以． 综上可得，，，但， 即是的充要条件，是的充分不必要条件． 故选：AB 9．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 10．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，所以充分性成立； 由，得，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 考点03 充分条件、必要条件的探索 11．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 12．命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 13．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 14．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，解得. 故选：A 15．（多选）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素， 因为，则有： 当时，； 当时，； 当时，； 则的取值范围为，故其充分不必要条件为小范围， 可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；C不符合充分不必要条件. 故选：ABD. 考点04 由充分条件、必要条件求参数 16．（多选）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】BC 【详解】由题意得，解得，则BC符合题意. 故选：BC. 17．已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】或，或， 若是的充分条件，则，所以，解得， 即实数的最大值是； 若是的必要条件，则， ①当，即时，，此时成立； ②当，即时，， 若，则，解得，又，故无解， 综上，的取值范围是． 故答案为：-4， 18．已知集合， (1)写出的所有子集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， 所以的子集有：. （2）由题意可得：, 故， 解得：. 19．已知集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 或， 则. （2）因为“”是“”的必要条件，则， 当时，则，即； 当时，，解得， 综上所述，m的取值范围为. 20．已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为， ， 或， 所以或. （2）若是的充分条件，则， 因为， 所以，解得， 若是的必要条件，则， 所以，解得， 综上的取值范围为. 21．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由题意可知， 若，则， 故，则或； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集， 当时，，解得， 当时，则有，解得， 且（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 考点05 量词命题的识别及真假的判断 22．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【详解】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 23．下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．，是整数 【答案】D 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 真假 原因 A 假 举反例，例如，但． B 假 因为对于任意实数，，所以，恒大于0. C 假 举反例，当时，，不满足． D 真 对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数， 所以，是整数． 故选：D 24．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 25．（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，则有解， 所以，为真命题，故A正确， 对于B，因为有理数的四则运算（除数不为）结果仍为有理数， 所以，为真命题，故B正确， 对于C，取，满足，且有，所以，为真命题，故C正确， 对于D，当时，不小于，所以，为假命题，故D错误， 故选：ABC. 26．下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【详解】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0 考点06 量词命题的否定及真假的判断 27．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定为“，” 故选：B 28．已知命题p：，，则（    ） A．：， B．：， C．：， D．：， 【答案】D 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题p：，，则：，. 故选：D. 29．已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D 【详解】对于命题，若是无理数，但是是有理数，所以命题是假命题，则是真命题； 对于命题由，因为和是两个连续的整数，则必是偶数，故命题是假命题，则为真命题. 故选：D. 30．下列命题的否定为真命题的是（    ） A．，使得方程有整数解 B．， C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．，方程是一元二次方程 【答案】D 【详解】原命题的否定为“，方程9没有整数解”，令，则，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A错误； 原命题的否定为“”，，当且仅当时等号成立，即原命题的否定为假命题，B错误； 原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误； 原命题的否定为“，方程不是一元二次方程”，当时，原方程为是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D正确． 故选：D. 31．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定. (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数y，满足； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）全称量词命题. 原命题的否定：存在整数的平方小于零. （2）存在量词命题. 原命题的否定：对任意的实数y，都有. （3）全称量词命题. 原命题的否定：存在一个素数不是奇数. （4）全称量词命题. 原命题的否定：方程至少有一个根不是正数. 考点07 根据量词命题的真假求参数（判别式法） 32．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 33．已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，可知关于x的方程无实数根， 所以，解得，即， 因为为非空集合，所以，即， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，即，所以． 故答案为：． 34．若“”，“”均为真命题，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因“”为真命题，则得，解得． 又“”为真命题，则得，解得． 综上，则得． 故答案为：. 35．已知，命题． (1)判断是全称量词命题，还是存在量词命题； (2)若均为真命题，求的取值范围． 【答案】(1)是存在量词命题，是全称量词命题 (2) 【详解】（1）因为符号“”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词， 所以是存在量词命题． 因为符号“”表示“所有”，“所有”是全称量词， 所以是全称量词命题． （2）若为真命题，则，解得． 若为真命题，则，解得． 因为均为真命题，所以的取值范围为． 考点08 根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 36．“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，只需在上的最大值小于等于， 其中，故，解得， 因为，但， 所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件，C正确； 其他三个选项均不是充分不必要条件. 故选：D 37．（多选）给定命题，都有．若命题p为假命题，则实数m可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【详解】若为假命题，则，， 解不等式得，所以. 故选：AB. 38．已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为命题是真命题， 所以不等式在上恒成立， 等价于即可， 因为 所以即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 39．若，，若命题为假且为真，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】命题为假， 所以该命题的否定为真，则，解得； 命题为真，则. 因为命题为假且为真，从而. 故答案为：. 40．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 41．已知命题，命题，若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】命题，即， 因为，所以. 命题， 则，即或. 因为命题和命题都是真命题， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 易错01 量词命题的否定出错 1．已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知命题，则为. 故选：B. 2．命题“对任意一个实数，都有”的否定是 【答案】存在实数，有或. 【详解】命题“对任意一个实数，都有”的否定是： 存在实数，有或. 故答案为：存在实数，有或. 易错02 混淆“充分条件”与“充分不必要条件” 1．已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：B. 2．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件（必要条件也正确） (2) 【详解】（1）当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得， 故实数的取值范围为． 易错03 忽视最高项系数为0 1．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 . 【答案】 【详解】依题意，，，显然， 由“”是“”的充分不必要条件，得， 当时，，符合题意，当时，方程的根为和， 显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意， 所以实数的所有取值组成的集合是. 故答案为： 2．已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【详解】命题为真命题，则使得，故，故， 若命题为假命题，则，为真命题，故或，解得， 故命题为真命题，命题为假命题，则，解得， 故答案为： 刷基础 1．（多选）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件 C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件 【答案】AB 【详解】因为p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件， 所以，，.因为s是r的充要条件，所以. 因为q是s的必要条件，所以. 综上可得，，，但， 即q是s的充要条件，p是s的充分不必要条件. 故选：AB. 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：C 3．已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 【答案】D 【详解】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误； 对于C，因为，所以，当时， 成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件， 由，可得，所以，所以是的必要条件， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D. 4．已知命题：集合，命题，则命题与的推出关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】当命题为真时，由，得， 当命题为真时，，因此. 故选：C 5．设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 6．已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【详解】，，显然成立，所以p是真命题，是假命题． 当，时，，所以q是真命题，是假命题． 故选：A 7．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 8．设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因“且”“” “”， 故“且”是“”的充要条件. 故选：A 9．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为命题“，使得成立”为假命题， 可知方程无解，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10．已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】若命题为假命题，则命题为真命题， 即对恒成立，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 11．设全集，集合，集合． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）因为，所以或. （2）由“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集， 又，， 因此或， 解得:. 所以实数的取值范围为. （3）命题“，则”是真命题，则有, 当时，，解得，符合题意，因此 当时，而， 则，无解， 综上所述，实数的取值范围. 12．已知：关于的方程有实数根，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 刷能力 1．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 2．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】①若，则，， 所以”是“”的充分条件； ②若，则或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以或，所以”是“”的不必要条件， 所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【详解】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 4．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 5．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 6．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 7．已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程无实根. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若假真，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若方程有两个不等的负根， 则 ， 解得：， 故的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得：， 当假真时， ，解得：， 故的取值范围为. 8．已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且为假命题，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）由或，则， 又，则或， 故或； （2）∵为假命题， ∴为真命题，即， 又，， 当时，，即，； 当时，由可得， ，或， 解得， 综上，m的取值范围为. 刷期中期末真题 1．（2024·25高一上·湖南岳阳·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】将命题的量词改变，并否定结论即得： 命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 2．（2024·25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由可得， 因为集合是集合的真子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：C. 3．（2024·25高一上·安徽宿州·期末）（多选）若集合，集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】BC 【详解】对于AB，，则，，A错误，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误. 故选：BC 4．（2024·25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可知，集合是集合的真子集， 所以. 故选：D 5．（2024·25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．（2024·25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件， 故选：B. 7．（2023·24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 8．（2024·25高一上·贵州贵阳·期中）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意可得方程有解， 所以，即， 解得， 所以． （2）因为是的必要条件，所以， 又因为为非空集合，且， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 充分必要条件与量词命题 知识点一、命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 知识点二、充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 知识点三、充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 知识点四、量词命题 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 知识点五、命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 考点01 命题的概念及真假判断 1．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 2．对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 3．（多选）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 4．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 考点02 充分条件、必要条件的判定 5．设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 9．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点03 充分条件、必要条件的探索 11．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 12．命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 13．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 14．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 15．（多选）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 考点04 由充分条件、必要条件求参数 16．（多选）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 17．已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 18．已知集合， (1)写出的所有子集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．已知集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 20．已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 21．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 考点05 量词命题的识别及真假的判断 22．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 23．下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．，是整数 24．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 25．（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 26．下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 考点06 量词命题的否定及真假的判断 27．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 28．已知命题p：，，则（    ） A．：， B．：， C．：， D．：， 29．已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 30．下列命题的否定为真命题的是（    ） A．，使得方程有整数解 B．， C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．，方程是一元二次方程 31．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定. (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数y，满足； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数. 考点07 根据量词命题的真假求参数（判别式法） 32．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 33．已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 34．若“”，“”均为真命题，则的取值范围为 ． 35．已知，命题． (1)判断是全称量词命题，还是存在量词命题； (2)若均为真命题，求的取值范围． 考点08 根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 36．“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 37．（多选）给定命题，都有．若命题p为假命题，则实数m可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．已知命题是真命题，则的取值范围是 . 39．若，，若命题为假且为真，则实数的取值范围是 ． 40．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 41．已知命题，命题，若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围. 易错01 量词命题的否定出错 1．已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 2．命题“对任意一个实数，都有”的否定是 易错02 混淆“充分条件”与“充分不必要条件” 1．已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 易错03 忽视最高项系数为0 1．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 . 2．已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是 . 刷基础 1．（多选）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件 C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 4．已知命题：集合，命题，则命题与的推出关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 5．设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 6．已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 7．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 10．已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围为 . 11．设全集，集合，集合． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 12．已知：关于的方程有实数根，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 刷能力 1．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 4．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 6．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 7．已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程无实根. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若假真，求的取值范围； 8．已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且为假命题，求的取值范围． 刷期中期末真题 1．（2024·25高一上·湖南岳阳·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·25高一上·安徽宿州·期末）（多选）若集合，集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．， D．， 4．（2024·25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023·24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 8．（2024·25高一上·贵州贵阳·期中）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$